精品解析：河北省邯郸市成安县2025-2026学年九年级上学期数学12月月考试题（北师大版）

2025~2026学年第一学期九年级学业水平综合评估（二） 数学（北师版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 8米 B. 6米 C. 4米 D. 3米 7. 已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 9. 设一元二次方程的两个根为，，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 10. 某轨道列车共有4节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘坐该轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 12. 如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 14. 如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 15. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则______． 16. 如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 （1）表中的 ； ； （2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） （3）袋中白球个数的估计值为 ． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积． 19. 用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图1中，在上取点，使平分的面积； （2）在图2中，在AC上取点F，使，并说明作图理由． 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，周南集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分学生人数是________人； （2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率． 22. 实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 23. 如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． （1）求证：四边形是矩形． （2）当，时，求的长． 24. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级学业水平综合评估（二） 数学（北师版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图．根据左视图为从左边看到的图形，即可求解． 【详解】解：该几何体的左视图为 ． 故选：D． 2. 已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例函数图象上．根据反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数，即， A选项：，即A选项符合题意， B选项：，即B选项不符合题意， C选项：，即C选项不符合题意， D选项：，即D选项不符合题意， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 8米 B. 6米 C. 4米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 7. 已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数的性质可得该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴，在第二象限内，在第四象限内， ∴． 故选：C． 8. 如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（ ） A. B. 9 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 9. 设一元二次方程的两个根为，，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， 则， 故选：B． 10. 某轨道列车共有4节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘坐该轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法和画树状图法求概率，简单的概率公式，先画出树状图，得出总的事件数，再求出甲和乙分别在相邻车厢的事件数，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把节车厢记为，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有共6种， ∴甲和乙分别在相邻车厢的概率为， 故选：A． 11. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 12. 如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】作交于点F，证明，推出，结合得出，由等边对等角得，，进而证明，再证，推出，可得． 【详解】解：如图，作交于点F， ，， ， ， 点D为边上中点， ， 又， ，， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握设法． 由比例关系引入参数，表示和，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由，可设，（），则 ， 故答案为：． 14. 如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题意可求出与的比，证明得到，再由三角尺与其在墙上形成的影子相似，结合相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 如图所示，由中心投影的性质可得， ∴， ∴， ∵三角尺与其在墙上形成的影子相似， ∴这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 15. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图形及性质，三角形的中线平分面积，反比例函数比例系数k的几何意义等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 过点C作轴于H点，证明，可得到，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于H点， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 16. 如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形的性质得出，，再由角平分线的定义得出，接着用等量代换可证得，得，设，则，，即可求出的长． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，．， 平分， ， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ． ， ． 设， 则，． ， ， 解得， ． 故答案为 ：4． 【点睛】本题考查了全等三角形，熟练掌握矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 （1）表中的 ； ； （2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） （3）袋中白球个数的估计值为 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可； （2）根据样本的频率估计概率，即可求解； （3）摸到黑球的概率为，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表可得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：摸到黑球的频率稳定在左右； 从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 故答案为：； 【小问3详解】 解：设白球有x个， 根据题意得：， 解得， 袋中白球个数的估计值为18． 故答案为：18． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）先将代入，求出的值即可确定反比例函数的解析式，从而确定点的坐标，再将、的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解后可确定一次函数的解析式； （2）先求出点坐标得到，再根据三角形面积公式计算即可； 确定函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， 将点，代入一次函数， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵一次函数的图象与轴交于点， 当时，得， ∴，即， ∵， ∴到轴的距离为， ∴， 即的面积为． 19. 用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）米 （2）能；15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； 【小问2详解】 解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图1中，在上取点，使平分的面积； （2）在图2中，在AC上取点F，使，并说明作图理由． 【答案】（1） 如图1，由图可得，点是的中点，是边的中线，故平分的面积，点即为所求． （2） 如图2，点即为所求． 理由如下：取格点，，连接交于点， 可得， 则， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握中线的性质和相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中线平分三角形的面积，利用矩形的对角线交点为中点的思路解答即可； （2）利用三角形相似构造三角形，相似三角形的性质可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，周南集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分学生人数是________人； （2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率． 【答案】（1）60 （2）108°；条形统计图补充完整如图： （3）小军被选中的概率为 【解析】 【分析】（1）利用C组抽样人数及百分占比即可求解； （2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×B级占比即可求得，求出D级人数，补全条形统计图； （3）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，画树状图找到所有可能情况数和小军被选中的情况数，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的人数为：24÷40%=60（人）， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×=108°， 条形图中，D级的人数为：60−3−18−24=15（人）， 故答案为：108°； 【小问3详解】 解：把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种， 则小军被选中的概率为：． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，用列表法或树状图法求概率．关键在仔细分析和对应数据的计算；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【解析】 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 23. 如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． （1）求证：四边形是矩形． （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）根据，，通过导角证明，进而得出，结合四边形为平行四边形，可得四边形是矩形． （2）先证得．设，则，在中，由得到，由，得，在中得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，， ， ，即， ． 在中，． 24. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $