学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（四川成都专用，北师大版九上全部：特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A A A C A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 10. 11. 7 12. 13. 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.【详解】(1) 解： ；.......................6分 (2)解：设，则方程化为： ， 解得，即，得．.......................12分 15.【详解】（1）解：由题意知，样本总数为200,的频数为40．   根据“频率频数样本总数”，得．   故答案为：；.......................2分 （2）解：先求的频数m．   ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，   ∴．.......................3分   补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应； .......................5分 （3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下： 男1 男2 女 男1 (男1，男2) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，女) 女 (女，男1) (女，男2) 由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．  .......................7分 ∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．   答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为．.......................8分 16.【详解】（1）证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形；.......................4分 （2）解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，．.......................8分 17.【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴.......................2分 ∵，， 即：， ∴．.......................3分 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得；.......................6分 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．.......................8分 18.【详解】（1）解：把代入，得， ∴，.......................1分 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为；.......................2分 （2）解：如图，过点作轴交的延长线于点， 对于， 当时，则，解得， ∴，.......................3分 当时，， ∴，.......................4分 设 ，则， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， ∴；.......................6分 （3）如图，延长交轴于点，是关于的对称点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，过点作于点 设直线的解析式为代入，，得 解得：.......................7分 ∴直线的解析式为 当，， ∴， ∵将直线沿直线翻折， ∴ 设， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴的横坐标为 ∵在上， ∴ ∴ 设直线的解析式为 代入，得 解得： ∴直线的解析式为.......................9分 ∵在上 ∴ 解得： ∴点的坐标为．.......................10分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B；.......................1分 （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，；......................4分 画出示意图如下： .......................5分 （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：．.......................8分 25.【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形；.......................3分 （2）解：是等腰三角形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， ∴是等腰三角形；.......................6分 （3）解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴，.......................8分 ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴．.......................10分 26. 【详解】解：（1）如图1，设和交于，   四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上，，；.......................3分 （2）如图2，连接、，延长，分别交、于O、H， 矩形矩形，，， ，， ， ， ，， ． ， ， ，.......................6分 综上，，； （3）四边形是矩形， ， ，， ， ①当点在线段上时，如图2，作于，      由得，， ， ， 在中，，， ， ， ．.......................8分 ②当点在线段的延长线上时， 作于，如图， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， ． 综上所述，当点E、D、G三点共线时，若，的长为3或．.......................12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期期末模拟卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 4 分，共 3 2 分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 4 分，共 20 分） 9 ． ____________________ 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 三、解答题（本大题共 5 小题， 其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分 ．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 4 ．（ 12 分） 计算： ．       （2） 解方程： ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 5 ．（ 8 分） 1 6 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ． （ 10 分） 18 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_______________ 23．________ ， ________ 　　 二 、解答题（本大题共 3 小题， 其中24题8分，25题10分，26题12分，共30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： A卷第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（12分） (1)．      (2)． 15. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. （8分） 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（10分） B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_________ 23．________，________　 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上学期期末模拟卷 九年级数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 正确填涂■ 卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 单项选择题（每小题4分，共32分) 1[A][B][C[D] 2[A[B][CI][D] 3[AB][C][D] 4[A]B][C][D] 5[AB][C][D] 6[A]B][C][D] 7[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分） IIIIIII 9 10 12 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分， 17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 14.(12分)计算：V⑧-（π-3）°+2V2-4-()1. (2)解方程：(2x-1)2=2(1-2x)-1. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(8分) y个频数 80学生人数 70 60 50 4 8 10 5060708090100成绩/分 16.(8分) 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) R 77777777777777777172777777T 图1 图2 18.(10分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19 20 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12 分，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) x+5 x+5 x+5 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D G E G B F B F 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图是 故选：D． 2．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 4．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数（）在第二象限内，随的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴在第二象限内，随的增大而增大； ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设道路宽度为x米，根据草坪的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】设道路宽度为x米， 根据题意得，． 故选：A． 7．把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，关键是熟练运用性质解决问题． 由折叠可得，，根据勾股定理可得的长，由可得，则，进而得到． 【详解】由折叠可知，， ， ， ． 故选：C． 8．如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质得： ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ，即， 故答案为：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 10．佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解答本题的关键是掌握黄金比是．根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离． 【详解】解：由题意可得， 则底部到球体之间的距离米， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质，，，再根据平行线的性质与角平分线的定义得出，从而得出，根据勾股定理得出，继而得出． 【详解】解：矩形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点，若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）（1）计算：．      （2） 解方程：． 【答案】（1）0 （2） 【分析】本题主要考查了实数运算（根式、零次幂、绝对值、负指数幂）、换元法解方程． （1）分别化简、、、，再合并同类项即可． （2）设，将方程化为，配方为，解得，回代得． 【详解】(1) 解： ； (2)解：设，则方程化为： ， 解得，即，得． 15．（本小题共8分）在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)列表见解析，概率为 【分析】本题考查了频数分布表的相关计算、频数分布直方图的补全以及用列表法求随机事件的概率，解题的关键是掌握“频率=频数÷样本总数”的关系，并通过列表列出所有等可能结果来计算概率． （1）根据频率与频数的关系，用的频数除以样本总数200，即可求出n； （2）先通过样本总数减去其他组的频数求出的频数m，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形； （3）标记2名男生和1名女生，用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况，数出“1男1女”的情况数，结合概率公式(概率符合条件的情况数总情况数)计算概率． 【详解】（1）解：由题意知，样本总数为200,的频数为40．   根据“频率频数样本总数”，得．   故答案为：； （2）解：先求的频数m．   ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，   ∴．   补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应； （3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下： 男1 男2 女 男1 (男1，男2) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，女) 女 (女，男1) (女，男2) 由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．   ∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．   答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为． 16．（本小题共8分）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，结合，即可证明四边形是菱形； （2）在中，利用勾股定理求得，然后根据菱形的性质得到，再利用勾股定理在中，求得． 【详解】（1）证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 17．（本小题共10分）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 18．（本小题共10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的交点为 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（点在点的右边），若的面积为 ，求点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，将直线沿直线翻折，与反比例函数图像交于另一点，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，面积问题，平行线分线段成比例，折叠的性质； （1）把代入，求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）过点作轴交的延长线于点，设 ，则，根据的面积为 ，建立方程，解方程，即可求解； （3）延长交轴于点，是关于的对称点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，过点作于点，先求得直线的解析式为，即可得出，根据折叠的性质得出，设，进而得出，，根据得出，根据平行线分线段成比例可得得出的横坐标为，代入反比例函数解析式得出，进而求得直线的解析式为，将点代入，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交的延长线于点， 对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， 设 ，则， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， ∴； （3）如图，延长交轴于点，是关于的对称点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，过点作于点 设直线的解析式为代入，，得 解得： ∴直线的解析式为 当，， ∴， ∵将直线沿直线翻折， ∴ 设， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴的横坐标为 ∵在上， ∴ ∴ 设直线的解析式为 代入，得 解得： ∴直线的解析式为 ∵在上 ∴ 解得： ∴点的坐标为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式需大于等于零，且二次项系数不为零；根据直线经过第一、二、三象限的条件，可知．综合这些条件求出整数的值，并计算它们的和． 【详解】解：方程 为一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 且； 直线经过第一、二、三象限， ， 解得：， 且， 又 为整数， 为 ，，， 它们的和为 ． 故答案为： 20．如图，在中，分别是上的点，平分，交于点，交于点．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 先证，求出，再证明可得，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为． 21．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形表面积的计算，解题的关键是分别求出正方形和等边三角形的面积，再求和得到总表面积． 先计算18个正方形的总面积，再计算8个等边三角形的总面积，两者相加即为印章的表面积． 【详解】解：正方形的面积为，18个正方形的总面积为； 等边三角形的面积为，8个等边三角形的总面积为； 则印章的表面积为． 故答案为：． 22．在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．再证明，即得出，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点， ∵点在一次函数图象上， ∴，，， ∴ 由旋转的性质可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 23．在中，，垂足为，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与相交于点．若，则 ； ． 【答案】 【分析】由题意可得，，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，，作于，则，由等面积法得出，由勾股定理可得，则，求出，作于，则，证明，则，由勾股定理可得，作于，则，证明，由相似三角形的性质可得，再证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，， 如图，作于， ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见解析，，，，， (3) 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据题意可得， ，进而根据阅读材料构造大正方形，即可求解． 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 25．（本小题共10分）问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查矩形，正方形，菱形，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，证明，得，结合正方形的判定方法“一组邻边相等的矩形是正方形”即可求证； （2）证明，结合（1）即可求证； （3）如图所示，延长到点H，使得，连接，证明，可得是等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 26．（本小题共12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点，直接写出与的关系． 【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形”，如图2，判断与的数量关系和位置关系，并写出证明过程． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若矩形以点为旋转中心，顺时针旋转过程中，当点E、D、G三点共线时，若，直接写出的长． 【答案】（1），；（2），；（3）3或 【分析】（1）可证明，从而，，进一步得出结论； （2）连接、，延长，分别交、于O、H，根据相似矩形的性质得到，，再证明得到，，进而可求解； （3）分两种情况：①当点在线段上时，作于，可依次求得，，，解直角三角形求得，，利用（2）中结论求得．②当点在线段的延长线上时， 作于，同法可求． 【详解】解：（1）如图1，设和交于，   四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上，，； （2）如图2，连接、，延长，分别交、于O、H， 矩形矩形，，， ，， ， ， ，， ． ， ， ， 综上，，； （3）四边形是矩形， ， ，， ， ①当点在线段上时，如图2，作于，      由得，， ， ， 在中，，， ， ， ． ②当点在线段的延长线上时， 作于，如图， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， ． 综上所述，当点E、D、G三点共线时，若，的长为3或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转性质等知识，解决问题的关键是正确理解题意，作辅助线，构造直角三角形． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 A卷第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1[A][B][C][D] 2.[A][B][C1[D1 3.[A1[B][C1[D] 4[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.A1[B1[C1[D1 8.[A][B1[CI[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共20分） 10. 11 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14.(12分) (1)⑧-π-3)°+22-4-()1. (2)(2x-1)2=2(1-2x)-1. 15.(8分) y频数 80 学生人数 60 5 40 20 0 5060708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (8分) A D B E 17.(10分) D B C E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 图 图2 B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) x+5 x+5 x+5 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) G E G E ---B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) H G E F 图1 图2 备用图………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 2．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 8．如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 10．佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 11．如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 12．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点，若，，则长为 ． 13．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）（1）计算：．      （2） 解方程：． 15．（本小题共8分）在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 16．（本小题共8分）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 17．（本小题共10分）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 18．（本小题共10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的交点为 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（点在点的右边），若的面积为 ，求点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，将直线沿直线翻折，与反比例函数图像交于另一点，若 ，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 20．如图，在中，分别是上的点，平分，交于点，交于点．若，且，则 ． 21．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 ．（用含a，b的式子表示） 22．在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是 ． 23．在中，，垂足为，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与相交于点．若，则 ； ． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 25．（本小题共10分）问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 26．（本小题共12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点，直接写出与的关系． 【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形”，如图2，判断与的数量关系和位置关系，并写出证明过程． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若矩形以点为旋转中心，顺时针旋转过程中，当点E、D、G三点共线时，若，直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数）。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 2．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 8．如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 10．佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 11．如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 12．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点，若，，则长为 ． 13．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）（1）计算：．      （2） 解方程：． 15．（本小题共8分）在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 16．（本小题共8分）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 17．（本小题共10分）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 18．（本小题共10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ，与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的交点为 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（点在点的右边），若的面积为 ，求点的坐标； (3)如图2，在第（2）问的条件下，点为轴正半轴上一点，连接，将直线沿直线翻折，与反比例函数图像交于另一点，若 ，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 20．如图，在中，分别是上的点，平分，交于点，交于点．若，且，则 ． 21．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 ．（用含a，b的式子表示） 22．在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是 ． 23．在中，，垂足为，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与相交于点．若，则 ； ． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想        B．数形结合思想            C．整体代换思想 (2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 25．（本小题共10分）问题解决：如图1在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2；在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 26．（本小题共12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点，直接写出与的关系． 【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形”，如图2，判断与的数量关系和位置关系，并写出证明过程． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若矩形以点为旋转中心，顺时针旋转过程中，当点E、D、G三点共线时，若，直接写出的长． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $