专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4大题型） 讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

本初中数学讲义聚焦相似三角形核心知识点，系统梳理A字型、反A字型、8字型、反8字型四个模型的条件与结论，通过四种题型（含例题与变式）构建从模型认知到综合应用的学习支架，助力学生掌握相似三角形判定与性质的运用脉络。 资料以模型为核心，通过清晰的条件结论呈现培养几何直观（数学眼光），例题与变式的推理过程强化推理意识（数学思维），比例线段表达提升模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后学生可借题型练习巩固模型应用，弥补相似三角形解题思路的不足。

专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型） 一、模型梳理 1、“A”字模型 　 条件：如图，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2、反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3、“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 4、反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 二、题型突破 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证： 【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 题型二、“8”字模型与反“8”字模型 例2.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【变式2】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求线段的长． 题型三、平行双“8”字模型 例3.如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 题型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例4.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1． (1) 求证：△DMN∽△BCN； (2) 求BD的长； (3) 若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积． 【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． (1)求证：△BGC∽△DGF； (2)求证：； (3)若点G是DC中点，求的值． 【变式4-2】【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型） 一、模型梳理 1、“A”字模型 　 条件：如图，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2、反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3、“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 4、反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 二、题型突破 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证： 【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件． 【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 题型二、“8”字模型与反“8”字模型 例2.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 【变式2】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】 （1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）如图（见分析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． (1)证明：∵垂直平分， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：如图，延长至，使，连接，． 则垂直平分， ， 是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 题型三、平行双“8”字模型 例3.如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【变式3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例4.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1． (1) 求证：△DMN∽△BCN； (2) 求BD的长； (3) 若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积． 【答案】(1)见分析 (2) 6 (3) 5 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN； （2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长； （3）根据△MND∽△CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△DMN∽△BCN； （2） 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，OB=OD＝BD， ∵△DMN∽△BCN， ∴， ∵M为AD中点， ∴AD=2DM， ∴BC=2DM， ∴BN=2DN， 设OB=OD=x， ∴BD=2x， ∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1， ∴x+1=2（x-1），解得：x=3， ∴BD=2x=6， ∴BD的长为6； （3） 解：∵△MND∽△CNB， ∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2， ∵△DCN的面积为2， ∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6， ∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5， ∴四边形ABNM的面积为5． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键． 【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． (1)求证：△BGC∽△DGF； (2)求证：； (3)若点G是DC中点，求的值． 【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3) 【分析】 （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF． （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论． （3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴ ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴△BGC∽△DCF． （2） 证明：由（1）知△BGC∽△DGF， ∴， ∴ ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∴． （3） 解：由（1）知△BCC∽△DGF， ∴， 在△BGC与△DEC中， ∴△BGC≌△DEC（ASA） ∴ ∵G是CD中点 ∴ ∴ ∵△BGC∽△DGF ∴ 在Rt△BGC中， 设， 则， ∴ ∴ 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【变式4-2】【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）正方形边长为15；（3） 【分析】（1）证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可； （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15； （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $