4.3.2等比数列的前n项和公式练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（   ） A．149 B．153 C．155 D．157 3．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023高考·全国甲）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 5.已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025高考·全国2）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 三、填空题 9．（2023高考·全国甲）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 10．已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于 . 四、解答题 11．已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 12．（2024高考·全国甲）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 13．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 14．已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 解析 一、单选题 1．设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 解析：设等比数列的公比为，因为，， 则，解得，所以，故选：C. 2．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 答案：B 分析：根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值. 解析：设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 3．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由等比数列的性质及前项和求解． 解析：设等比数列的公比为，由，得， 又，所以，解得，又， 所以，所以. 故选：B. 4．（2023高考·全国甲）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 答案：C 分析：根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 解析：由，，若q=1,则, ，化简：即： ,,又 . 所以. 故选:C. 5.已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 分析：本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 解析：设等比数列的公比为，则， 即，因为，所以， 则，即，解得，故选：B. 点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 6．在数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 答案：C 分析：先化简求出数列的通项公式，再把代入通项公式求出． 解析： ， 又，，故C正确． 故选：C． 二、多选题 7．（2025高考·全国2）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 答案：AD 分析：对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 解析：对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确；故选：AD. 8．已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 答案：BCD 分析：运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 解析：由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（2023高考·全国甲）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 答案： 分析：先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 解析：若，则由得，则，不合题意.所以. 当时，因为，所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 10．已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于 . 答案： 分析：通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 解析：设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得.代入，得. 前5项和. 故答案为：31 四、解答题 11．已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 分析：（1）根据给定的前n项和，求出数列的通项，即可计算作答； （2）由（1）可知，，求解即可. 解析：（1）当时，， 数列是等比数列，满足，，解得. （2）由（1）可知，，，，解得. 12．（2024高考·全国甲）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 分析：（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 解析：（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 13．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 分析：（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 解析：（1）因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以， 所以 . 14．已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 分析：（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解； （2）由错位相减法即可求解. 解析：（1）设等比数列的公比为， 由，，得，即，所以， 由，当时，， 所以，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）得， 则， 两边同时乘以2，得， 两式作差得， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $