专题07 圆中的重要模型之圆幂定理模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学讲义以“圆幂定理模型”为核心，通过知识框架图系统梳理相交弦、双割线、切割线、弦切角、托勒密定理五大模型，按“模型来源-真题呈现-条件结论-证明推导”逻辑构建知识脉络，突出定理间的内在联系与重难点分布，培养学生几何直观与抽象能力。 讲义亮点在于“真题驱动+模型分层应用”设计，如结合2025年重庆模拟题探究相交弦模型，通过“条件辨析-结论推导-例题演练”培养推理意识与运算能力。基础题巩固模型应用，综合题拓展模型迁移，支持分层教学，助力教师精准把握学情，引导学生用数学语言表达几何关系。

专题07 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·广东·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    例2（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 模型2.割线模型 例1（2025·重庆·校考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（24-25·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2（2024九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴．∵，… 任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：；(2)若，，求． 模型4.弦切角模型 例1（2025·河南三门峡·校考一模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 . 如图①，四边形是的内接四边形，若，则 . 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作，交于点.  ∵，∴， ∴  即   （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长. 例3（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵，∴__________，∴，∴①， ∵，∴，即， 又∵，∴△∽△，∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是(   ) A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，A为切点，是过点O的割线．若，，则的直径为（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25·福建九年级月考）如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ． 5．（24-25河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：；(2)若，求． 6．（24-25·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 7．（24-25春·广东九年级课时练习）阅读与应用 请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程． 如图1，四边形ABCD内接于．求证：． 证明：如图2，作交BD于点E． ∵，∴．（依据） ∴．∴．．… ∴．∴．∴． ∵， ∴． ∴． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程； (3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长． 8．（24-25·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    9．（24-25九年级上·浙江·期末）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 10．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）阅读与思考 小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图，的两弦，相交于点P． 求证：． 证明：如图，连结，．…… 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．(2)小明又看到一道课后习题：如图，是的弦，P是上一点，，，，求的半径．请运用相交弦定理求解． 11．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）    12．（24-25九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理：米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴，∴，∴，∴，……    任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 13．（24-25九年级·浙江·）如图，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙于E、F，EF与AC相交于点P， （1）求证：；（2）求证：； （3）当⊙O与⊙为等圆时，且时，求△PEC与△FAP的面积的比值. 14．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 15．（24-25九年级下·重庆·开学考试）在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)完成下列证明过程： 为的切线，①_____（圆的切线垂直于过切点的半径），即． ②_____，． 又，． ，③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ，，④_____即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 16．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 【弦切角定理】弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面我们只证明：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 按照圆心与弦切角的位置关系，分三种情况证明： （1）圆心在弦切角的一边上时，如图1：为直径，显然有弦切角； （2）当圆心在弦切角的外部时，如图2：连接并延长交圆于点，连接， 由（1）可知，，又根据等弧所对等角可知，． ； （3）当圆心在弦切角的内部时，如图3 过作圆的直径，交圆于点，连接， 由（1）可知，，又根据等弧对等角可知，， 综上所述，弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 【定理应用】如图，是圆的切线，为切点，过点作圆的直径交圆于点两点，为上一点，连接并延长交圆于点为上一点，且，连接并延长交圆于点，连接． (1)求证：(2)求证：(3)若，求圆的直径． 18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______．求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 19．（24-25九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（同弧所对的圆周角相等）． ．∴，．，． ，，即． ．∴，． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则：， 由托勒密定理，得：，∴，∴． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·广东·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，，，，        ∵大圆的弦与小圆相切于点P，∴，∴，， ∵，，∴，∵，，∴， ∴，即，解得：（负值舍去）， ∴圆环的面积为：，故答案为：． 例2（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，；(2)的半径为． 【详解】（1）证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为，而，，， ，， ， 根据（1）中结论得，即为， ∴，解得：或（不符合题意，舍去），⊙O的半径为． 模型2.割线模型 例1（2025·重庆·校考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 【答案】 【详解】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线， ∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BDC=∠PAC， 又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PDB，∴=， 设PC=x，PD=y，且y﹣x=11，解得：x=4，y=15，∴===，故答案为：． 例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC， ∵OC=3，OP=5，∴OE=OC=3，∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP−OC=5−3=2， 设PA=AB=x，则BP=2x，∵四边形ACEB为圆O的内接四边形， ∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，∴△ACP∽△EBP， 即 解得：或 (舍去)，则 故选B. 例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、， ∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（24-25·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故填空答案：． 例2（2024九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴．∵，… 任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________． 【答案】(1)等边对等角，圆周角定理(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，∴（等边对等角）． 如图2，（圆周角定理）．故答案为：等边对等角，圆周角定理． （2）证明：如图2：∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴．∵（依据2），∴． ∵，∴，∴，∴． （3）解：如图：连接， ∵与半径为6的相切于点，∴，， 设，则，，∵， ， ∴，解得：，∴， 由圆幂定理可得：，∴．故答案为：． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：；(2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：，，； （2）解：由（1）得：，，，， ，，，． 模型4.弦切角模型 例1（2025·河南三门峡·校考一模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 【答案】（1），，，（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 【详解】解：（1）弦CD、CE分别与切线CB构成的弦切角为：∠DCB，∠ECB； 弦CD、CE分别与切线CA构成的弦切角为：∠DCA，∠ECA． 故答案为：，，，（任意写2个即可） （2）证明：过作直径，连接． ∵是直径，∴．∴． 又∵与相切于点，∴．∴．∴． ∴．∴． （3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；；(2)①；②，证明见解析 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点，，， 是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），，， 又（同弧所对的圆周角相等），．故答案为：；；； （2）解：①如图，是的切线，切点为，， 又，，，即：，，解得：； ②如图，连接，是直径，，， 又，是的角平分线，即：， 又是的切线，，． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， 在中，，，，    ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 . 如图①，四边形是的内接四边形，若，则 . 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作，交于点.  ∵，∴， ∴  即   （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长. 【答案】【旧知再现】互补，    110；【问题创新】见解析；【应用迁移】 【详解】（1）如图示： 连接OA，OC，根据圆周角定理，则有：， ∴∴圆内接四边形的对角互补； ∵，∴在等腰三角形ABD中， ∴ （2）证明：如图，∵∴，即， 又∵，∴ ∴，即 ∴， ∴， （3）由（2）可知 ∵是等边三角形， ∴， ∴，∴即. 例3（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵，∴__________，∴，∴①， ∵，∴，即， 又∵，∴△∽△，∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）2 【详解】解：（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴，∴，∴①， ∵，∴，即， 又∵，∴，∴，∴②， 得，即； （2）连接和，∵为的直径，∴， ∵，，，∴，， ∵由（1）得，即，∴； （3）解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，，，∴，， ∵，，∴， ，即，∴，， ∵，∴、、、四点共圆，∴， ∴，∴．故答案为：2． 1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是(   ) A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：∵PA=3，AB=PC=2，∴PB=5， 由割线定理得：PA•PB=PC•PD，∴PD=7.5，故选B． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，A为切点，是过点O的割线．若，，则的直径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接，如图，∵是的切线，∴，    ∵是直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即 ∵，，∴，∴．故选：C． 3．（24-25·福建九年级月考）如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵TD•CD=AD•BD，CD=2，AD=3，BD=4，∴TD=6， ∵PT2=PD2-TD2，∴PT2=PB•PA=（PD-BD）（PD+AD）， ∴PD=24，∴PB=PD-BD=24-4=20．故选D． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由切割线定理可得PA2=PD×PB， ∵PA=12，PD=8∴PB=18．由弦切角和公共角易知△ABP∽△DAP． ∴S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．故答案为9：4 5．（24-25河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：；(2)若，求． 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】（1）证明：∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴∴． 6．（24-25·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 【答案】(1)，理由见详解；(2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接并延长交O于点D，连接， ∵是O的直径，∴，即： ∵直线与O相切于点A．∴，即：，∴， ∵，∴； （2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 7．（24-25春·广东九年级课时练习）阅读与应用 请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程． 如图1，四边形ABCD内接于．求证：． 证明：如图2，作交BD于点E． ∵，∴．（依据） ∴．∴．．… ∴．∴．∴． ∵， ∴． ∴． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程； (3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见解析；(3)； 【详解】（1）解：∵同弧所对的圆周角相等，， ∴；故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图，连接AD，BE， ∵，∴， ∴，∴，∴BE=AD=BD， ∵四边形ABDE是的内接四边形，∴， ∵，∴， 解得：或（舍去），∴对角线BD的长为； 8．（24-25·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理(3)，证明见解析 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ∴∴； 9．（24-25九年级上·浙江·期末）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）连接并延长交于点， 设半径为，则，由上得：， ∴，解得：（舍负），∴的半径为． 10．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）阅读与思考 小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图，的两弦，相交于点P． 求证：． 证明：如图，连结，．…… 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．(2)小明又看到一道课后习题：如图，是的弦，P是上一点，，，，求的半径．请运用相交弦定理求解． 【答案】(1)见解析(2)的半径为 【详解】（1）解：连结，，∵，，∴， ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． （2）解：延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），∴的半径为． 11．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心，∴是的角平分线， ∵，∴， ∵，∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，          ∵，∴， 由（1）可得，∴； （3）证明：连接， ∵∴ ∴∴，∴ ∵，∴，又，∴， ∴，∴；∴， ∴， （4）解：如图所示，连接， ∵点是的内心，∴是的角平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵， ， ∴，∴，∴． 12．（24-25九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理：米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴，∴，∴，∴，……    任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：如图2，连接． ∵为的切线，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． 13．（24-25九年级·浙江·）如图，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙于E、F，EF与AC相交于点P， （1）求证：；（2）求证：； （3）当⊙O与⊙为等圆时，且时，求△PEC与△FAP的面积的比值. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F, ∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F,∴AF∥CE,∴,∴. （2）,,, 再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴; （3）连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5， ∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y， ∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°． ∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y． ∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy-7y2=0， ∴（25x-7y）（x+y）=0，,. 14．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 【答案】(1)见解析(2)证明见解析， 【详解】（1）作图如下： 连接OE，EQ，∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；∴QE=QP， ∵MN是OP的中垂线，∴OQ=OP，点O在圆Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ， ∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°， ∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圆O的切线． （2）证明：连接BE，OA， ∵EP是圆O的切线， AB为圆O的直径，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP ∵OE和OB为圆O的半径，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP， ∵∠EPB=∠EPA，∴，∴，∴． ∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴，∴． 15．（24-25九年级下·重庆·开学考试）在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)完成下列证明过程： 为的切线，①_____（圆的切线垂直于过切点的半径），即． ②_____，． 又，． ，③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ，，④_____即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④，⑤圆周角 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：为的切线，（圆的切线垂直于过切点的半径） ，即．，． 又，． ，，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ，，即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的圆周角． 故答案为：①，②，③，④，⑤圆周角． 16．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）过作的直径，连，则，， ∵切于点，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）连接，由（）可知，又，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴的半径，∴的面积等于． 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 【弦切角定理】弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面我们只证明：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 按照圆心与弦切角的位置关系，分三种情况证明： （1）圆心在弦切角的一边上时，如图1：为直径，显然有弦切角； （2）当圆心在弦切角的外部时，如图2：连接并延长交圆于点，连接， 由（1）可知，，又根据等弧所对等角可知，． ； （3）当圆心在弦切角的内部时，如图3 过作圆的直径，交圆于点，连接， 由（1）可知，，又根据等弧对等角可知，， 综上所述，弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 【定理应用】如图，是圆的切线，为切点，过点作圆的直径交圆于点两点，为上一点，连接并延长交圆于点为上一点，且，连接并延长交圆于点，连接． (1)求证：(2)求证：(3)若，求圆的直径． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵是圆的切线，∴，又∵，∴， 又∵，，∴； （2）证明：∵，，∴，∴，即； （3）连接，∵是圆的切线，∴， 又∵是圆O的直径，∴，∴， ∴，∴圆的直径为． 18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______．求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于， 求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵∴，∴∴． ∵∴． ∵∴即， ∴∴， ∴． （2）在图3中，连接AD、AC． ∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设． 在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： 即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为． 19．（24-25九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； “依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：如图，作，交于点E， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 即．∴，∴ ，∴． ∴．∴； （3）解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形， ∵，∴，由勾股定理得，． ∵的角平分线交于点D，∴，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，即，解得． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $