2.1　一元二次方程 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，系统呈现概念、一般形式及应用，通过矩形挖圆求半径、汽车拥有量增长率等实际问题导入，引导学生从现实情境抽象方程模型，再经实例归纳定义形成学习支架。 其亮点是以实际问题培养数学眼光，如“动脑筋”问题让学生抽象数量关系，通过概念辨析题（例1）和参数题（例2）发展推理意识，用一般形式表达方程强化符号意识。学生能提升建模与辨析能力，教师可高效推进概念教学。

2.1　一元二次方程 第2章　一元二次方程 1 学习目标 【学习目标】 1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想． 2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 3．通过探究实际问题，培养观察、类比和归纳问题的能力． 【学习重点】 一元二次方程的概念． 动脑筋1：如图所示，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 取3）. 要建立方程，关键是找出问题中的等量关系。 分析 问题涉及的等量关系是： 矩形的面积 - 圆的面积 = 矩形的面积 . 情景导入 分析 问题涉及的等量关系是： 解: 由于圆的半径为xcm,则它的面积为 3x2 cm2. 根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得 ① 矩形的面积 - 圆的面积 = 矩形的面积 . 动脑筋2：据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 分析 问题涉及的等量关系是： 解: 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程 化简，整理得 ② 两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2 自学互研 自学互研 知识模块一 一元二次方程的定义 观察方程①和②：它们分别含有几个未知数？未知数的最高次数是几次？与我们学过的一元一次方程有何异同？ ① ② 方程 ① 和 ②，它们有什么共同点？ ① ② 两个方程都只有一个未知数. 它们的左边都是二次多项式. 它们的右边是 0。 归纳 从方程①和②受到启发，只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程． 它的一般形式是 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项． ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0） 归纳 自学互研 范例 例1 下列方程是关于x的一元二次方程的有 _________．(填序号) ①4x2＝21；②2x2－3x＝y－1；③2x2＋ －1＝0； － －1＝0；⑤3x(x－1)＝5(x＋2)； ⑥x(x－2)＝x2；⑦ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数)． ①④⑤ 范例 例2　若关于x的方程(k＋1)x|k|＋1＋(k－1)x＋2＝0是一元二次方程，求k的值，并写出这个方程． 解：由题意得：|k|＋1＝2，∴k＝±1. 又∵k＋1≠0，∴k≠－1，∴k＝1. ∴原方程为2x2＋2＝0. 知识模块二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：_________________． 其中_____是二次项，___叫作二次项系数，___是一次项，___叫作一次项系数，___叫常数项． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a bx b c 思考：为什么要限制a≠0？b、c可以为零吗？ 解：限制a≠0是因为二次项系数不能为零，b、c可以为零． 范例 把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项． 解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0(若写成－5x2－8x＋2＝0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号)． 点拨：在求一元二次方程的各项及系数时，①要先把原方程化成一般形式(含去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤)；②二次项系数、一次项系数不要漏掉各项的符号． 　 一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项系数为1，一次项系数为－1，求m的值． 范例 解：原方程可化为x2－mx＋1＝0. ∵一次项系数为－1， ∴－m＝－1，即m＝1. 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程. ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）， 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项． 通过这节课学习，你有哪些收获？ 课堂小结 一、 选择题 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 (　　) A. x2+2y=0 B. x(x+2)=x2-x C. x2=0 D. 2x3-x=0 2. 若关于x的方程x|a|+1-3x+4=0是一元二次方程,则a的取值应满足 (　　) A. a≠±1 B. a=±1 C. a=-1 D. a=1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3. 将一元二次方程3x2-1=2x化成一般形式后(二次项系数为正数),二次项系数和一次项系数分别是 (　　) A. 3,-2 B. 3,2 C. 3,-1 D. 3,1 4. 把方程x(x+1)=5(x-2)化成ax2+bx+c=0的形式,则a+b+c的值是 (　　) A. -3 B. 7 C. -5 D. 1 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是 (　　) A. 80(1-x2)=60 B. 80(1-x)2=60 C. 80(1-x)=60 D. 80(1-2x)=60 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 若(a-1)x2-3x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是　　　.  7. 把方程x(x-1)=x-2化成一元二次方程的一般形式为　　　　　　(要求:二次项系数为1).  8. 若一个关于x的一元二次方程的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则这个一元二次方程是　　　　　　　　.   a≠1 x2-2x+2=0 2x2+3x-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.1275年,我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步?其大意如下:矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步?若设长为x步,则可列方程为　　　　　　　　.  10. 已知一组一元二次方程:第1个方程是3x2+2x-1=0;第2个方程是5x2+4x-1=0;第3个方程是7x2+6x-1=0……按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程是　　　　　　　. x(x-12)=864 17x2+16x-1=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 11. (教材P28习题2.1A组第1题变式)已知关于x的方程(m-1)x|m+1|+ 4x2+2x+7=0是一元二次方程,求m的值及其相应的二次项系数、一次项系数和常数项. ∵ 关于x的方程(m-1)x|m+1|+4x2+2x+7=0是一元二次方程,∴ |m+1|=1或2或0.当|m+1|=1时,解得m=0或-2.故原方程可化简为4x2+x+7=0或4x2-x+7=0.当|m+1|=2时,m-1≠-4,∴ m=1.故原方程可化简为4x2+2x+7=0.当|m+1|=0时,解得m=-1.故原方程可化简为4x2+2x+5=0.综上所述,m的值为0或-2或1或 -1.当m=0时,二次项系数为4,一次项系数为1,常数项为7;当m=-2时,二次 项系数为4,一次项系数为-1,常数项为7;当m=1时,二次项系数为4, 一次项系数为2,常数项为7;当m=-1时,二次项系数为4,一次项系 数为2,常数项为5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 根据下列问题,列出一元二次方程,并将其化为一般形式. (1) 已知一个大正方形的边长比小正方形边长的2倍少1.若大正方形的面积比小正方形的面积多33,求小正方形的边长. (2) 如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm,面积为24cm2.求它的两条直角边的长. (1) 设小正方形的边长为x,则大正方形的边长为2x-1.根据题意,得(2x-1)2-x2=33,化为一般形式为3x2-4x-32=0　 (2) 设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14-x)cm. 根据题意,得x(14-x)=24,化为一般形式为x2-14x+48=0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数的十位数字. (3) 设这个三位数的十位数字为x,则个位数字为x+3,百位数字为x+2.根据题意,得[100(x+2)+10x+(x+3)]-9[(x+3)2+x2+(x+2)2]=20,化为一般形式为9x2-7x-22=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 阅读理解: 定义:已知关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x+c2 =0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),若方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”. 例如:求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”. 可以这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1= b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2的值,就能确定这个方程的“对称方程”. 请用以上方法解决下面的问题: (1) 填空:方程x2-4x+3=0的“对称方程”是　　　　　　　　;  -x2-4x-3=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值. (2) 由-5x2-x=1移项,得-5x2-x-1=0.∵ 关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0互为“对称方程”,∴ m-1=-1,-n+(-1)=0,解得m=0,n=-1.∴ (m+n)2=(0-1)2 =1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $