4.1第1课时　正弦课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正弦概念及30°、45°、60°等特殊角的正弦值。通过修建扬水站求高度的实际问题导入，从学生测量65°角直角三角形对边与斜边比值的操作，到用相似三角形证明任意锐角α的对边与斜边比值为常数，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步引出正弦定义。 特色在于以情境探究为主线，通过扬水站问题培养用数学眼光观察现实世界的意识，借助测量、猜测、相似证明的过程发展数学思维中的推理能力。例题涵盖坐标系点、菱形等综合情境，结合计算器使用，强化数学语言表达与应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可直接利用完整的“情境-探究-应用”流程提升教学效率。

第1课时　正　弦 第4章　锐角三角函数 4.1　正弦和余弦 1 【学习目标】 1．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值． 2．通过具体实例，分析、比较后知道“当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定”的事实． 3．通过实际动手，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力和学生独立思考、勇于创新的精神． 【学习重点】 理解正弦的概念与意义． 【学习难点】 正弦的概念。 学习目标 扬水站的图片． 修建一个扬水站，在选择扬水泵时，必须知道扬水站(点A)与水平面(BC)的高度(AC)．斜坡与水平面所成的角(∠B)可以用测角器测出来，水管的长度(AB)也能直接量得．提问：你能求出它的高度(AC)吗？ 情景导入 知识模块一 正弦的概念 如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A ′ =65°， ∠C=∠C ′ =90°. A C B B' C' A' 65° 65° 自学互研 小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出： 小亮量出∠A'的对边B'C' =2cm，斜边A'B'=2.2cm，算出： 自学互研 这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 自学互研 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中 ∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？ 自学互研 ∠A=∠D = ， ∠C=∠F= 90° ， ∵ △DEF. Rt ∽ △ABC ∴ Rt 即 ∴ ∴ 自学互研 　　这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中， 角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的 大小无关. 自学互研 归纳 　　如图，在直角三角形中，我们把锐角　的对边与斜边的比叫作角　的正弦，记作sin ， 即 　　根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直角边 等于斜边的一半”， 容易得到 sin 30° = 归纳 (1)在有一个锐角为α的所有直角三角形中，角α的对边 与斜边的比值是一个______，与直角三角形的_____无关． (2)在直角三角形中，锐角α的_____与_____的比叫作角α 的正弦，记作sinα，即sinα＝ ． (3)sin30°＝ ． (4)如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sinA ＝ ， sinB＝ ． 自学互研 常数 大小 对边 斜边 知识模块二 正弦概念的应用 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5. （1）求sinA的值 （2）求sinB的值 B C A 解：（1）∠A的对边BC=3， 斜边AB=5.于是 （2）∠B的对边AC，根据勾股定理，得 AC²=AB²-BC²=5²-3²=16 于是 AC=4 因此 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角　的正弦值. 解：如图，设点A（3，0）， 连接P A . A ● 在△APO中，由勾股定理得 因此 自学互研 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°. 于是 ∠B=45°. 从而 AC=BC． 根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2. 于是 AB= BC. 因此 如何求sin 45°的值？ 自学互研 如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°， 从而 . 根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2- 于是 因此 如何求sin 60°的值？ 自学互研 例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.7660… 至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°） 的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算 器来求. 自学互研 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知 sinα =0.7071，依次按键 ，显示结果为44.999…， 表示角 α 约等于45°. 自学互研 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC=a，则 AB = AC = 归纳 利用计算器计算： （1）sin40°≈________（精确到0.0001）； （2） sin15°30′≈________（精确到0.0001）； （3）若sinα=0.5225，则α≈____（精确到0. 1°）； （4）若sinα=0.8090，则α≈_____（精确到0. 1°）. 0.6428 0.2672 31.5 54.0 自学互研 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 课堂小结 一、 选择题 1.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3BC,则sinA的值为 (　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=0.5.若AC=6,则BC的长为 (　　) A. 8 B. 12 C. 6 D. 12 3. 若∠A是锐角,且sinA=,则下列说法正确的是 (　　) A. 0°<∠A<30° B. 30°<∠A<45° C. 45°<∠A<60° D. 60°<∠A<90° C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18',则按键顺序正确的是 (　　) A. sin 3 6 · 1 8 = B. sin 3 6 °'″ 1 8 = C. 2ndf sin 3 6 °'″ 1 8 = D. sin 3 6 °'″ 1 8 °'″ = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 将一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,使顶点C落在点C'处,测得AB=4,DE=8,则sin∠C'ED的值为 (　　) A. 2 B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 若α为锐角,且sinα=0.63,则α≈　　　　(精确到0.1°).  7. 已知sin(α+10°)=,则锐角α=　　　　.  8. 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的 正弦值是　　　　. 39.1° 第8题 35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ★如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则sin∠BAD= 　　　　. 解析:如图,连接BD,交AC于点O,过点B作BE⊥AD,垂足为E. ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AC⊥BD.在Rt△AOB中,∵ AB= 15,sin∠BAC=,∴ sin∠BAC==.∴ BO=9.∴ BD=18,AO= =12.∴ AC=2AO=24.∵ AD·BE=BD·AC,∴ BE= .∴ sin∠BAD===. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10.计算: (1) sin30°+sin245°-sin260°; (2) sin45°- sin230°sin60°. (1) 原式=+-=+-=　 (2) 原式=-=1-= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,如果AD=9,DC=5,E为AC的中点,求sin∠EDC的值. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC=90°.∵ AD=9,DC=5,∴ AC= =.∵ E为AC的中点,∴ DE=AE=EC=AC. ∴ ∠EDC=∠C.∴ sin∠EDC=sinC=== 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $