精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上学期12月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 由题意， 解得. 故. 故选：D. 2. 曲线与曲线有共同的（ ） A 长轴长 B. 短轴长 C. 离心率 D. 焦距 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的简单性质，分别求出曲线与曲线 的长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、离心率和焦距，由此能求出结果. 【详解】中： 长轴长，短轴长， 离心率，焦距. 曲线中： 实轴长，虚轴长， 离心率， 焦距. 曲线与曲线有共同的焦距. 故选：. 3. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】直线过原点，可设，则， ； ，， ，. 故选：B. 4. 已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足：到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 故选：C． 5. 山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意，确定椭圆中的取值，再结合椭圆性质即可求解. 【详解】由题意得，设椭圆方程为，则，，， 所以，，， 又点在椭圆上，所以点到椭圆左焦点的距离的最大值为. 故选：B 6. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 7. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C. 【详解】对于A，可知，即A正确； 对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确； 对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：AC 10. 已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 使得的的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前7项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由，，可得， 设等差数列的公差为，，所以是递减数列，B选项错误； 因为，所以，所以，A选项正确； 所以为正，从第8项起均为负，，故选项C正确； 所以， 所以的的最小值为14，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为3 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点到的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值. 【详解】 对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误； 若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确； 若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以点到的距离， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，若，，则的值为______. 【答案】28 【解析】 【分析】由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 13. 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 14. 已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线的交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 【答案】①双曲线（或②椭圆或③圆） 【解析】 【分析】先把圆化简得出标准方程，由①应用双曲线的定义判断可得轨迹；由②应用椭圆及圆的定义判断可得轨迹； 【详解】由题可得圆． 如图①，当点在圆外时，连接，则，有， 此时点的轨迹是以点为两焦点，实轴长为4的双曲线； 如图②，当点在圆内（除圆心外），连接，则，有， 此时点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为4的椭圆； 当点与圆心重合，此时点为中点， 所以此时点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆． 故答案为：①双曲线. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1）证明见解析 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 16. 已知直线与抛物线交于两点，. （1）求； （2）设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 【答案】（1）2 （2）32 【解析】 【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案. 【小问1详解】 设， 由，可得， 易得，所以， 则， 即，因为，所以. 【小问2详解】 由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为. 联立，化简可得，则， 设，则， 则， 因为，所以. 17. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 18. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 曲线与曲线有共同的（ ） A. 长轴长 B. 短轴长 C. 离心率 D. 焦距 3. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆一条公切线，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 6. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知圆上仅有两个点到直线距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10. 已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 使得的的最小值为14 11. 如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为3 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点到的距离的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，若，，则的值为______. 13. 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为__________. 14. 已知点在圆上，点为平面内一定点，点为与中垂线交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点的轨迹填入横线处______． ①点在圆外；②点在圆内（除圆心外）；③点与圆心重合． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 16. 已知直线与抛物线交于两点，. （1）求； （2）设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 17. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求前项和． 18. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $