专题5.4 二元一次方程与一次函数 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦二元一次方程与一次函数的关系，系统梳理一次函数与一元一次方程的特殊联系，二元一次方程与一次函数图象上点的对应关系，以及二元一次方程组的解与两直线交点坐标的关联，构建从概念到解法的知识支架。 资料以思维导图呈现知识结构，考点涵盖求解析式、交点与解的关系、图象法解方程组及图形面积计算等，典例结合共享电动车收费等实际情境。通过几何直观帮助理解数形关系，推理意识强化逻辑分析，应用意识提升解决实际问题能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

二元一次方程与一次函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 一次函数与一元一次方程 考点梳理 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． 1、一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． 2、直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 考点02 一次函数与二元一次方程（组）的关系 考点梳理 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 考点03 二元一次方程组的图象解法考点梳理 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 典例引领 考向01 求一次函数解析式 【例1】如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)求k，b的值； (2)当输出的y值为0时，求输入的x值． 故输出的y值为0时，输入的x值为． 考向02 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 考向03 图象法解二元一次方程组 【例3】在直角坐标系中， (1)分别作出与二元一次方程 及对应的直线，并用作图的方法初步判定这两条直线的交点的坐标； (2)利用解二元一次方程组的方法验证你的判断是否正确． 考向04 求直线围成的图形面积 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 对点提升 【对点1】已知一次函数． (1)图象经过，求m的值； (2)y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【对点2】A，B两地相距，假期期间小王和小李准备从A地出发前往B地旅游，小王出发后小李从A地出发，小王与小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系图象如图所示． (1)求a的值． (2)求小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式． (3)求小王出发多长时间后，小李追上了小王？ 【对点3】（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，将直线向右平移个单位长度得到的直线（、为常数，且）恰好经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，点的坐标为，线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，则的值为（    ） A．8 B． C．1 D． 4．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 5．如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 6．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 7．变量的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当时，的值是（  ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 6 13 20 27 ．．． A． B． C． D． 8．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 9．教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 12．如图，直线，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，若，，则坐标系的原点最有可能是 ． 13．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 14．已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 15．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 3、 解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)点的坐标为___________； (2)已知点是直线上一点，且点位于轴的左侧，若，求点的坐标； (3)若点为轴上一点，当时，求出所有满足条件的点的坐标． 17．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)当______时，、两种品牌收费相同，此时收费______元． (2)求骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式． (3)请求出、两种品牌收费相差元时的值． 18．某移动公司设有两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元；类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元．若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元． (1)分别求出，，与之间的函数关系式． (2)某人估计一个月通话时间为分钟，选哪种通讯方式更合算？ 19．【问题提出】 (1)如图，在中，，求的面积； 【问题解决】 (2)如图，是某公园的一块空地，公园规划人员计划在点处修建观景台，在边上修建一口水井（不与、重合），沿铺设一条小路，再以小路为对称轴修建另一座与观景台对称的观景台，铺设小路．王师傅将的示意图放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为（水井、观景台的大小及小路的宽度均忽略不计） ①若点到轴、轴的距离相等，求小路所在直线的函数表达式； ②若要使得观景台恰好在的边上，请你求出示意图中水井到观景台的距离（即的长）． 20．一条笔直的路上依次有、、三地，其中、两地相距720米．小刚、小欣两人分别从、两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地与．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)小刚到地后，再经过1分钟小欣也到地，求、两地间的距离． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程与一次函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 一次函数与一元一次方程 考点梳理 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． 1、一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． 2、直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 考点02 一次函数与二元一次方程（组）的关系 考点梳理 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 考点03 二元一次方程组的图象解法考点梳理 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 典例引领 考向01 求一次函数解析式 【例1】如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)求k，b的值； (2)当输出的y值为0时，求输入的x值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题一次函数与程序图． （1）将代入中，即可得出答案； （2）将分别代入和中，通过计算再判断即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得； （2）解：将代入中， 即， 解得：， ∵， ∴（舍去）， 由（1）知即 将代入中， 得， 解得：， 故输出的y值为0时，输入的x值为． 考向02 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数交点坐标与二元一次方程组的解的关系，根据：由一次函数解析式构成的二元一次方程组的解就是一次函数的交点坐标，即可求解，掌握一次函数交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴把代入直线，得到， ∴， 关于、的方程组的解可看成是直线与直线的交点， 故关于、的方程组的解为， 故选：C． 考向03 图象法解二元一次方程组 【例3】在直角坐标系中， (1)分别作出与二元一次方程 及对应的直线，并用作图的方法初步判定这两条直线的交点的坐标； (2)利用解二元一次方程组的方法验证你的判断是否正确． 【答案】(1)作图见解析，两直线的交点坐标为． (2)见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数的交点坐标、一次函数与方程组等知识点，掌握一次函数与方程组的关系是解题的关键． （1）先画出两直线的图象，然后再判断其交点坐标即可； （2）联立两直线方程、构建方程组求解即可． 【详解】（1）解：采用描点法画图如下： 由图象可知：初步判断两直线的交点坐标为． （2）解：， 得：，解得：； 把代入②得，解得， 所以方程组的解为：． ∴两直线的交点坐标为，即初步判断正确． 考向04 求直线围成的图形面积 【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；9 (2)存在；点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点算法，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数与坐标轴交点算法、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式是解题的关键． （1）先计算直线与x轴、y轴交点A、C的坐标，再根据直线经过C计算出b，从而得直线表达式，再计算直线与x轴交点B的坐标，最后根据A、B的坐标计算出； （2）由，结合计算出点P的纵坐标，再根据直线的表达式计算出点P的横坐标，进而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 点C的坐标为， 将代入，得， ， 将代入，得， 点B的坐标为， 将代入，得， 点A的坐标为， ， 故答案为：；9． （2）解：存在； ， ， 解得， 点P在直线上， 当时，；当时，， 点P的坐标为或． 对点提升 【对点1】已知一次函数． (1)图象经过，求m的值； (2)y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟知一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过， ， 解得：， 的值为； （2）解：随的增大而减小， ， 解得：， 的取值范围为． 【对点2】A，B两地相距，假期期间小王和小李准备从A地出发前往B地旅游，小王出发后小李从A地出发，小王与小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系图象如图所示． (1)求a的值． (2)求小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式． (3)求小王出发多长时间后，小李追上了小王？ 【答案】(1) (2) (3)小王出发小时后，小李追上了小王 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图像可求出小王离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式为，代入即可； （2）用待定系数法即可求出解析式； （3）联立两函数解析式，求交点的横坐标即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小王行驶的速度为：， ∴小王离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：设小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴小李离A地的距离与小王出发的时间之间的函数关系式为； （3）解：联立解析式得． 将代入，得， 解得． 答：小王出发小时后，小李追上了小王． 【对点3】（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先联立得方程组，再解方程组即可； （2）先求出点和，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意联立，得， 解得， 所以点D的坐标为． （2）解：直线，令，则， 所以点． 直线，令，则， 所以点， 所以， 所以． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，将直线向右平移个单位长度得到的直线（、为常数，且）恰好经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，以及一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题关键．先将与两点代入直线中求出解析式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出直线的解析式，将已知点坐标代入平移后的直线方程，解出的值即可． 【详解】解：∵点与在直线上， 设直线的解析式为： ， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为： ∵向右平移个单位，新直线表达式为， 又∵新直线过点， 代入得， 解得， 故选：C. 2．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，点的坐标为，线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，则的值为（    ） A．8 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理求线段长、待定系数法求一次函数解析式、代数式求值等，利用待定系数法求出线段所在直线的表达式是解决问题的关键． 先由勾股定理求出长，从而得到，再由待定系数法求出线段所在直线的表达式，由线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，代入求出，进而得到，代入直线求出，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则， ，则， 设直线， 将、代入表达式得 ， 解得， 直线， 线段所在直线与直线（为常数，且）交于点， 将代入直线，得， 解得， 则， 将代入得， 解得， ， 故选：C． 4．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 5．如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 6．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质即可判断选项B；利用三角形的面积公式求解即可判断选项C；将代入计算即可判断选D． 【详解】解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是，正确； B、∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，正确； C、直线与y轴交点的坐标是， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：，正确； D、当时，， ∴直线不过点，故不正确； 故选：D． 7．变量的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当时，的值是（  ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 6 13 20 27 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及函数值，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键．设与的函数关系式为，根据表格中，的对应值，利用待定系数法求出关系式，将代入求出值，即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由表格可知，， 解得， 与的函数关系式为， 当时，， 故选：A． 8．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 【详解】解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 9．教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意判断出函数表达式是解题的关键． 对于，根据题意判断出函数表达式为，对当时、当时求出对应的变量值，即可判断正误；对于需要根据题意作逐步判断． 【详解】设时，存水量y与放水时间x的解析式为， 把、代入得， ， 解得：， 则解析式为：； 当时，升，故该项正确； 当时，，故该项错误； 由图可知，前2分钟排水量为1升，则每个学生接水量是升， 则个同学需接水升， 存水量升， ∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：（升）， ∴所用时间分钟， 故该项正确； ④当时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟饮水机的存水量， 这8分钟饮水机的流水量为：（升）， 则8分钟接水的人数为：， 则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：． 故课间10分钟最多有32人及时接完水， 故该项正确； 则正确的有共三个． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形-轴对称变换． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：B． 2、 填空题 11．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则一次函数与的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“一次函数图象与二元一次方程组的关系”，正确理解二元一次方程组的解与一次函数的交点之间的关系是解题关键． 根据解，可以通过得到x的值，再由二元一次方程组，可得方程组的解就是这俩个一次函数的图象的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∴二元一次方程组即的解为 ∴一次函数与的交点坐标为． 故答案为： ． 12．如图，直线，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，若，，则坐标系的原点最有可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、求一次函数解析式，解题的关键是通过排除法确定原点最有可能的位置． 利用待定系数法求出直线的解析式为，则直线经过第二、三、四象限，推出原点在直线的上方，根据勾股定理计算可得点和点到原点的距离相同，再结合图形即可得出结论． 【详解】解：设过A、B的直线解析式为，可得 ， 解得， ， ∴直线经过第二、三、四象限， ∴原点在直线的上方， ∵，， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为， ∴点和点到原点的距离相同， 结合图形可知，坐标系的原点最有可能为． 故答案为：． 13．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 【详解】设， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 14．已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理． 过作轴，证明，得到，，进而得到点坐标，然后利用的坐标得到的直线方程式为，利用轴,代入方程式得到点坐标，两点轴上坐标值相减即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 过作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同时，， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为， 根据，， 求得的直线方程式为， ∵， ∴的纵坐标为， 代入方程式得到，， ∴． 故答案为：． 15．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，设，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ，， 在中，由勾股定理可知：， 由折叠性质可知， ， 设，则， 由勾股定理得：，解得， ， 设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是． 故答案为：． 3、 解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)点的坐标为___________； (2)已知点是直线上一点，且点位于轴的左侧，若，求点的坐标； (3)若点为轴上一点，当时，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】（1）先求一次函数与轴、轴交点、的坐标，再根据中点坐标公式求的坐标． （2）先求直线的解析式，设点坐标，利用面积关系列方程求解． （3）（、在的垂直平分线上），结合平行线性质或垂直平分线性质求的坐标． 【详解】（1）解： 一次函数中，令，得， 所以 ； 令，得， 解得， 所以 ． 因为 M是的中点，， 所以 ， 故答案为：； （2）解：将代入，即，解得， 所以． 由（）知， 设直线的函数表达式为， 将分别代入， 得，解得 所以直线的函数表达式为． 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 设，则， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以．所以． 所以点的坐标为． （3）解：如图，当点在点右侧时，将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线的函数表达式为，此时， 所以． 将代入，即，解得， 所以； 如图，当点在点左侧时，作线段的垂直平分线，交于点， 连接并延长交轴于点，则．所以． 设， 则， 所以， 解得．所以． 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 所以． 所以当时，即，解得． 所以． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 17．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)当______时，、两种品牌收费相同，此时收费______元． (2)求骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式． (3)请求出、两种品牌收费相差元时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，两种品牌收费相差元时的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键． （1）根据图象中的数据，得到当分钟时，，两种品牌收费相同，此时收费元； （2）根据图象中的数据，点，在该函数图象上，代入所设的表达式中，计算出骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （3）根据图象，先求出品牌电动车每分钟收费情况，然后根据品牌共享电动车超过后的函数表达式为，列出相应方程，求出答案． 【详解】（1）解：由图象得：当分钟时， ，两种品牌收费相同，此时收费元； 故答案为：，． （2）解：设骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ，， 解得，， 即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （3）解：由图象可得：品牌电动车每分钟收费为：（元）， 由题意可得：或， 解得或， 即，两种品牌收费相差元时的值为或． 18．某移动公司设有两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元；类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元．若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元． (1)分别求出，，与之间的函数关系式． (2)某人估计一个月通话时间为分钟，选哪种通讯方式更合算？ 【答案】(1)， (2)选择类更合算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意准确理解两类计费的方式是解题的关键． （1）根据类的费用是月租费加上乘以通话时间，类的费用是乘以通话时间，列出函数关系式； （2）根据（1）的结论当时，分别求得，，并比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，类收费标准为月租费元加上每分钟元， ∴ 类收费标准为每分钟元，无月租费， ∴ ； （2）解：当通话时间分钟时， （元） （元） ∵ ∴ 选择类更合算 19．【问题提出】 (1)如图，在中，，求的面积； 【问题解决】 (2)如图，是某公园的一块空地，公园规划人员计划在点处修建观景台，在边上修建一口水井（不与、重合），沿铺设一条小路，再以小路为对称轴修建另一座与观景台对称的观景台，铺设小路．王师傅将的示意图放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为（水井、观景台的大小及小路的宽度均忽略不计） ①若点到轴、轴的距离相等，求小路所在直线的函数表达式； ②若要使得观景台恰好在的边上，请你求出示意图中水井到观景台的距离（即的长）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，关键是知识点的灵活应用； （1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而求得面积； （2）①根据题意求出点坐标，则小路所在直线的函数表达式可求； ②先论证出是直角三角形，再由轴对称可得是直角三角形，进而利用勾股定理求得由此问题得解． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， 即：是直角三角形，， ∴的面积． （2）解：①设， ∵点 ∴． ∵点在线段上，且点到轴、轴的距离相等， ∴设， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 设小路所在直线的函数表达式为， 将点代入， 得 解得 ∴小路所在直线的函数表达式为． 解：②∵点， ∴，． ∵点， ， ∵， 是直角三角形，． ∵点与点关于对称， ∴≌， ． ∵点在上， ∴，如图所示． 设，则， ∵在中，， ， 解得， 所以示意图中水井到观景台的距离（即的长）为． 20．一条笔直的路上依次有、、三地，其中、两地相距720米．小刚、小欣两人分别从、两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地与．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)小刚到地后，再经过1分钟小欣也到地，求、两地间的距离． 【答案】(1) (2)、两地的距离为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象可得，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据图象求得两人的速度，设、两地的距离为米，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设所在直线表达式为：， 将点，代入得：， 解得． 所在直线表达式为． （2）由图象可得小刚行驶速度为米/分， 小欣行驶速度米／分， 设、两地的距离为米， 由题意得，解得． 答：、两地的距离为396米． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $