第23 讲：等差数列的概念以及通项公式【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦等差数列的概念及通项公式，系统梳理定义（含核心条件与易错辨析）、通项公式（累加法推导及拓展形式）、等差中项等核心知识点，关联常数列与一次函数的关系，构建从概念理解到公式应用的学习支架。 资料亮点在于9类题型分类详解，含定义判断、基本量求解等，配套经典例题与小试牛刀。通过易错辨析培养严谨思维，实际应用题型提升用数学眼光观察现实的能力，证明题型强化逻辑推理，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第23 讲：等差数列的概念以及通项公式】 总览 题型梳理 一、核心概念：等差数列的定义 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 符号语言：对于数列，若（，，为常数），则是等差数列. 重点记忆 1.定义的两个核心条件： 从“第2项起”（第1项无“前一项”，不参与判断）； 差为“同一个常数”（若差随项数变化，则不是等差数列）. 2.公差的取值：可以是正数、负数或0（时为常数列，是等差数列的特殊情况）. 易错辨析 误区1：认为“数列中任意两项的差为常数”就是等差数列. 纠正：必须是“相邻两项的差为同一个常数”，如数列，，，但，不是等差数列. 误区2：忽略“从第2项起”的条件. 纠正：仅比较第2项与第1项的差，无法判定整个数列，需保证所有相邻项的差均为同一常数. 二、等差数列的通项公式 推导（累加法） 由定义，，，，（）. 将以上个式子累加，得： 通项公式的拓展形式 若已知等差数列中任意一项（），则通项公式可写为： 重点记忆 1.通项公式的结构：是关于的一次函数（当时），形式为，其中： 斜率为公差； 常数项为. 2.常数列的通项：当时，（常函数）. 易错辨析 误区：用通项公式时，混淆项数与公差的系数. 纠正：中，公差的系数是“”（不是），如第5项为，不是. 三、等差中项 定义 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且满足： 拓展 在等差数列中，任意连续的三项（）满足：是与的等差中项，即. 重点记忆 1.等差中项的本质：三个数成等差数列的充要条件是中间数为另外两个数的算术平均数. 2.推广：若，且，则在等差数列中，（常考结论）. 易错辨析 误区：认为“任意三个数都有等差中项”. 纠正：任意两个数必有唯一的等差中项，但三个数需满足“中间数=首尾数的平均数”才成等差数列. 四、概念比较：等差数列与常数列、一次函数的关系 概念 与等差数列的关系 常数列 是等差数列的特殊情况（），通项为（常函数）. 一次函数 当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数（定义域为）；一次函数的图像是直线，等差数列的图像是直线上的孤立点. 五、常考结论（教材延伸） 1.等差数列的单调性： 若，数列单调递增； 若，数列单调递减； 若，数列是常数列（不增不减）. 2.等差数列的通项特征： 若数列的通项公式为（为常数），则是等差数列，且公差，首项. 3.等差数列的项的对称性： 若，且，则（等差中项的推广）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：等差数列的定义判断】 【解题策略】 特征：给出数列的通项公式、递推关系或前几项，判断是否为等差数列. 方法：紧扣定义“（，为常数）”，验证相邻两项差是否为同一常数. 名师提醒：若差随项数变化，或仅从第3项起差为常数，均不是等差数列. 【多选题】（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 【多选题】（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. （23-24高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. （2025·湖北·三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型2：等差中项应用】 【解题策略】 特征：已知三个数或数列中连续三项的关系，判断是否成等差数列. 方法：利用等差中项充要条件“”（三个数）或“（）”. 名师提醒：“”仅能说明奇偶项分别成等差，不是整个数列成等差的充分条件. （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）x是1和2的等差中项，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A （24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： （25-26高二上·河北石家庄·月考）已知等差数列的前项和为，，，则（   ）小试牛刀2 A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的相关概念，利用等差中项以及公差的计算，可得答案. 【详解】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以. 故选：B. （2026高三·全国·专题练习）在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质列式求解. 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得， 所以这3个数为. 故答案为： 【题型3：基本量求解（知三求一）】 【解题策略】 特征：已知等差数列的首项、公差、项数、某项中的三个量，求第四个量. 方法：利用通项公式或拓展公式列方程求解. 名师技巧：优先用“”减少计算量. （25-26高三上·山东·月考）已知为数列的前项和，若为公差为的等差数列，则的值为 .经典例题例题 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式及退一相减法可得的通项公式，进而可得解. 【详解】由已知数列为公差为的等差数列， 则， 所以， 当时，， 则 ， 当时，上式仍成立， 则， 则， 故答案为：. （25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】先设等差数列的公差为d，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到的通项，从而得出结果. 【详解】设数列的公差为d，因为，， 则，所以， 所以， 因此，解得. 故答案为：. （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ）小试牛刀3 A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】根据已知递推关系式可得数列为等差数列，从而根据等差数列求解通项公式，从而可得的值. 【详解】因为，，令，所以， 所以，所以为等差数列，首项和公差均为1， 所以， 所以． 故选：D． 【题型4：通项公式推导与应用】 【解题策略】 特征：已知递推关系或前几项，求等差数列通项. 方法： 定义法：先证为等差数列，再求和； 构造法：对递推式变形，构造新的等差数列求解. 名师提醒：若通项为（为常数），可直接判定为等差数列，公差. （23-24高二上·河南濮阳·月考）在数列中，若，则 .经典例题例题 【答案】 【分析】由题设可得，进而得到数列是以3为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得，而， 则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. （2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ．小试牛刀1 【答案】27 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合，即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】由，，① ，② ②①得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令，得，又，， 所以，解得， . 故答案为：27. （2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. （25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果. 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 【题型5：等差数列的对称性应用】 【解题策略】 特征：已知（），求与的关系. 方法：利用性质“”，特殊地“”. 名师技巧：当时，可优先用等差中项简化计算. （2025·广东茂名·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ）经典例题例题 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ）小试牛刀1 A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. （25-26高三上·山东泰安·期中）已知正项等差数列满足，则（   ）小试牛刀2 A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，则，则， 解得或， 又，所以. 故选：C （25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）若数列是等差数列，且，则（   ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质得到，从而代入求值即可． 【详解】解：因为是等差数列， 所以，，解得，故． 故选：D 【题型6：数列的单调性与最值】 【解题策略】 特征：判断等差数列的单调性，或求数列中最大/最小项. 方法： 单调性：递增，递减，常数列； 最值：时找首项或满足且的项；时找首项或满足且的项. 【多选题】（24-25高二下·河北保定·期末）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. （23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B （24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ．小试牛刀2 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【多选题】（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ）小试牛刀3 A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 【题型7：等差数列的证明】 【解题策略】 特征：给出递推关系或前项和，证明数列是等差数列. 方法： 定义法：证（）； 等差中项法：证（）； 前项和法：若（为常数），则为等差. 名师提醒：用前项和证明时，需验证时是否满足通项. （2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）．经典例题例题 (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. （2025·浙江台州·一模）设数列满足.小试牛刀1 (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. （2025·云南昆明·模拟预测）记为数列的前项和，已知，，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式，代入求解即可. （2）由代入化简得，再同除以即可证明. 【详解】（1）当时，， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 故的值为. （2）证明：由可得， 故， 故，即， 故是首项和公差均为1的等差数列. （2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，．证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式．小试牛刀3 【答案】证明见解析， 【分析】将原式进行化简，化简成含有的式子，进而得出数列为等差数列，然后根据等差数列的知识求得通项公式即可. 【详解】证明：由，可得， 则，所以， 即． 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 即，所以． 【题型8：等差数列的实际应用】 【解题策略】 特征：以生活场景（存款利息、设备折旧、行程问题等）为背景，建立等差数列模型. 方法： 1.提取关键量：确定首项（初始量）、公差（变化量）； 2.列通项公式：根据题意写出； 3.求解目标量：如求第项或相关衍生量. （24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 .经典例题例题 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 （23-24高二下·安徽芜湖·月考）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 .小试牛刀1 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以 ，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： （22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ）小试牛刀2 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D （24-25高二下·山东淄博·月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ）小试牛刀3 A．15 B．101 C．21 D．19 【答案】C 【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果. 【详解】因为数列的前几项为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，则. 故选：C 【题型9：新定义/创新题型】 【解题策略】 特征：结合新定义（如“等差子数列”“绝对等差数列”）或跨模块（与函数、不等式结合）. 方法：先理解新定义，再结合等差数列的定义、性质转化为常规问题. （24-25高二上·全国·课后作业）【多选题】在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ）经典例题例题 A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 【答案】ABCD 【分析】根据等定义可知选项A正确；根据可得选项B正确；根据条件表示，利用p为常数可得选项C正确；利用可得，选项D正确. 【详解】根据等方差数列的定义可知A正确. 因为，所以数列是等方差数列，B正确. 若数列既是等方差数列，又是等差数列， 设公差为d，则 ． 又p为常数，所以，C正确. 若数列是等方差数列，则， 故为常数，D正确． 故选：ABCD. 【多选题】（25-26高二上·江苏苏州·月考）（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（   ）小试牛刀1 A． B．记为的前n项和，则为 C．记为数列的前n项和，则 D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意由正三角形求得点和，代入曲线，即可求解；对于B，由图可得为，即可判断，对于C，将点坐标代入曲线，整理得；对于D，由项与和的关系化简得到，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】对于A，得，所以，解得， 又，可得，解得，故A正确； 对于B，由为的前n项和，由图形可得为，即，故B正确； 对于C，由在曲线上，可得，即得，故C错误； 对于D，当时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由，可得，而， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以，故D正确． 故选：ABD. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 2．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得通项公式判断. 【详解】由，可知是以18为首项，以-3为公差的等差数列， 所以 ，即， 所以通过数列图象上所有点的直线方程为， 故选：D 二、填空题 5．（25-26高二上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】7 【分析】由韦达定理和等差中项性质得到答案. 【详解】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 6．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 【答案】201 【分析】先由递推关系分析得到数列是以为首项，以4为公差的等差数列，再由等差数列的性质可得. 【详解】因为，所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以. 故答案为：201 7．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得数列是等差数列，再求出公差及首项即可. 【详解】由数列满足，得数列是等差数列， 由，得公差，由，得，解得， 所以. 故答案为： 8．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】观察递推式为分式的形式，通过取倒数将其转化为线性递推关系，构造等差数列可求得数列的通项公式，进而求解． 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 【答案】16 【分析】通过求出部分项数值，发现奇数项的规律，进而求值即可. 【详解】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 三、解答题 10．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 11．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 【答案】（1）91为数列中的第43项；（2） 【分析】（1）利用等差数列的“项的性质”（如，当时）及通项公式求解； （2）利用数列的前项和求通项公式的方法求解（利用，再验证的情况）. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 又因为，解得， 代入通项公式为：， 令，即，解得（为正整数）， 即91为数列中的第43项． （2）∵， ∴当时，， 当时，， 将代入，得，与一致， ∴的通项公式是． 12．（25-26高二上·江苏南京·月考）（1）已知数列的各项均为正数，且对任意的正整数n，都有成立，证明：数列是等差数列； （2）设数列，，…，，…中的每一项都不为0.对任何，都有.证明：数列为等差数列. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，整理得，根据等差数列的定义得证； （2）根据题设等式化简得且，结合及等差数列的定义得证. 【详解】（1）由可得， 展开得，即， 整理得， 依题意，则，可得， 故数列是公差为3的等差数列. （2）当时，，此式恒成立； 记①， 当时，②， 由①②可得：， 依题意，等式两边同时乘以，， 即时，③， 当时，④， 用③④：， 整理得， 将等式两边同时除以，可得， 即且， 由时且，则，可得， 根据等差数列的定义，可知数列是等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第23 讲：等差数列的概念以及通项公式】 总览 题型梳理 一、核心概念：等差数列的定义 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 符号语言：对于数列，若（，，为常数），则是等差数列. 重点记忆 1.定义的两个核心条件： 从“第2项起”（第1项无“前一项”，不参与判断）； 差为“同一个常数”（若差随项数变化，则不是等差数列）. 2.公差的取值：可以是正数、负数或0（时为常数列，是等差数列的特殊情况）. 易错辨析 误区1：认为“数列中任意两项的差为常数”就是等差数列. 纠正：必须是“相邻两项的差为同一个常数”，如数列，，，但，不是等差数列. 误区2：忽略“从第2项起”的条件. 纠正：仅比较第2项与第1项的差，无法判定整个数列，需保证所有相邻项的差均为同一常数. 二、等差数列的通项公式 推导（累加法） 由定义，，，，（）. 将以上个式子累加，得： 通项公式的拓展形式 若已知等差数列中任意一项（），则通项公式可写为： 重点记忆 1.通项公式的结构：是关于的一次函数（当时），形式为，其中： 斜率为公差； 常数项为. 2.常数列的通项：当时，（常函数）. 易错辨析 误区：用通项公式时，混淆项数与公差的系数. 纠正：中，公差的系数是“”（不是），如第5项为，不是. 三、等差中项 定义 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且满足： 拓展 在等差数列中，任意连续的三项（）满足：是与的等差中项，即. 重点记忆 1.等差中项的本质：三个数成等差数列的充要条件是中间数为另外两个数的算术平均数. 2.推广：若，且，则在等差数列中，（常考结论）. 易错辨析 误区：认为“任意三个数都有等差中项”. 纠正：任意两个数必有唯一的等差中项，但三个数需满足“中间数=首尾数的平均数”才成等差数列. 四、概念比较：等差数列与常数列、一次函数的关系 概念 与等差数列的关系 常数列 是等差数列的特殊情况（），通项为（常函数）. 一次函数 当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数（定义域为）；一次函数的图像是直线，等差数列的图像是直线上的孤立点. 五、常考结论（教材延伸） 1.等差数列的单调性： 若，数列单调递增； 若，数列单调递减； 若，数列是常数列（不增不减）. 2.等差数列的通项特征： 若数列的通项公式为（为常数），则是等差数列，且公差，首项. 3.等差数列的项的对称性： 若，且，则（等差中项的推广）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：等差数列的定义判断】 【解题策略】 特征：给出数列的通项公式、递推关系或前几项，判断是否为等差数列. 方法：紧扣定义“（，为常数）”，验证相邻两项差是否为同一常数. 名师提醒：若差随项数变化，或仅从第3项起差为常数，均不是等差数列. 【多选题】（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ）小试牛刀2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2025·湖北·三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2：等差中项应用】 【解题策略】 特征：已知三个数或数列中连续三项的关系，判断是否成等差数列. 方法：利用等差中项充要条件“”（三个数）或“（）”. 名师提醒：“”仅能说明奇偶项分别成等差，不是整个数列成等差的充分条件. （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）x是1和2的等差中项，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 .小试牛刀1 （25-26高二上·河北石家庄·月考）已知等差数列的前项和为，，，则（   ）小试牛刀2 A．0 B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ．小试牛刀3 【题型3：基本量求解（知三求一）】 【解题策略】 特征：已知等差数列的首项、公差、项数、某项中的三个量，求第四个量. 方法：利用通项公式或拓展公式列方程求解. 名师技巧：优先用“”减少计算量. （25-26高三上·山东·月考）已知为数列的前项和，若为公差为的等差数列，则的值为 .经典例题例题 （25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ．小试牛刀2 （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ）小试牛刀3 A．24 B．25 C．26 D．27 【题型4：通项公式推导与应用】 【解题策略】 特征：已知递推关系或前几项，求等差数列通项. 方法： 定义法：先证为等差数列，再求和； 构造法：对递推式变形，构造新的等差数列求解. 名师提醒：若通项为（为常数），可直接判定为等差数列，公差. （23-24高二上·河南濮阳·月考）在数列中，若，则 .经典例题例题 （2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ．小试牛刀2 （25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：等差数列的对称性应用】 【解题策略】 特征：已知（），求与的关系. 方法：利用性质“”，特殊地“”. 名师技巧：当时，可优先用等差中项简化计算. （2025·广东茂名·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ）经典例题例题 A．7 B．8 C．9 D．10 （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ）小试牛刀1 A．6 B．5 C．12 D．8 （25-26高三上·山东泰安·期中）已知正项等差数列满足，则（   ）小试牛刀2 A．5 B． C． D． （25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）若数列是等差数列，且，则（   ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【题型6：数列的单调性与最值】 【解题策略】 特征：判断等差数列的单调性，或求数列中最大/最小项. 方法： 单调性：递增，递减，常数列； 最值：时找首项或满足且的项；时找首项或满足且的项. 【多选题】（24-25高二下·河北保定·期末）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ）经典例题例题 A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 （23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ．小试牛刀2 【多选题】（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ）小试牛刀3 A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【题型7：等差数列的证明】 【解题策略】 特征：给出递推关系或前项和，证明数列是等差数列. 方法： 定义法：证（）； 等差中项法：证（）； 前项和法：若（为常数），则为等差. 名师提醒：用前项和证明时，需验证时是否满足通项. （2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）．经典例题例题 (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． （2025·浙江台州·一模）设数列满足.小试牛刀1 (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. （2025·云南昆明·模拟预测）记为数列的前项和，已知，，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)证明：为等差数列. （2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，．证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式．小试牛刀3 【题型8：等差数列的实际应用】 【解题策略】 特征：以生活场景（存款利息、设备折旧、行程问题等）为背景，建立等差数列模型. 方法： 1.提取关键量：确定首项（初始量）、公差（变化量）； 2.列通项公式：根据题意写出； 3.求解目标量：如求第项或相关衍生量. （24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 .经典例题例题 （23-24高二下·安徽芜湖·月考）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 .小试牛刀1 （22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ）小试牛刀2 A．17 B．18 C．19 D．20 （24-25高二下·山东淄博·月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ）小试牛刀3 A．15 B．101 C．21 D．19 【题型9：新定义/创新题型】 【解题策略】 特征：结合新定义（如“等差子数列”“绝对等差数列”）或跨模块（与函数、不等式结合）. 方法：先理解新定义，再结合等差数列的定义、性质转化为常规问题. （24-25高二上·全国·课后作业）【多选题】在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ）经典例题例题 A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 【多选题】（25-26高二上·江苏苏州·月考）（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（   ）小试牛刀1 A． B．记为的前n项和，则为 C．记为数列的前n项和，则 D．数列的通项公式为 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 2．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 6．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 7．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 8．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 . 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 三、解答题 10．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 11．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 12．（25-26高二上·江苏南京·月考）（1）已知数列的各项均为正数，且对任意的正整数n，都有成立，证明：数列是等差数列； （2）设数列，，…，，…中的每一项都不为0.对任何，都有.证明：数列为等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $