学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（甘肃兰州专用，北师大版九上全部：特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/] 一、选择题（每小题3分，共36分) 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 6[A]B][C]D] 10[A][B][CD] 3 [A][B][C][D] 7[AB][C][D] 11[AJ[B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(4分) (1)x2-2026x=0 (2)3x(x+1)=2(x+1) 数学第1页（共8页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) ------ 主视图 左视图 俯视图 19.(4分) “火星冲日”天文景象知晓情况 “火星冲日”天文景象知晓情况 条形统计图 扇形统计图 人数 20 1 18 642 B 8 A 642 4 C D 16 CD类别 请在各题目的答题区数学笔2热母兔形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) δ 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答数想典墨色矩形望界定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(6分) A D B 23.(6分) 请在各题目的答题区域内作答数巒出色痴8聊®定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(6分) 25.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，数凿第色须（热8顶区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(7分) y(mg/L) 46 x 请在各题目的答题区域内作数学超第晒彩8项限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) b⑤ ①\ ② 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题且的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(9分) C B ------,B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[A1[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 12.[A][B][C1[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14. 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共12小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(4分) (1)x2-2026x=0 (2)3x(x+1)=2(x+1) 18.(4分) 主视图 左视图 俯视图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(4分) “火星冲日”天文景象知晓情况 “火星冲日”天文景象知晓情况 条形统计图 扇形统计图 人数 20 18 18 B 8 8 642 4 C D 16% 0 AB C D类别 20.(6分) D O B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 24.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(6分) 26.(7分) y(mg/L) 46 7 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) a bi 5 ④ ③ b ① C ⑥ ② B D 图1 图2 图3 28.(9分) P -,B K H E M 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）判断各选项． 【详解】选项A：分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程； 选项B：含参数a，未指定，故不一定是一元二次方程； 选项C：化简得，是一元一次方程，故不是一元二次方程； 选项D：，符合定义，是一元二次方程． 故选D． 2．如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（ ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的特点和规律．在灯光下，离点光源越近，影子越大；离点光源越远，影子越小，所以当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 3．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，已知比例关系，可设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设,（其中）， ∴， 故选：C． 4．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 5．用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的求解步骤． 使用配方法解方程，先将常数项移项，然后二次项系数化为1，再配方形成完全平方式． 【详解】解：∵ ∴ ∴（两边除以3） ∴ ∴ ∴． 故选：D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 7．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键． 根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解． 【详解】解：当时，，故A错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确； ，则图象位于第一、三象限，故C错误； ，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误． 故选 B． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意正确表示出长和宽，再利用面积公式列方程；设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据矩形面积公式可列方程： ， 故选C． 9．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由，为的中点，则，，然后通过等边对等角即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 10．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：C． 11．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小， 根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内 随的增大而减小，点在第三象限，值为负；点和在第一象限，值为正，且由于 ，故，因此 ． 【详解】∵ ， ∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵ 点的， ∴ ， ∵ 点和的， ∴ ，， 又 ∵ ，且在第一象限内函数递减， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：A． 12．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质，得到时线段最短是解题的关键． 根据题意得到四边形是矩形，的最小值即可得到的最小值，且，由垂线段最短，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，连接， ∴，则，，即点三点共线， ∴的最小值即可得到的最小值，且， 当时，的值最小，则的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 14．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理和实数在数轴上表示，理解题意是解题的关键．利用勾股定理求出，理解题意有，再根据实数与数轴的关系求出即可． 【详解】解：由题可知，， ∴，则， ∵A点表示， ∴M点表示的数为： ． 故答案为：． 15．已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 2010 【分析】本题考查了方程根的定义，代数式求值，熟练掌握方程根的定义以及整体代入的思想是解题的关键．根据方程根的定义，可得，然后把代数式化为，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为： 2010． 16．如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键； 分别过点作轴于点，轴于点，轴于点，根据相似及反比例函数的性质可求． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共12小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共4分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，； 18．（本小题共4分）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)画图见解析； (2)平方厘米； (3)． 【分析】（）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置； 此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． 【详解】（1）如图， （2）几何体表面积： （平方厘米）； （3）最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 19．（本小题共4分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)50名，补充图表见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点． （1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据； （2）利用占比即可求出部分圆心角度数； （3）画出树状图，利用树状图求解即可． 【详解】（1）解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） 补充条形统计图如图所示． （2）解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 20．（本小题共6分）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到，然后再结合题意即可证明四边形为矩形； （2）先判断与均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出长，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 22．（本小题共6分）如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质得，结合已知，等量代换即可得证，而，即可证明； （2）由相似三角形的性质得，结合，将相关值代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ，即， （负值已舍去）， 即的长为． 23．（本小题共6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积： (3)不等式的解集是________． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式； （2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 反比例函数的表达式为， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 点， ， ； （3）解：由图象可知，当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 24．（本小题共6分）某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)月增长率为 ． (2)每千克应涨价5元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）通过设月增长率为 ，根据10月和12月的销售量关系列出方程求解； （2）设每千克涨价 元，根据每天盈利6000元列出方程，并选择使顾客实惠的较小解． 【详解】（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%． （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元． 25．（本小题共6分）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 26．（本小题共7分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：，爆炸后： (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 27．（本小题共8分）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．请根据上述信息，回答下列问题： (1)图2所示的割补过程为：割①补 ，割 补⑥，割③补 ； (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求x的值及的面积． 【答案】(1)④，⑤，② (2)，84 【分析】（1）由四边形、四边形、四边形都是正方形得，，，，再证明，得，再证明，，，即可得到问题的答案； （2）由是边上的高，得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图2， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 割①补④； ， ， ，， ， ， 割⑤补⑥，； ，， ， ，， ， 割③补②； 故答案为：④，⑤，②． （2）解：是边上的高， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、等角的余角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 28．（本小题共9分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）（3）①；② 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接，根据正方形的性质证明，得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）①过点作于点，作于点，连接，根据同高三角形的性质得出底的比，假设，利用勾股定理及面积比求出，即可求出；②证明，，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； （3）①如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C D D D B C C C A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 14. 15. 2010 16. 3、 解答题（本大题共12小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（4分）【详解】（1） 或 解得，；......................2分 （2） 或 解得，；......................4分 18.（4分）【详解】（1）如图， ......................2分 （2）几何体表面积： （平方厘米）；......................3分 （3）最多可以再添加个小正方体， 故答案为：．......................4分 19.（4分）【详解】（1）解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） 补充条形统计图如图所示． ......................2分 （2）解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是．......................3分 （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．......................4分 20.（6分）【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形；......................2分 （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，．......................6分 21.（6分）【详解】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根；......................2分 （2） 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴．......................6分 22.（6分）【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ；......................3分 （2）解：， ，即， ，即， （负值已舍去）， 即的长为．......................3分 23.（6分）【详解】（1）解：将点代入，得：， 反比例函数的表达式为， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：；......................2分 （2）解：对于，当时，， 点， ， ；......................4分 （3）解：由图象可知，当时，的取值范围为或． 故答案为：或．......................6分 24.（6分）【详解】（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%．......................2分 （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元．......................6分 25.（6分）【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或；......................2分 （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴．......................6分 26.（7分）【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴；......................3分 （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为；.....................5分 （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井．......................7分 27.（8分）【详解】（1）解：如图2， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 割①补④； ， ， ，， ， ， 割⑤补⑥，； ，， ， ，， ， 割③补②； 故答案为：④，⑤，②．......................4分 （2）解：是边上的高， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， 的面积．......................8分 28.（9分）【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；......................3分 （2）如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴；......................6分 （3）①如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积为．......................9分 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共 12 分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 4 分） (1) ( 2 ) ) ( 18．（ 4 分） 19．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（ 6 分） 21．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 6 分 ） 23.（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 6 分 ） 25.（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26. （ 7 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 2 )数学 第4页（共8页） 数学 第5页（共8页） 数学 第6页（共8页） ( 1 )数学 第1页（共8页） 数学 第2页（共8页） 数学 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 8 ． （ 9 分 ） ) ( 2 7 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共8页） 数学 第5页（共8页） 数学 第6页（共8页） 数学 第1页（共8页） 数学 第2页（共8页） 数学 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（ ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 4．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 7．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 11．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知是关于的一元二次方程，则的值为 ． 14．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 15．已知m是方程的一个根，则的值为 ． 16．如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 3、 解答题（本大题共12小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共4分）解方程： (1) (2) 18．（本小题共4分）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 19．（本小题共4分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 20．（本小题共6分）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 22．（本小题共6分）如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 23．（本小题共6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积： (3)不等式的解集是________． 24．（本小题共6分）某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 25．（本小题共6分）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 26．（本小题共7分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 27．（本小题共8分）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．请根据上述信息，回答下列问题： (1)图2所示的割补过程为：割①补 ，割 补⑥，割③补 ； (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求x的值及的面积． 28．（本小题共9分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（ ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 4．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 7．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 11．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知是关于的一元二次方程，则的值为 ． 14．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 15．已知m是方程的一个根，则的值为 ． 16．如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 3、 解答题（本大题共12小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共4分）解方程： (1) (2) 18．（本小题共4分）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 19．（本小题共4分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．    (1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ (3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 20．（本小题共6分）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 21．（本小题共6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 22．（本小题共6分）如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 23．（本小题共6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积： (3)不等式的解集是________． 24．（本小题共6分）某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 25．（本小题共6分）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 26．（本小题共7分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 27．（本小题共8分）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．请根据上述信息，回答下列问题： (1)图2所示的割补过程为：割①补 ，割 补⑥，割③补 ； (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求x的值及的面积． 28．（本小题共9分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 三 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIICJID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共12小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(4分) (1)x2-2026x=0 (2)3xx+1)=2(x+1) 18.(4分) ---- 主视图 左视图 俯视图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(4分) “火星冲口”天文景象知晓情况 “火星冲口”天文景象知晓情况 条形统计图 扇形统计图 人数 20H 18 6 B 6 C 4 42 D 16% A BCD类别 D 20.(6分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(6分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 24.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(6分) 26.(7分) y(mg/L) 46------ 4 0 x(h) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) a bi (5 ④ ③ 6 ① ⑥ ② B D 图1 图2 图3 28.(9分) --B K E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！