7.3 定义、命题与证明（分层作业）数学新教材人教版七年级下册

7.3 定义、命题与证明 知识点一 命题的判断 1．(23-24七下·福建龙岩上杭县第四中学等三校·期中)下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 2．(24-25七下·四川德阳旌阳区德阳外国语学校·期中)下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简．其中不是命题的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 3．(23-24七下·浙江温州·期中)下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 4．(24-25七下·江苏江阴高新区·)下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 知识点二 命题的真假 1．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)下列命题中，假命题是（    ） A．若，则可能 B．两直线平行，同位角相等 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．对顶角相等 2．(25-26七下·北京育英学校·期中)下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 3．(24-25七下·甘肃定西·期中)下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 4．(21-22七下·广东东莞石龙第二中学·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．互补的两个角是邻补角 C．相等的角是对顶角 D．对顶角相等 5．(23-24七下·四川中江县·)下列命题中，是假命题的有（    ）个 ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两点之间直线最短；③若，，则；④在同一平面内，若，，则；⑤两条直线被第三条直线所截，则内错角相等． A．2 B．3 C．4 D．5 6．(24-25七下·云南丽江·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．(24-25七上·云南保山·期末)下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 知识点三 写命题的题设与结论 1．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 2．(24-25七下·广东东莞·期末)对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 3．(24-25七下·云南文山文山第二学区·期中)命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 4．(21-22七下·山东临沂河东区·期中)命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【点睛】本题考查的是命题的组成，掌握“命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”是解本题的关键． 知识点四 写一个命题的已知、求证及证明过程 1．(24-25七下·河南禹州·期中)命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 2．(24-25七下·山东临沂郯城县·期中)如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 3．(23-24七下·山东青岛南区·期末)如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 4．(21-22七下·广西梧州黄埔双语实验学校·月考)如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 知识点五 定理与证明 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 2．(23-24七下·山西太原第三十七中学校·月考)下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点六 代数问题的证明 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 2．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 3．(24-25七·第12章定义命题证明（单元测试卷）-·)证明：两个奇数之和是偶数． 知识点七 举反例 1．(19-20七下·浙江温州瑞安·期中)下列选项，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25七下·贵州大数据精准教学研究联盟·)以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．(24-25七下·福建厦门·期末)举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·江苏苏州高新区第一中学·月考)为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 7．下列生活现象中，是平移的是（    ） A．荡秋千 B．水平拉动抽屉的过程 C．开关水龙头 D．将一张纸对折 知识点一 填写证明依据 1．如图所示，，那么 ，依据是 ． 2．(23-24七下·陕西西安第三中学·月考)补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 知识点二 逻辑推理与论证 1．(24-25七下·浙江宁波余姚肖东中心学校·期末)下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 2．(24-25七下·广西百色县级·期末)春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的（    ） A．转动 B．对称 C．平移 D．对折 3．(24-25七下·浙江嘉兴·调研)“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 奇 偶 偶 偶 5奇 偶 偶 偶 奇 1．(24-25七下·山东济宁汶上县·期中)已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 2．(24-25七下·湖南湘西州古丈县·月考)“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3) 东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 3. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 4．(24-25八上·福建漳州长泰区·期中)阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 定义、命题与证明 知识点一 命题的判断 1．(23-24七下·福建龙岩上杭县第四中学等三校·期中)下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 2．(24-25七下·四川德阳旌阳区德阳外国语学校·期中)下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简．其中不是命题的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，解题的关键是判断语句是否对某一事情作出明确判断． 判断语句是否为命题的核心是看其是否对事情作出真假可辨的判断；①明确判断墙的颜色，②明确判断运算结果，③明确判断的取值性质，均为命题；④仅表示化简操作，未作出任何判断，不属于命题． 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题．①对墙的颜色作出判断，是命题；②对的结果作出判断，是命题；③对的取值性质作出判断，是命题；④仅为化简指令，未作出任何判断，不是命题． 故选：D． 3．(23-24七下·浙江温州·期中)下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 4．(24-25七下·江苏江阴高新区·)下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 知识点二 命题的真假 1．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)下列命题中，假命题是（    ） A．若，则可能 B．两直线平行，同位角相等 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理（包括平方根的性质、平行线的性质、数轴与实数的关系、对顶角的性质），解题的关键是逐一分析各选项命题的真假． 分别分析每个选项：A选项根据平方根性质判断为真；B选项根据平行线性质判断为真；C选项根据数轴上的点与实数一一对应，判断为假；D选项根据对顶角性质判断为真，从而确定假命题． 【详解】解：时，与可能相等或互为相反数（如，）， 可能，故A为真命题． 两直线平行时，同位角相等是平行线的性质， B为真命题． 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数（如点对应是无理数）， 点与有理数不是一一对应， C为假命题． 对顶角相等是几何基本定理， D为真命题． 假命题是C． 故选：C． 2．(25-26七下·北京育英学校·期中)下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定、平方根的概念，解题的关键在于准确掌握定理与概念． 【详解】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意； B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意； D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意． 故选：C． 3．(24-25七下·甘肃定西·期中)下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的定义对各选项逐一进行判断即可. 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； B、如果，，那么，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以原命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 4．(21-22七下·广东东莞石龙第二中学·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．互补的两个角是邻补角 C．相等的角是对顶角 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题的真假、同旁内角互补、邻补角的定义、对顶角的性质等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据对顶角的性质，同旁内角定义，邻补角的定义逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：A、 “同旁内角互补”是建立在两直线平行的前提下，故该选项是假命题； B、邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，例如两个角可以不相邻，故该选项是假命题； C、相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题； D、对顶角相等，正确，是真命题． 故选：D． 5．(23-24七下·四川中江县·)下列命题中，是假命题的有（    ）个 ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两点之间直线最短；③若，，则；④在同一平面内，若，，则；⑤两条直线被第三条直线所截，则内错角相等． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查命题真假判断，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．根据平行线的性质和判定、两点间距离、平行公理等知识逐项判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题； ②两点之间线段最短，原命题为假命题； ③若，，则，此命题为真命题； ④在同一平面内，若，，则，此命题为真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，则内错角相等，原命题为假命题； 综上，假命题共3个． 故选：B． 6．(24-25七下·云南丽江·期末)下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 7．(24-25七上·云南保山·期末)下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，余角的性质，分别对每一项进行判断即可． 此题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 知识点三 写命题的题设与结论 1．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 2．(24-25七下·广东东莞·期末)对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25七下·云南文山文山第二学区·期中)命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 4．(21-22七下·山东临沂河东区·期中)命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是（    ） A．一个三角形是直角三角形 B．两个锐角 C．互余的两个锐角 D．两个锐角互余 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的条件，根据定义可得答案． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是：一个三角形是直角三角形， 故选A 【点睛】本题考查的是命题的组成，掌握“命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”是解本题的关键． 知识点四 写一个命题的已知、求证及证明过程 1．(24-25七下·河南禹州·期中)命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 2．(24-25七下·山东临沂郯城县·期中)如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 3．(23-24七下·山东青岛南区·期末)如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 4．(21-22七下·广西梧州黄埔双语实验学校·月考)如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 知识点五 定理与证明 1．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 2．(23-24七下·山西太原第三十七中学校·月考)下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题的相关概念及定理，命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，真命题的逆命题不一定是假命题，据此逐项判断即可，掌握命题、逆命题及逆定理的相关概念是解题的关键． 【详解】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意； 、每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意； 、每个命题都有逆命题，此选项说法正确，符合题意； 、假命题的逆命题不一定是假命题，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 知识点六 代数问题的证明 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 2．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 3．(24-25七·第12章定义命题证明（单元测试卷）-·)证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 知识点七 举反例 1．(19-20七下·浙江温州瑞安·期中)下列选项，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键． 要证明命题“若，则”是假命题，只需找出满足，但不满足的、值即可． 【详解】A．当，时，，，满足；而，不满足，可作为反例，故本选项符合题意； B．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； C．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； D．当，时，，，不满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．(24-25七下·贵州大数据精准教学研究联盟·)以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较、命题与定理、绝对值的意义，根据题意所表达的意思，逐项分析即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，此时，，则，不符合题意； B、当，时，，不符合题意； C、当，时，，此时，，则，符合题意； D、当，时，，不符合题意； 故选：C． 3．(24-25七下·福建厦门·期末)举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则以及假命题的概念判断． 【详解】解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意； B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； 故选：A． 4．(24-25七下·江苏苏州高新区第一中学·月考)为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 5．六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 6．A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数推理，根据单循环赛制，每人最多赛5盘．通过逐步分析各选手的对阵情况，确定F的已赛场数． 【详解】1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 7．下列生活现象中，是平移的是（    ） A．荡秋千 B．水平拉动抽屉的过程 C．开关水龙头 D．将一张纸对折 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、荡秋千是绕固定点摆动属于旋转运动，不符合题意； B、水平拉动抽屉的过程是平移，符合题意； C、开关水龙头是旋转运动，不符合题意； D、将一张纸对折是轴对称，不符合题意； 故选B． 知识点一 填写证明依据 1．如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 2．(23-24七下·陕西西安第三中学·月考)补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 知识点二 逻辑推理与论证 1．(24-25七下·浙江宁波余姚肖东中心学校·期末)下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，理解平移的定义以及平移的特征是正确判断的前提．理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变．根据平移的特征进行判断即可． 【详解】解：A．转动的风车属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，故此选项不符合题意； B．电梯的升降，做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，故此选项符合题意； C．书页的翻动属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，故此选项不符合题意； D．对称的蝴蝶属于轴对称，不是平移，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．(24-25七下·广西百色县级·期末)春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的（    ） A．转动 B．对称 C．平移 D．对折 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，平移是沿直线运动．根据轴对称、平移、旋转的定义作答即可． 【详解】解：春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的平移． 故选：C 3．(24-25七下·浙江嘉兴·调研)“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不能是偶数，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，逻辑推理： （1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为，根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，根据纵向、横向、斜向3个数字之和相同，得到，进而得到，求解即可； （2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可． 【详解】（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为． 因为， 所以 所以， 又因为， 所以， 所以， 即“中宫”的数字一定是5． （2）假设“左宫”数字为偶数， 因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数； 则“右宫”数字也为偶数， 则数字必为一奇一偶， 不妨设为奇数，为偶数， 则必为偶数，为奇数， 这与中4个偶数5个奇数相矛盾， 所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾． 奇 偶 偶 偶 5奇 偶 偶 偶 奇 故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 1．(24-25七下·山东济宁汶上县·期中)已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线相互平行 (3)①真；②假 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、判断命题的真假、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据（1）证明直接写出结论即可； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 2．(24-25七下·湖南湘西州古丈县·月考)“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 3.求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 4．(24-25八上·福建漳州长泰区·期中)阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $