专题05 平面解析几何-天津市高职分类招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题05 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.理解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质。 考点01 直线 1．（2025·天津·真题T05）过点且斜率为4的直线方程为：（ ） A. B. C. D. 2.（2024·天津·真题T07）已知直线l经过两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 3.（2023·天津·真题T05）已知点，则两点间的距离为（ ） A. 37 B. C. D. 4.（2022·天津·真题T13）已知点，，则________． 5.（2021·天津·真题T13）已知点，，则线段的中点坐标为___________ 考点02 圆 6．（2025·天津·真题T12）圆 与圆 的圆心距为：________ 7.（2023·天津·真题T10） 圆的圆心坐标为_______． 8.（2022·天津·真题T05）斜率为2，且在y轴上的截距为5的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 9.（2021·天津·真题T05）以为圆心，3为半径圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 考点03 直线与圆 10.（2024·天津·真题T13）若圆与直线相切，则半径_______________． 考点04 圆锥曲线 11.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 12.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 13.（2023·天津·真题T13）双曲线的渐近线方程为_______． 14.（2022·天津·真题T12） 双曲线的离心率为________． 15.（2021·天津·真题T12）双曲线的焦距为__________ 考点05 综合应用题 16.（2025·天津·真题T18）已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求坐标原点O到直线的距离d； （3）已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 17.（2024·天津·真题T18）已知椭圆方程C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为8，短轴长为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C上有一点P到左焦点的距离为5，求点P到右焦点的距离； （3）已知双曲线与椭圆C有相同焦点，且双曲线的左焦点到该双曲线渐近线的距离为，求双曲线的标准方程． 18.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 19.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 20.（2021·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点与椭圆的左顶点重合，求抛物线的标准方程； （3）设，分别为椭圆的左、右焦点，过作与x轴垂直的直线l，交椭圆于M和N两点，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.理解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质。 考点01 直线 1．（2025·天津·真题T05）过点且斜率为4的直线方程为：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据斜率设定直线的点斜式方程，再代入点坐标，即可求解. 【详解】斜率为4的直线可设为， 直线过点，代入， 得到，即， 所以直线方程为. 故选：A 2.（2024·天津·真题T07）已知直线l经过两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率计算公式代入求解. 【详解】因为直线l经过两点， 代入斜率计算公式得直线斜率， 故选：B. 3.（2023·天津·真题T05）已知点，则两点间的距离为（ ） A. 37 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入两点间距离公式即可得解. 【详解】点，则， 故选：. 4.（2022·天津·真题T13）已知点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合两点间的距离公式，即可代入求解. 【详解】因为点，， 所以. 故答案为：. 5.（2021·天津·真题T13）已知点，，则线段的中点坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用中点公式可计算. 【详解】设线段的中点坐标为，则 ，， 所以中点坐标为. 故答案为： 考点02 圆 6．（2025·天津·真题T12）圆 与圆 的圆心距为：________ 【答案】5 【解析】 【分析】本题先确定两圆心坐标，再用距离公式计算即可. 【详解】由圆的标准方程得：的圆心为，的圆心为， 根据两点间距离公式得：圆心距. 故答案为：5. 7.（2023·天津·真题T10） 圆的圆心坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的标准方程直接得到圆心坐标，从而得解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以其圆心坐标为. 故答案为：. 8.（2022·天津·真题T05）斜率为2，且在y轴上的截距为5的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出直线的斜截式方程，继而化为一般式方程. 【详解】因为直线的斜率为2，且在y轴上的截距为5， 所以直线的斜截式方程为，化为一般式方程得. 故选：D. 9.（2021·天津·真题T05）以为圆心，3为半径圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用圆的标准方程，可得结论． 【详解】由题知， 圆的标准方程为. 故选：A 考点03 直线与圆 10.（2024·天津·真题T13）若圆与直线相切，则半径_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆可得圆心为，半径为r， 因为直线与圆相切，所以有圆心到直线的距离等于半径， 即，解得半径为. 故答案为：3. 考点04 圆锥曲线 11.（2025·天津·真题T13）抛物线的准线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，先确定焦点的位置和的值，再写出准线方程. 【详解】由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， 因此，准线方程为. 故答案为： 12.（2024·天津·真题T12）已知抛物线的焦点坐标为，则_______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标为可解得. 【详解】对于，焦点坐标为. 因此由，解得. 故答案为：12. 13.（2023·天津·真题T13）双曲线的渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，确定的值，即可写出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据双曲线标准方程得：双曲线的焦点在轴上， 所以 所以双曲线的渐近线方程为： 故答案为：. 14.（2022·天津·真题T12） 双曲线的离心率为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准方程，求得a和c值，继而求解. 【详解】因为双曲线，化为标准方程得， 所以，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 15.（2021·天津·真题T12）双曲线的焦距为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】由双曲线的方程可知，，求得，焦距为6. 【详解】由双曲线知：，， ， ，焦距为. 故答案为：6 考点05 综合应用题 16.（2025·天津·真题T18）已知椭圆，离心率，焦距为，右顶点，上顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求坐标原点O到直线的距离d； （3）已知双曲线的左右焦点为，双曲线上有一点P满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的一般方程，利用点到直线的距离公式即可求解； （3）根据（1）求出a，根据双曲线中a、b、c的关系求出双曲线的c和焦距2c，根据双曲线的定义及求出，在中，根据余弦定理即可求得答案． 【小问1详解】 ∵椭圆离心率为，焦点距离为， ∴，解得， 又∵，∴求得． ∴椭圆标准方程为． 【小问2详解】 ∵直线过点和， ∴， ∴方程为，即． ∴原点到直线的距离； 【小问3详解】 由（1）知， ∴对于双曲线，， ∴， ∴， 根据双曲线的定义可知， 又∵， ∴， ∴， ∴中，根据余弦定理， 得． 17.（2024·天津·真题T18）已知椭圆方程C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为8，短轴长为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C上有一点P到左焦点的距离为5，求点P到右焦点的距离； （3）已知双曲线与椭圆C有相同焦点，且双曲线的左焦点到该双曲线渐近线的距离为，求双曲线的标准方程． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出的值，即可求出椭圆的标准方程； （2）根据椭圆的定义即可得解； （3）根据双曲线与椭圆有相同焦点求出，由点到直线的距离求出，即可求出双曲线的标准方程. 【小问1详解】 椭圆方程C的中心在坐标原点，焦点在x轴上， 可设椭圆C的标准方程为， ∵长轴长为8，短轴长为4，∴，∴， ∴椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆C的左、右焦点分别为， 由椭圆的定义可得， ∵椭圆C上有一点P到左焦点的距离为5，即， ∴，即点P到右焦点的距离为3. 【小问3详解】 由题意双曲线的标准方程为，则， 渐近线方程为，即， ∵双曲线与椭圆C有相同焦点， ∴，即， ∴双曲线的左焦点到该双曲线渐近线的距离为， 即， ∴， ∴双曲线的标准方程为. 18.（2023·天津·真题T18）已知椭圆方程，点． （1）求离心率及焦点坐标； （2）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （3）写出以椭圆左焦点为焦点的抛物线标准方程，并在抛物线上求一点，使得． 【答案】（1），焦点坐标 （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，结合的关系，离心率的公式即可求解. （2）根据直线点斜式方程，斜率公式即可求解. （3）先由焦点写出抛物线方程，根据抛物线的方程，向量垂直的内积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程得，焦点在轴上，且. 则，解得. 所以焦点坐标为，离心率. 小问2详解】 由题意得，直线的倾斜角为，则斜率为. 又直线经过点，则，即. 所以经过点且倾斜角为的直线的方程. 【小问3详解】 由（1）得，椭圆的左焦点为，即抛物线的焦点为. 所以，解得，所以抛物线的标准方程. 设点，又，， 则. 因为，所以. 解得，所以，即点或. 所以抛物线上的点或使得. 19.（2022·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的焦点坐标 （2）顶点在坐标原点，椭圆右焦点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程 （3）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点，求以为直径的圆的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可得，根据a，b，c的关系即可求出c的值，即可求出椭圆的焦点坐标. （2）由（1）结合题意可知抛物线的焦点为，设抛物线的标准方程为，则，即可求出抛物线的方程. （3）由题可知在抛物线方程中令，即可求出P，Q两点的坐标，根据两点间的距离公式和线段中点坐标公式求出圆心和半径即可求解. 【小问1详解】 由椭圆得，则， 由椭圆方程可知椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 【小问2详解】 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，即抛物线的焦点为， 设抛物线标准方程为，则，即， 所以抛物线的标准方程. 【小问3详解】 椭圆的右焦点坐标为，抛物线的标准方程， 因为过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于P，Q两点， 则令，解得或，则P，Q两点的坐标分别为， 所以，P，Q两点的中点坐标为， 所以以为直径的圆的半径为6，圆心坐标为， 则圆的方程为. 20.（2021·天津·真题T18）已知椭圆 （1）求椭圆的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点与椭圆的左顶点重合，求抛物线的标准方程； （3）设，分别为椭圆的左、右焦点，过作与x轴垂直的直线l，交椭圆于M和N两点，求的面积. 【答案】（1） 、、、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的标准方程可知，，焦点在x轴上，从而可求顶点坐标； （2）由椭圆的左顶点可知，抛物线的焦点为，由，求得，写出抛物线方程； （3）根据直线l过与x轴垂直，可求M、N的坐标，得，以MN为底，为高，求得的面积. 【小问1详解】 由椭圆的标准方程可知，，焦点在x轴上， ，， 顶点 、、、； 【小问2详解】 由已知条件知抛物线焦点为， ∴，， ∴标准方程为; 【小问3详解】 , , , 由已知条件知M、N的横坐标为， 代入方程得， ， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $