专题04 圆锥曲线的方程与性质（期末复习知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

该高中数学专题清单全面覆盖圆锥曲线的方程、性质及位置关系，通过18个知识清单、20类题型、3个易错点及3个方法清单，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以知识清单系统梳理（如圆的标准方程与一般方程对比）、题型分类配变式（如直线与圆位置关系分几何法代数法详解）、易错点警示（如焦点位置考虑不全）构建体系，培养数学思维与数学语言，助力学生自主高效复习，辅助教师精准教学设计。

专题04 圆锥曲线的方程与性质（18知识&20题型&3易错&3方法清单） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单03】判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单05】椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单06】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【清单07】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单08】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单09】双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【清单10】等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【清单11】直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【清单12】弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【清单13】双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【清单14】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单15】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【清单16】抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【清单17】直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【清单18】直线和抛物线1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【题型一】求圆的方程 【例1】（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【变式1-1】（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【变式1-2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【题型二】直线与圆的位置关系 【例2】（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【变式2-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【变式2-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 【题型三】切线问题 【例3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【变式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆和点． (1)过点向圆引切线，求切线方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 【变式3-3】（21-22高二下·上海宝山·期末）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则四边形面积的最小值为 . 【题型四】已知圆的弦长求方程或参数 【例4】（23-24高二上·上海宝山·期末）若直线截圆所得弦长为8，则 ． 【变式4-1】（9-10高一下·山东滨州·期末）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【变式4-2】（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【题型五】直线与圆中的定点定值问题 【例5】（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·月考）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合），求证：直线过定点． 【变式5-3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【题型六】直线与圆的位置关系中的距离最值问题 【例6】（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【变式6-1】（25-26高三上·上海·月考）已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 【变式6-2】（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【题型七】由圆与圆的位置关系确定参数 【例7】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）若圆与圆外切，则实数 . 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【变式7-3】（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【题型八】圆与圆的公共弦问题 【例8】（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【变式8-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【变式8-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【题型九】圆的公切线问题 【例9】（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【变式9-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式9-2】（23-24高二上·上海·月考）证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【变式9-3】（23-24高三上·上海普陀·开学考试）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【题型十】圆锥曲线定义辨析 【例10】（25-26高二上·上海徐汇·月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式10-1】（2023·上海浦东新·模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 . 【变式10-2】（24-25高二上·山西太原·月考）设是双曲线右支上的一点，则代数式的最小值为 ． 【变式10-3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是 （1）椭圆； （2）双曲线； （3）抛物线； （4）两条射线； （5）一条直线. 【题型十一】椭圆、双曲线、抛物线中距离和差最值问题 【例11】（23-24高三上·陕西·月考）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【变式11-3】（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【题型十二】椭圆、双曲线中焦点三角形问题 【例12】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【变式12-1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式12-2】（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【变式12-3】（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【题型十三】椭圆、双曲线离心率问题 【例13】（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ． 【变式13-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【变式13-3】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ． 【题型十四】求圆锥曲线方程 【例14】（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【变式14-1】（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 【变式14-2】（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型十五】直线与圆锥曲线中的中点弦问题 【例15】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【变式15-1】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【变式15-2】（20-21高二上·上海浦东新·期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 . 【变式15-3】（21-22高二下·上海闵行·期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线在轴上截距为2，求； (3)若的中点横坐标为1，求直线的方程． 【题型十六】圆锥曲线中的弦长问题 【例16】（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【变式16-1】（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一个焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为 . 【变式16-2】（21-22高一下·上海青浦·期末）设、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积等于 ． 【变式16-3】（21-22高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 【题型十七】圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 【例17】（2021·上海徐汇·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则 . 【变式17-1】（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    【变式17-2】（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【变式17-3】（20-21高二上·上海杨浦·期末）如果是椭圆上的动点，是椭圆上的动点，那么面积的最大值为 . 【题型十八】轨迹方程问题 【例18】（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【变式18-1】（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知圆C：上一动点M，点，线段MB的中垂线交直线MC于点，且点P到y轴的距离是，则 . 【变式18-2】（22-23高二上·上海嘉定·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【变式18-3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为 【题型十九】圆锥曲线中参数方程的应用 【例19】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为 . 【变式19-1】（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【变式19-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 【变式19-3】（24-25高三下·上海浦东新·月考）在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【题型二十】极坐标系与极坐标方程 【例20】（24-25高二·上海·随堂练习）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 【变式20-1】（24-25高二·上海·随堂练习）的底边，，以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程． 【变式20-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，点Q在圆周上运动． (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹． 【变式20-3】（24-25高二上·上海·课后作业）在极坐标系中，如果等边的两个顶点是，，那么顶点的极坐标可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型一】对圆的切线认识不清 【例1】（24-25高二上·上海·期末）已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 【变式1-1】（24-25高二上·贵州·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 【变式1-2】（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二】对圆锥曲线焦点位置考虑不周全 【例2】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【变式2-2】（21-22高一下·上海杨浦·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【题型三】混淆圆锥曲线的定义 【例3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为 【变式3-1】（24-25高三上·上海·期中）平面直角坐标系中，动圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，若与均为正常数，则的圆心轨迹在 图形上（写出所有的正确序号）. （1）两条直线；（2）圆；（3）椭圆；（4）双曲线；（5）抛物线 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【题型一】已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。 具体步骤如下： 第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式； 第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值； 第三步：验证解的正确性。 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是 ．    【变式1-2】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·月考）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【题型二】求直线与圆锥曲线相交的弦长 首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程。然后，利用韦达定理求出交点横（纵）坐标和。最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长。 具体步骤如下： 第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程。 第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）。 第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长。 【例2】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，过C的右焦点作x轴的垂线交C于A，B两点，则 ． 【变式2-1】（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时， ． 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则 ， ． 【变式2-3】（25-26高二上·天津·月考）已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长 ． 【题型三】圆锥曲线的中点弦问题 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 ． 【变式3-1】（25-26高二上·贵州·期中）已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【变式3-2】（25-26高二上·天津静海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程与性质（18知识&20题型&3易错&3方法清单） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单03】判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单05】椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单06】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【清单07】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单08】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单09】双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【清单10】等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【清单11】直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【清单12】弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【清单13】双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【清单14】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单15】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【清单16】抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【清单17】直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【清单18】直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【题型一】求圆的方程 【例1】（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程． 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 【题型二】直线与圆的位置关系 【例2】（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 【变式2-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围. 【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号) 【答案】②④ 【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以到的距离，且， 对任意实数与，直线和圆有公共点，②对； 对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对. 故答案为：②④ 【题型三】切线问题 【例3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 【变式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆和点． (1)过点向圆引切线，求切线方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率是否存在进行讨论，依据是直线和圆相切等价于圆心到直线的距离等于圆的半径. （2）画出图形，并由题意可知，从而可知点的轨迹方程是圆，注意到点在已知圆内部，故点的轨迹方程对有限制. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，对于过点的直线， 当斜率不存在时，则，此时圆心到直线的距离，即符合题意； 当斜率存在时，设斜率为，则，即，可得， 解得，故直线； 综上所述：所求直线方程为或． （2）如图所示： 因为弦中点为， 则由垂径定理可知， 故点在以为直径的圆上，即点在以为圆心，以1为半径的圆上， 故点的轨迹方程为：， 又由题意可知：点在圆内， 所以联立方程，解得：， 即弦中点的轨迹方程为． 【变式3-3】（21-22高二下·上海宝山·期末）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则四边形面积的最小值为 . 【答案】8 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆得， 因为四边形的面积， 在中， 要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，所以， 所以，， 故答案为：8 【题型四】已知圆的弦长求方程或参数 【例4】（23-24高二上·上海宝山·期末）若直线截圆所得弦长为8，则 ． 【答案】或 【分析】由题意可得圆心到直线的距离为，解方程即可得出答案. 【详解】由圆可得：， 所以圆心，， 设圆心到直线的距离为， 由直线截圆所得弦长为8， 可得：， 又，解得：或. 故答案为：或. 【变式4-1】（9-10高一下·山东滨州·期末）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 【变式4-2】（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； （2）设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解； 【详解】（1）因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：， 所以直线的方程： （2）设圆心到直线的距离为， 则， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程： 【题型五】直线与圆中的定点定值问题 【例5】（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2)过定点， 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. （2）由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·月考）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析；定值为 【分析】（1）根据题意，求得圆的方程为，分类直线的斜率不存在和斜率存在，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，根据直线的斜率之积为，求得，联立方程组，此时方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线，利用斜率公式，列出方程求得，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得，进而得出直线过定点. （3）设直线，联立方程组，求得，同理求得点，求得，即可得证. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，且该圆经过点， 可得，即圆的半径为，所以圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为，圆的半径为，可得圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. （2）解：当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，且， 可得，即， 又因为点在圆上，可得， 联立方程组，此时方程组无解，（舍去）； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由， 整理得， 联立方程组，整理得， 所以， 代入上式，可得， 整理得，所以直线的方程为， 可得直线的方程为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点. （3）解：设直线， 联立方程组，整理得， 所以点的坐标为， 同理可得：点的坐标为， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； (3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合），求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. 【详解】（1）因为圆C：，即， 可知圆C的圆心为，半径，    由题意可得：， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点的轨迹方程为. （2）因为四边形面积，    可知当时，取到最小值， 所以四边形面积的最小值为. （3）由题意可知：直线，不妨令，    先说明如下问题：若点为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点， 且与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 【点睛】关键点点睛：根据图形变换，将圆心平移至坐标原点，这样可以简化运算. 【变式5-3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由构成方程组得，再结合点，在圆上可求得，则可求； （2）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程可得，B同理可得，再由，，三点共线，得到 ，能得到与的关系式，然后可求，得到与的关系式，则的值可求. 【详解】（1）设，， 由得，即，故. 因为点，在圆上，所以，解得：， 所以，又，所以. （2）依题意，，，直线的方程为， 联立方程组，整理得：， 所以，，故. 同理可得. 因为，，三点共线，所以，即， 整理可得：， 显然，故. 设，则，解得， 即，所以，所以. 【题型六】直线与圆的位置关系中的距离最值问题 【例6】（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，由题意可得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】因为直线，即，令，解得， 所以直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时， 距离最大为. 故答案为： 【变式6-1】（25-26高三上·上海·月考）已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义列式，结合三角函数恒等变换求得最小值. 【详解】设，，由，，可得、在单位圆上， 又，可得，可得. 设直线，则所求即为. 设，，， 结合图象，当时，、在同侧. 先考虑同侧，所求即为 ，而， 取值范围是， 所以所求式最小值在取到，此时最小值为. 再考虑异侧（含或在上），此时， 所求即为 ， 而，取值范围是， 因此所求式最小值为，在或时取到. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【变式6-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 【题型七】由圆与圆的位置关系确定参数 【例7】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，确定圆心距等于半径和，由此得到方程： ，解方程即可求解. 【详解】圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径，， 因为两圆外切，所以，即， 整理有：，解得：. 故答案为： 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 【题型八】圆与圆的公共弦问题 【例8】（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 【变式8-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】利用两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用点线矩求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【题型九】圆的公切线问题 【例9】（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 【变式9-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 【变式9-2】（23-24高二上·上海·月考）证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【答案】证明见解析，； 【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即可得出切点坐标. 【详解】将两圆化为标准方程得： ，， 即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，， 则两圆心距离为， 则，故两圆内切， 两圆方程作减得两圆公切线：， 与圆联立，消去得：，解得， 则，故两圆的切点坐标为. 【变式9-3】（23-24高三上·上海普陀·开学考试）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 【题型十】圆锥曲线定义辨析 【例10】（25-26高二上·上海徐汇·月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简给定的曲线方程并确定与椭圆的位置关系，再结合椭圆的定义求解判断. 【详解】曲线方程化为，它表示顶点分别为的菱形， 以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如下图： 由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时， 即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，， 所以. 故选：C 【变式10-1】（2023·上海浦东新·模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，进行以为圆心的动圆与两圆相外切和与圆外切，与圆内切，两种情况讨论，利用点的轨迹为椭圆，即可得出结果. 【详解】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，    令以为圆心的动圆半径为， 则，， 因， 所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意； 若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，    令以为圆心的动圆半径为， 则，， 因， 若点的轨迹为椭圆， 则，即， 且圆与圆不相交，即， 综上，若点的轨迹为椭圆，则. 故答案为： 【变式10-2】（24-25高二上·山西太原·月考）设是双曲线右支上的一点，则代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】将原式转化到双曲线上的点到定点的距离之差，结合双曲线的几何意义和三角不等式即可得到答案. 【详解】由题意双曲线的左右焦点分别为和. 原代数式可化简变形为：，设点，，，原代数式的几何意义为双曲线右支上一点到的距离减去到右焦点的距离,即； 根据双曲线的定义，，当点为延长线与双曲线右支的交点时，，；当点在异于的位置时，由三角不等式可知： ，. 综上，所求代数式的最小值即为. 故答案为： 【变式10-3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是 （1）椭圆； （2）双曲线； （3）抛物线； （4）两条射线； （5）一条直线. 【答案】（2）（4）（5） 【分析】设两定点分别为、，动点为，则为定值.分、、三种情况讨论，分析出三种情况下点的轨迹的形状，可得出结论. 【详解】设两定点分别为、，动点为，则为定值. ①若，则，此时点的轨迹为线段的垂直平分线，（5）满足； ②若，则点的轨迹是以、为焦点的双曲线，（2）满足； ③若，则点的轨迹是直线上去除线段（不含端点）的两条射线，（4）满足. 故答案为：（2）（4）（5）. 【题型十一】椭圆、双曲线、抛物线中距离和差最值问题 【例11】（23-24高三上·陕西·月考）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解. 【详解】因为椭圆，则， 所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则， 由椭圆的定义得，，    所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值， 此时． 故选：B 【变式11-1】（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 【变式11-3】（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 【题型十二】椭圆、双曲线中焦点三角形问题 【例12】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 【变式12-1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，则， 设，，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值， 且的最大值大于，所以，可以取， 当时，，可得，此时； 当时，由余弦定理可得， 因为，解得，此时； 当时，同理可得. 综上所述，或. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 【变式12-3】（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 【题型十三】椭圆、双曲线离心率问题 【例13】（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 【变式13-1】（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设.再结合椭圆的定义用a表示出与的值，最后在中利用余弦定理求出离心率. 【详解】已知，设. 根据椭圆的定义： ，且， 则，得到. 在中，根据余弦定理， 可得：， 化简得到，即， 则，则或， 当，则， 在中，，，，， 根据余弦定理， 可得： ， 可得：，则， 可得. 当时，，不合题意，舍去， 故答案为：. 【变式13-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 【变式13-3】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 【题型十四】求圆锥曲线方程 【例14】（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式14-1】（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 【变式14-2】（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 【变式14-3】（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【题型十五】直线与圆锥曲线中的中点弦问题 【例15】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入点即可得结果； （2）利用点差法求直线的斜率，即可得方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法 （1）用“点差法”求解弦中点问； （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 【变式15-1】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】 取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示：    由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以，， 取线段的中点，连接，则，所以，， 所以，，故， 设点、，则点， 所以，，两个等式作差可得，可得， 所以，， 所以，椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式15-2】（20-21高二上·上海浦东新·期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，用点差法表示出直线的斜率，再利用可得结论． 【详解】设，中点， 则，相减得， 斜率存在时， ∴， 又是中点，且直线过点， 所以，化简得， 斜率不存在时，方程为，中点为适合上述方程． ∴点的轨迹方程是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆弦中点问题，解题方法是“点差法”，即设弦两端点坐标为，代入椭圆方程后相减，变形可得弦所在直线斜率与弦中点坐标之间的关系．这种方法在其他圆锥曲线也适用． 【变式15-3】（21-22高二下·上海闵行·期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线在轴上截距为2，求； (3)若的中点横坐标为1，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出的方程进行求解即可； （2）利用弦长公式直接计算即可； （3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）由题意得直线的方程为，由得，，设，则，所以； （3）当直线的斜率不存在时，中点横坐标为，显然不合题意，所以设直线的方程为， 由，得， 设，则，解得， 此时所联立方程可整理化简得：，满足，符合题意， 故直线的方程为． 【题型十六】圆锥曲线中的弦长问题 【例16】（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得. 【详解】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式16-1】（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一个焦点为是这两曲线的一个交点，则的面积为 . 【答案】 【分析】 利用抛物线方程得出焦点坐标，从而得出椭圆方程，联立椭圆与抛物线可求出P坐标，根据三角形面积公式计算焦点三角形的面积即可. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得； 椭圆方程为，联立椭圆与抛物线：， 得，解得或（舍去）， 所以，即点，又因为，所以. 故答案为： 【变式16-2】（21-22高一下·上海青浦·期末）设、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积等于 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理结合双曲线的定义求得，然后由三角形面积公式得结论． 【详解】由题意，，， 由双曲线定义得，平方得①， 又由余弦定理得，即②， ②－①得，， 所以． 故答案为：． 【变式16-3】（21-22高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的焦距和离心率求得双曲线方程，根据题意可令，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线，则半焦距， 又离心率为2，则，故， 则双曲线方程为， 过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点， 则令，故， 故， 故答案为：12. 【题型十七】圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 【例17】（2021·上海徐汇·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则 . 【答案】 【分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值. 【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示： 在双曲线中，，，则，即点、， 因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且， 因为，故、、三点共线， 所以，，故， 由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、， 联立，可得， 所以，，可得， 由韦达定理可得，，可得， ， 整理可得，即，解得或（舍）， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式17-1】（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    【答案】1 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【详解】如图：    设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 【变式17-2】（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 【变式17-3】（20-21高二上·上海杨浦·期末）如果是椭圆上的动点，是椭圆上的动点，那么面积的最大值为 . 【答案】 【解析】设点、，可计算得出，利用正弦函数的有界性可求得结果. 【详解】设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：在计算三角形的面积时，记，，，则来计算，在应用此结论时应先证明. 【题型十八】轨迹方程问题 【例18】（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式18-1】（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知圆C：上一动点M，点，线段MB的中垂线交直线MC于点，且点P到y轴的距离是，则 . 【答案】/ 【分析】根据确定的轨迹为椭圆的右半部分，根据条件联立方程组得到，再计算长度得到答案. 【详解】圆C：，圆心为，半径， 如图所示：连接，则，， 故的轨迹为椭圆的右半部分，椭圆方程为：，（）， 点P到y轴的距离是，则，且， 解得，（舍去负值），故. 故答案为： 【变式18-2】（22-23高二上·上海嘉定·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得. 【详解】圆，即，圆心为，， 圆，即，圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，， 则， 所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆， 可设方程为，则，， 所以，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式18-3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为 【答案】 【分析】由双曲线定义可得答案. 【详解】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为： ，右焦点为，则， 故.则双曲线方程为：. 故答案为：. 【题型十九】圆锥曲线中参数方程的应用 【例19】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心的坐标，利用同角三角函数关系式构建圆心横纵坐标间的关系，即可得到圆心的轨迹方程. 【详解】圆的方程可化为， 设圆心的坐标为，则满足， 由，得，且， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式19-1】（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 【变式19-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，令，则. （2）设，，， 则， 所以， 所以， 从而，由， 可得，则 又直线的方程为， 所以点到的距离， 所以. 【变式19-3】（24-25高三下·上海浦东新·月考）在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【答案】 【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积. 【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示， 其中，而，易知， 所以动线段AP所形成图形的面积. 故答案为：. 【题型二十】极坐标系与极坐标方程 【例20】（24-25高二·上海·随堂练习）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 【答案】D 【分析】根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果. 【详解】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为：和． 故选：D． 【变式20-1】（24-25高二·上海·随堂练习）的底边，，以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程． 【答案】（且）. 【分析】设，由正弦定理建立极坐标方程且化简即得. 【详解】令，点在极轴上方时，在中，，， ，，当点在极轴上方时，，，即， 由正弦定理得 ， ， 此时点轨迹的极坐标方程为（）； 由对称性当点在极轴下方时可得极坐标方程为（）， 所以点轨迹的极坐标方程为（且）． 【变式20-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，点Q在圆周上运动． (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹． 【答案】(1) (2)点P的轨迹是圆 【分析】（1）根据极坐标的定义得出间的关系，结合几何特征得出极坐标方程； （2）结合（1）的结论结合点的关系得出极坐标方程进而判断轨迹. 【详解】（1）如图，设为圆上任意一点，OD为直径， 连接DQ、OQ，则，或， 因为，所以在中，， 即，所以圆C的极坐标方程为．    （2）若P的极坐标为，则Q点的极坐标为，所以， 所以．所以点P的轨迹是圆． 【变式20-3】（24-25高二上·上海·课后作业）在极坐标系中，如果等边的两个顶点是，，那么顶点的极坐标可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分析可知极点为线段的中点，且，求出，由此可得出点的极坐标. 【详解】极坐标系中，若等边的两个顶点、， 则极点为线段的中点，且，， 所以，点的极坐标可能为或． 故选D． 【题型一】对圆的切线认识不清 【例1】（24-25高二上·上海·期末）已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出切线的斜率，再写出切线方程． 【详解】因为，所以点在圆为外，如图所示， 则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以； 当切线的斜率不存在时，则. 综上，切线方程为或. 【变式1-1】（24-25高二上·贵州·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先设圆心坐标再根据两点间距离公式得出半径等于点到切线距离计算求参即可；先设圆心坐标再根据垂直直线斜率关系得出参数再应用两点间距离公式得出半径即可； （2）分直线的斜率不存在及直线的斜率存在两种情况再应用点到直线距离分别求解. 【详解】（1）方法1：由题意，设圆心，半径， 圆经过点，， 圆与直线相切， 圆心到直线的距离为， ，化简得：，解得； 则圆心为，半径， 所以圆的方程为. 方法2：由题意，设圆心，半径； 圆与直线相切于点， 则，解得； 则圆心为，， 所以圆的方程为. （2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点， ①若直线的斜率不存在，其方程为， 圆心到直线的距离为，显然符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 则此时直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 【变式1-2】（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程变形可知曲线为半圆弧，将斜率关系转化为过点的直线与圆弧与两不同交点，结合图形可求直线斜率的范围. 【详解】由得， 曲线为以为圆心，为半径的上半圆弧. 由，为不同两点，且， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，直线的斜率为， 当过点的直线与圆相切于点时， 设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离， 解得（舍），或，即直线的斜率为， 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线AB斜率的取值范围为，即. 故选：B. 【题型二】对圆锥曲线焦点位置考虑不周全 【例2】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化成椭圆的标准方程形式，即可求解. 【详解】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得，则实数k的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 【变式2-2】（21-22高一下·上海杨浦·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据焦点在y轴的椭圆方程的条件，建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围 【详解】椭圆化成标准方程形式，得，∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得，得实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】分类讨论焦点的位置结合双曲线的定义计算即可. 【详解】由已知得双曲线的焦距， ①当双曲线的焦点在x轴上时， 由题意可得，解方程可得或，但和不满足不等式，故无解； ②当双曲线的焦点在y轴上时， 由题意可得，解方程得或， 但当时不能满足，故， 综合①②可得， 故选：A． 【题型三】混淆圆锥曲线的定义 【例3】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为 【答案】 【分析】由双曲线定义可得答案. 【详解】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为： ，右焦点为，则， 故.则双曲线方程为：. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高三上·上海·期中）平面直角坐标系中，动圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，若与均为正常数，则的圆心轨迹在 图形上（写出所有的正确序号）. （1）两条直线；（2）圆；（3）椭圆；（4）双曲线；（5）抛物线 【答案】（1）（4） 【分析】令的圆心为，半径为，得到，，进而有，即可得轨迹. 【详解】令的圆心为，半径为，则，， 所以，，故， 当时，表示两条直线； 当时，与均为正常数，为双曲线； 综上，圆心轨迹可能为（1）（4）. 故答案为：（1）（4） 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【题型一】已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。 具体步骤如下： 第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式； 第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值； 第三步：验证解的正确性。 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出与原直线距离为的平行线，计算圆心到这些平行线的距离，结合圆与直线的位置关系确定半径的范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 设与距离为的平行线为， 由两平行线的距离公式，可得，即，解得或 于是得两条平行线：和. 分别计算圆心到的距离：， 要使圆上恰有两点到原直线的距离为， 需使圆与相交且与相离，即. 所以. 故答案为：.    【变式1-2】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    【变式1-3】（24-25高二上·上海·月考）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】(1)9或 (2) 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【详解】（1）由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； （2）圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 【题型二】求直线与圆锥曲线相交的弦长 首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程。然后，利用韦达定理求出交点横（纵）坐标和。最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长。 具体步骤如下： 第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程。 第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）。 第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长。 【例2】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，过C的右焦点作x轴的垂线交C于A，B两点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得椭圆的右焦点为，将代入椭圆的方程，求得的纵坐标，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的右焦点为， 将代入椭圆的方程，可得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时， ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，. 故答案为： 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则 ， ． 【答案】 / 【分析】在中，由余弦定理求解可得，然后记，在中，由余弦定理求出，然后可得. 【详解】由椭圆C：可知，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即； 记，则， 在中，由余弦定理得， 解得，所以. 故答案为：；. 【变式2-3】（25-26高二上·天津·月考）已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程求出点的坐标，最后利用两点之间距离公式求出结果. 【详解】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为. 因为抛物线的焦点为，直线过点， 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程得，即. 解得或，所以. 所以. 故答案为：. 【题型三】圆锥曲线的中点弦问题 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】利用点差法求解直线的斜率. 【详解】设，， 因为线段的中点坐标为，所以，， 将点，代入椭圆方程可得：， 两式相减得，即， 也即，所以. 设直线的斜率为，则. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·贵州·期中）已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为线段的中点坐标为，所以. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·天津静海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 【答案】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $