专题06 解决问题的策略（必备知识+六大题型+分层训练）（期末复习讲义）五年级数学上学期苏教版

该小学数学“解决问题的策略”期末复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标及考情规律，用知识点框架图呈现一一列举策略的定义、操作方法和排列与组合区别，清晰构建知识脉络与重难点联系。 讲义特色是题型分类与方法指导结合，如围长方形问题用列表法培养推理意识，数字搭配题区分排列组合发展抽象能力。分层练习（基础、重难、拓展）满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生解决实际问题的数学语言表达能力。

专题06 解决问题的策略（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 一一列举策略的应用： 按照一定顺序把符合条件的答案一个一个列举出来，解决组合、图形、实际等问题，做到不重复、不遗漏，可采用列表、画图、连线、先分类再列举等方法。 熟练运用一一列举策略解决各类问题，掌握多种列举方法，确保结果准确。 常以填空、解答题出现，结合生活实例，考查有序列举和分析问题能力。 区分排列与组合问题： 理解排列有顺序，组合无顺序，能正确判断问题类型并运用相应方法解决。 准确区分排列和组合问题，掌握不同的解题思路和计算方法。 多以选择、判断、应用题形式考查，检验对概念的理解和应用能力。 用列举法解决特定问题： 如用固定长度栅栏围长方形求最大面积、比赛场次、付钱方式、路线选择等问题，通过列举找出最优解。 能针对不同类型的特定问题，合理运用列举法找到问题的解决方案。 以应用题为主，结合实际场景，考查运用策略解决实际问题的能力。 知识点01：一一列举策略的定义 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。使用该策略时关键要做到不重复、不遗漏，这就需要按照一定的顺序来排列。 1. 组合问题：例如用若干数字组成几位数，或者几种物品搭配成不同的套餐等。比如有数字1、2、3，能组成多少个不同的两位数，就可以用一一列举的方法找出所有组合。 2. 图形问题：像用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少。例如用36米长的栅栏围长方形，通过一一列举的不同组合，计算出对应的面积，从而找到面积最大的情况。 3. 实际问题：涉及付钱方式、路线选择等。比如文具店有三种价格分别为8元、10元、12元的笔记本，小明买两本，通过一一列举可以知道他可能花费的金额。 知识点02：操作方法 1. 列表法：将列举出的情况用表格有序地呈现出来，这种方法清晰直观。例如在解决用小正方形拼长方形的问题时，可列出表格，将长、宽、周长等信息一一列出。 2. 画图法/连线法：用简单的图示或连线来表示所有组合。比如在解决路线选择问题时，通过画图或连线能更直观地看出有多少种路线。 3. 先分类，再列举：先确定一个大类，再在大类中有序枚举。例如在列举用不同面值人民币组成一定金额的付钱方式时，可以先按使用人民币的张数分类，再在每一类中进行列举。 知识点03：排列与组合的区别 1. 排列（有顺序）：例如爸爸、妈妈和我排列照相，不同的顺序代表不同的排法，排法数量为2×3种，像ABC和BAC是不同的排列。 2. 组合（没有顺序）：例如5个球队踢球，每两队踢一场，AB和BA表示同一场比赛，比赛场数为4+3+2+1场。 题型一 围长方形最大面积问题（表格） 【例1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）王大妈用18块1米长的篱笆围一个长方形菜地（篱笆不能折断），请你来帮王大妈设计一下，有多少种不同的围法？它们的面积各是多少？请列表说明。 长/米 宽/米 面积/平方米 【变式1】（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【变式2】（23-24五年级上·江苏徐州·期末）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形。有多少种不同的拼法。在下表中列举，并算出它们的周长。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同拼法。 （2）比较它们的长宽和周长，有什么发现？请写下来。 题型二 围长方形最大面积或最大周长问题（无表格） 【例2】（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 【变式1】小明用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？这些长方形中周长最长是多少厘米？ （先列表，再回答问题。） 【变式2】（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 题型三 数字搭配问题 【例3】（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用1，3，6三个数字，一共可以组成( )个三位数。 【变式1】（21-22五年级上·江苏镇江·期末）小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成( )个不同的两位数。 【变式2】（24-25五年级上·天津南开·期末）从四张数字卡片6、3、4、5中任意抽出两张，若它们的和是单数，楷楷赢，若它们的和是双数，楠楠赢，这个游戏很公平。( )（判断对错） 题型四 活动成员分组搭配问题 【例4】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）五（1）班下午的特色课后服务，一共开设了音乐、美术、电脑和篮球4个兴趣小组，小明准备参加其中的2个，他一共有( )种不同的参加方法。 【变式1】．（23-24五年级下·上海崇明·期末）李老师想在小胖、小丁、小亚、小巧四人中选出两人参加志愿者活动，总共有 种不同的选法。 【变式2】（22-23五年级上·河南平顶山·期末）五年级李洋、刘磊、张源是玩魔方高手。要在他们3人中派出2人参加区级的“首届魔方大赛”，共有( )种不同的派出方法。 题型五 食物搭配问题 【例5】到早餐店吃早餐，有包子、油条、馒头三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有 种不同的选择方法。 【变式1】（22-23五年级上·江苏常州·期末）五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有( )种搭配，一套最多用( )元。 【变式2】（25-26五年级上·河北·课后作业）妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 题型六 其他搭配问题 【例6】（2025五年级上·江苏盐城·专题练习）学校准备购买如图种类的球，最少购买2种，最多购买3种，有（    ）种不同的购买方法。 A．4 B．5 C．6 【变式1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）从下边选出几根小棒，可以摆出( )种不同的正方形，也可以摆出( )种不同的长方形。 【变式2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 2．（24-25五年级上·广西防城港·期末）从3名男生和2名女生中选出1名男生和1名女生做主持人，共有（    ）种不同的选法。 A．7 B．6 C．5 3．（24-25五年级上·海南海口·期末）妈妈买了2条裙子和3件上衣，一条裙子搭一件上衣，有( )种不同搭法。 4．（24-25五年级上·江苏泰州·期末）暑假期间，乐乐一家去南京旅游，有中山陵、总统府、夫子庙、牛首山四个景点可供选择游玩。 (1)乐乐想去其中一个景点，有( )种不同的选择方法。 (2)妈妈想去其中两个景点，有( )种不同的选择方法。 5．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）社区举行篮球比赛，18支队伍参赛，比赛采取单场淘汰制（每场比赛淘汰1支队伍），那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 6．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。 7．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加，分为8个组，每组4支球队，根据比赛规则，第一阶段小组赛采用循环赛，即小组内每两支球队都要比赛一场，请你算一算，每个小组需要进行多少场比赛？ 8．（22-23五年级上·海南儋州·期末）下面是2022年海南省运动会儋州队冲浪、跆拳道获得金牌、银牌、铜牌枚数统计表。 根据媒体报道在本次省运会中儋州代表团共斩获64枚金牌、50枚银牌、66枚铜牌，金牌榜、奖牌榜全省总分第二。下面介绍冲浪和跆拳道获奖情况： 在冲浪这一项目比赛中，儋州共获得9枚金牌、2枚银牌、3枚铜牌；跆拳道赛场，儋州拼下5金4银9铜。 （1）根据上面的数据，完成统计表。 奖 项 合计 金牌 银牌 铜牌 总计 冲浪 跆拳道 （2）两个项目中获得金牌枚数最多的是哪个项目？奖牌总数冲浪比跆拳道少多少枚？ （3）请你再提一个数学问题并解答。 9．（21-22五年级上·江苏镇江·期末）益民超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。 （1）买一个茶杯，并配上一个茶盘，一共有多少种不同的搭配？ （2）买6个茶杯和一个茶盘，最少要用多少元？最多呢？ 10．（20-21五年级上·江苏南通·期末）一本《格林童话》16元，张宇有5元和1元两种人民币若干张，如果付的钱正好不用找零，他有多少种不同的付书费的方法？请列举出来。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）有1元和5元的人民币各2张，用这些人民币可以直接支付（不用找零）的钱数有（    ）种。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25五年级上·海南海口·期末）用一根14厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是整厘米数，可以围出（    ）种不同的长方形。 A．2 B．3 C．4 D．无数个 3．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）五年级6个班进行足球比赛，如果每两个班比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．5 B．6 C．15 4．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）新年到了四个好朋友互相问候，一共要通（    ）次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄（    ）张贺卡。 A．8；4 B．6；12 C．4；6 D．12；8 5．（24-25五年级上·海南海口·期末）小明买了5支钢笔和7本练习本，小红买了同样的5支钢笔和10本练习本，比小明多花了9元。每本练习本( )元。 6．（24-25五年级上·江苏泰州·期末）公园“水幕电影”每天17：30开始第一场表演，每场表演25分钟，第五场表演开始的时间为( )；20：25为终场开始时间，每天一共表演( )场。 7．（24-25五年级上·江苏徐州·期末）班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握( )次手；他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备( )张贺卡。 8．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）李叔叔要用18根1米长的木条围成一个长方形，怎样围面积最大？是多少平方米？（列表格，找出答案） 长/米 宽/米 面积/平方米 答：当长（    ）米、宽（    ）米时，面积最大，是（    ）平方米。 9． （24-25五年级上·江苏徐州·期末）为节约材料，王大伯准备用14根1米长的木条，靠墙（长边靠墙）围一个长方形花圃，有几种围法？怎样围面积最大？ 10． （21-22五年级上·山西临汾·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃，李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃吗？（用算式或文字说明理由） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（21-22五年级上·江苏无锡·期末）有一种电子游戏，每玩一关最多可得800分，每玩满1000分、2000分……（整千分）可另外奖励500分。小飞玩了5关，最多可得（    ）分。 A．6000 B．7500 C．8000 D．以上都不对 2．（23-24五年级上·江苏苏州·期末）三张不同颜色的彩纸包语文书、数学书、英语书（每张纸只能包－本书），一共有（    ）种不同的包法。 A．10 B．12 C．15 D．6 3．（23-24五年级上·江苏南通·期末）如图，小蚂蚁从点A爬到点B，走最短的路线，共有（    ）种不同的路线。 A．6 B．8 C．10 D．12 4.有1元、2元、5元和10元人民币各1张，任意取2张，可以有（    ）种不同的取法。 A．4 B．6 C．10 D．14 5．（23-24五年级上·江苏连云港·期末）李阿姨用12根一米长的木条围成一个长方形的花圃，木条不能折断，一共有( )种不同的围法。面积最大是( )平方米。 6．（23-24五年级上·江苏苏州·期末）有油条、馒头、豆浆、包子四种早餐，小明可以选择其中的一种或者两种共有( )种不同的选择。 7．（20-21五年级上·江苏扬州·期末）用9，0，4三张卡片可以摆出( )个不同的三位数，其中最小的是( )。 8．甲、乙、丙、丁四个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一场比赛，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相等。丁胜了几场？ 9．（23-24五年级上·江苏·期末）客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，客车速度54km/h，货车速度48 km/h。两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车到达甲地后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行21.6千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 10．（20-21五年级上·江苏扬州·期末）有5cm、3cm和2cm长的小棒各4根，共12根。如果选出若干根使它们收尾相接，就可以拼成大小不同的正方形。根据所选择不同小棒，将所拼成的正方形的边长和面积填写在下表中。（ 写出符合条件的所有情况） 边长/cm 面积/cm2 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解决问题的策略（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 一一列举策略的应用： 按照一定顺序把符合条件的答案一个一个列举出来，解决组合、图形、实际等问题，做到不重复、不遗漏，可采用列表、画图、连线、先分类再列举等方法。 熟练运用一一列举策略解决各类问题，掌握多种列举方法，确保结果准确。 常以填空、解答题出现，结合生活实例，考查有序列举和分析问题能力。 区分排列与组合问题： 理解排列有顺序，组合无顺序，能正确判断问题类型并运用相应方法解决。 准确区分排列和组合问题，掌握不同的解题思路和计算方法。 多以选择、判断、应用题形式考查，检验对概念的理解和应用能力。 用列举法解决特定问题： 如用固定长度栅栏围长方形求最大面积、比赛场次、付钱方式、路线选择等问题，通过列举找出最优解。 能针对不同类型的特定问题，合理运用列举法找到问题的解决方案。 以应用题为主，结合实际场景，考查运用策略解决实际问题的能力。 知识点01：一一列举策略的定义 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。使用该策略时关键要做到不重复、不遗漏，这就需要按照一定的顺序来排列。 1. 组合问题：例如用若干数字组成几位数，或者几种物品搭配成不同的套餐等。比如有数字1、2、3，能组成多少个不同的两位数，就可以用一一列举的方法找出所有组合。 2. 图形问题：像用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少。例如用36米长的栅栏围长方形，通过一一列举的不同组合，计算出对应的面积，从而找到面积最大的情况。 3. 实际问题：涉及付钱方式、路线选择等。比如文具店有三种价格分别为8元、10元、12元的笔记本，小明买两本，通过一一列举可以知道他可能花费的金额。 知识点02：操作方法 1. 列表法：将列举出的情况用表格有序地呈现出来，这种方法清晰直观。例如在解决用小正方形拼长方形的问题时，可列出表格，将长、宽、周长等信息一一列出。 2. 画图法/连线法：用简单的图示或连线来表示所有组合。比如在解决路线选择问题时，通过画图或连线能更直观地看出有多少种路线。 3. 先分类，再列举：先确定一个大类，再在大类中有序枚举。例如在列举用不同面值人民币组成一定金额的付钱方式时，可以先按使用人民币的张数分类，再在每一类中进行列举。 知识点03：排列与组合的区别 1. 排列（有顺序）：例如爸爸、妈妈和我排列照相，不同的顺序代表不同的排法，排法数量为2×3种，像ABC和BAC是不同的排列。 2. 组合（没有顺序）：例如5个球队踢球，每两队踢一场，AB和BA表示同一场比赛，比赛场数为4+3+2+1场。 题型一 围长方形最大面积问题（表格） 【例1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）王大妈用18块1米长的篱笆围一个长方形菜地（篱笆不能折断），请你来帮王大妈设计一下，有多少种不同的围法？它们的面积各是多少？请列表说明。 长/米 宽/米 面积/平方米 【答案】4种；8平方米、14平方米、18平方米、20平方米；见详解 【思路引导】因为长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以围成的这个长方形或正方形的一条长与宽的和是18÷2＝9（米），因为9＝8＋1＝7＋2＝6＋3＝5＋4，所以一共有4种不同的围法，据此即可解答问题。长方形的面积＝长×宽。 【规范解答】18÷2＝9（米） 9＝8＋1 9＝7＋2 9＝6＋3 9＝5＋4 8×1＝8（平方米） 7×2＝14（平方米） 6×3＝18（平方米） 5×4＝20（平方米） 长/米 8 7 6 5 宽/米 1 2 3 4 面积/平方米 8 14 18 20 答：有4种不同的围法。它们的面积各是8平方米、14平方米、18平方米、20平方米。 【变式1】（21-22五年级上·江苏徐州·期末）学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【答案】见详解 【思路引导】因为用15 根1米长的栅栏围一个长方形花圃，一条长边靠墙，所以两个宽＋长＝15米，所以把它写成15＝13＋1×2，15＝11＋2×2，15＝9＋3×2，15＝7＋4×2，15＝5＋5×2，由此得出不同围法下长方形花圃长和宽的长度，进而利用长方形面积公式求出花圃面积。 【规范解答】由分析得： 共有5种不同的围法。列举如下： 【考点剖析】本题主要考查通过列举的方法解决一面靠墙围长方形问题。注意：正方形是特殊的长方形。 【变式2】（23-24五年级上·江苏徐州·期末）用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形。有多少种不同的拼法。在下表中列举，并算出它们的周长。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同拼法。 （2）比较它们的长宽和周长，有什么发现？请写下来。 【答案】列举见详解； （1）4； （2）见详解 【思路引导】（1）把24个正方形拼成一个长方形有如下几种方法： ①把这24个正方形一字排开，拼成的长方形的长是1×24＝24厘米，宽是1厘米； ②每行12个，分2行，拼成的长方形的长是1×12＝12厘米，宽是1×2＝2厘米； ③每行8个，分3行，拼成的长方形的长是1×8＝8厘米，宽是1×3＝3厘米； ④每行6个，分4行，拼成的长方形的长是1×6＝6厘米，宽是1×4＝4厘米。 再根据长方形的周长公式C＝（长＋宽）×2，求出拼成的长方形的周长。 （2）通过（1）的情况分析可以看出：24个正方形不论怎么拼，所拼成的长方形的周长随着长与宽的变化也在变化，拼成的长方形的长与宽的差越大，周长就越长，反之周长就越短。 【规范解答】（1）根据分析24个正方形拼成长方形有4种方法，它们的周长如下： ①（24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） ②（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） ③（8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） ④（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 根据以上填表如下： 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 （2）根据表格可以发现：24个正方形不论怎么拼，所拼成的长方形的周长随着长与宽的变化也在变化，拼成的长方形的长与宽的差越大，周长就越长，反之周长就越短。 【考点剖析】此题考查的是图形的拼组问题、注意长方形的周长的计算，并找规律。 题型二 围长方形最大面积或最大周长问题（无表格） 【例2】（22-23五年级上·河南洛阳·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃。李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家花圃面积更大的长方形花圃吗？（请用列举的策略说明理由） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】由于李叔叔买来18根1米长的木条，由此即可知道长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可知道长加宽的和是：18÷2＝9（米），当长是8米，宽为l米；长是7米，宽为2米；长是6米，宽为3米；长是5米，宽为4米；根据长方形的面积公式：长×宽，分别求出几种情况的面积，再和李叔叔的邻居家的长方形花圃的面积比较即可。 【规范解答】1×18＝18（米） 18÷2＝9（米） 长（米） 8 7 6 5 宽（米） 1 2 3 4 面积（平方米） 8 14 18 20 5×4＝20（平方米） 6×3＝18（平方米） 20＞18 答：他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃。 【变式1】小明用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？这些长方形中周长最长是多少厘米？ （先列表，再回答问题。） 【答案】 5种；74厘米 【思路引导】用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形，则长方形的面积是36平方厘米。长方形面积＝长×宽，有36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6，可以拼成长36厘宽1厘米、长18厘米宽2厘米、长12厘米宽3厘米、长9厘米宽4厘米的长方形和边长6厘米的正方形。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可。 【规范解答】 答：有5种不同的拼法，拼成的长方形中周长最长是74厘米。 【考点剖析】正方形是特殊的长方形。 【变式2】（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 【答案】3种；12平方米 【思路引导】根据题意，用14根1米长的木条围－一个长方形，则长方形的周长是14米。已知长方形的周长是14米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2可得到长＋宽＝7米，又因为7＝6＋1＝2＋5＝3＋4，可以围成长6米宽1米、长5米宽2米、长4米宽3米的长方形。长方形面积＝从×宽，把数据代入计算即可。 【规范解答】 答：一共有3种不同的围法，面积最大是12平方米。 【考点剖析】列举法解决问题能做到不重复、不遗漏。 题型三 数字搭配问题 【例3】（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用1，3，6三个数字，一共可以组成( )个三位数。 【答案】6 【思路引导】当1在百位时，有2种排法：136、163； 当3在百位时，有2种排法：316、361； 当6在百位时，有2种排法：631、613。 【规范解答】根据分析可知，用1，3，6三个数字，一共可以组成6个三位数。 【考点剖析】本题考查了搭配问题，可以采用枚举法，要注意按一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。 【变式1】（21-22五年级上·江苏镇江·期末）小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成( )个不同的两位数。 【答案】9 【思路引导】如果选8和0，组成的两位数是80；如果选8和2，组成的两位数是82和28；如果选8和5，组成的两位数是85和58；如果选2和0，组成的两位数是20；如果选5和0，组成的两位数是50；如果选2和5，组成的两位数是25和52。 【规范解答】80，82，28，85，58，20，50，52，25一共有9个不同的两位数。 小红用8、0、2、5这四张不同的数字卡片一共能组成9个不同的两位数。 【考点剖析】本题考查搭配问题，注意0不能做首位。 【变式2】（24-25五年级上·天津南开·期末）从四张数字卡片6、3、4、5中任意抽出两张，若它们的和是单数，楷楷赢，若它们的和是双数，楠楠赢，这个游戏很公平。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】判断游戏是否公平，需比较双方获胜的可能性是否相等。通过列举从数字卡片6、3、4、5中任意抽出两张的所有组合，并计算每组和是单数或双数的数量。若和是单数的组合数与和是双数的组合数相等，则游戏公平；否则不公平。 【规范解答】从数字卡片6、3、4、5中任意抽出两张，所有可能的组合及其和如下： ① 6和3，和为9，单数； ② 6和4，和为10，双数； ③ 6和5，和为11，单数； ④ 3和4，和为7，单数； ⑤ 3和5，和为8，双数； ⑥ 4和5，和为9，单数。 和为单数的组合有4种，和为双数的组合有2种。 4＞2，和为单数的组合多； 所以，楷楷赢（和为单数）的可能性比楠楠赢（和为双数）的可能性大，双方获胜的可能性不相等，因此这个游戏不公平。 原题说法错误。 故答案为：× 题型四 活动成员分组搭配问题 【例4】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）五（1）班下午的特色课后服务，一共开设了音乐、美术、电脑和篮球4个兴趣小组，小明准备参加其中的2个，他一共有( )种不同的参加方法。 【答案】6 【思路引导】已知有4个兴趣小组（音乐、美术、电脑、篮球），数量少，优先用枚举法；先固定第一个小组，搭配剩余小组：音乐分别搭配美术、电脑、篮球（3种）；美术分别搭配电脑、篮球（2种，已和音乐搭配过，不再重复）；电脑搭配篮球（1种）。总共3＋2＋1＝6种。 【规范解答】音乐和美术，音乐和电脑，音乐和篮球；美术和电脑，美术和篮球；电脑和篮球。 总共：3＋2＋1＝6（种） 所以他一共有6种不同的参加方法。 【变式1】．（23-24五年级下·上海崇明·期末）李老师想在小胖、小丁、小亚、小巧四人中选出两人参加志愿者活动，总共有 种不同的选法。 【答案】6 【思路引导】从四人中选出两人，可以用列举法把所有选法列举出来，数一数即可。 【规范解答】李老师想在小胖、小丁、小亚、小巧四人中选出两人参加志愿者活动，可以是： 小胖和小丁，小胖和小亚，小胖和小巧，小丁和小亚，小丁和小巧，小亚和小巧； 总共有6种不同的选法。 【变式2】（22-23五年级上·河南平顶山·期末）五年级李洋、刘磊、张源是玩魔方高手。要在他们3人中派出2人参加区级的“首届魔方大赛”，共有( )种不同的派出方法。 【答案】3 【思路引导】3个人选出2人参加区级的“首届魔方大赛”，可以选李洋和刘磊，也可以选李洋和张源，还可以选刘磊和张源。 【规范解答】五年级李洋、刘磊、张源是玩魔方高手。要在他们3人中派出2人参加区级的“首届魔方大赛”，共有3种不同的派出方法。 题型五 食物搭配问题 【例5】到早餐店吃早餐，有包子、油条、馒头三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有 种不同的选择方法。 【答案】7 【思路引导】分别列举出吃一种、吃两种、吃三种各有几种选择方法，再相加即可。如表： 吃一种有3种选择方法，吃两种有3种选择方法，吃三种有1种选择方法。一共有（3＋3＋1）种选择方法。 【规范解答】3＋3＋1＝7（种） 到早餐店吃早餐，有包子、油条、馒头三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有7种不同的选择方法。 【考点剖析】本题考查搭配问题，用列举法解决问题。 【变式1】（22-23五年级上·江苏常州·期末）五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有( )种搭配，一套最多用( )元。 【答案】 6 18.8 【思路引导】每次选一个茶杯和一个茶盘，如表： 要求一套最多多少元，则挑最贵的茶杯和最贵的茶盘相加即可。 【规范解答】6.8＞4.2＞2.9 12＞8 12＋6.8＝18.8（元） 五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有6种搭配，一套最多用18.8元。 【变式2】（25-26五年级上·河北·课后作业）妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 【答案】2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力（答案不唯一） 【思路引导】选出的2颗巧克力口味相同时，2颗夹心巧克力、2颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力；选出的2颗巧克力口味不同时，夹心巧克力和黑巧克力、夹心巧克力和牛奶巧克力、夹心巧克力和杏仁巧克力，黑巧克力和牛奶巧克力、黑巧克力和杏仁巧克力、牛奶巧克力和杏仁巧克力，据此按顺序列举，做到不重复不遗漏，最后任选3种。 【规范解答】分析可知： 夹心巧克力 （5颗） 黑巧克力 （3颗） 牛奶巧克力 （2颗） 杏仁巧克力 （1颗） 选法1 2颗 选法2 2颗 选法3 2颗 选法4 1颗 1颗 选法5 1颗 1颗 选法6 1颗 1颗 选法7 1颗 1颗 选法8 1颗 1颗 选法9 1颗 1颗 答：贝贝选的巧克力可能是2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力。（答案不唯一） 题型六 其他搭配问题 【例6】（2025五年级上·江苏盐城·专题练习）学校准备购买如图种类的球，最少购买2种，最多购买3种，有（    ）种不同的购买方法。 A．4 B．5 C．6 【答案】A 【思路引导】现有足球、篮球、排球3种球，购买2种球：足球和篮球、足球和排球、篮球和排球，共3种购买方法；购买3种球（即全部购买），只有1种方法：足球、篮球和排球；最后将两类情况的方法数相加即可。 【规范解答】购买2种球有3种方法（足球和篮球、足球和排球、篮球和排球），购买3种球有1种方法（即全部购买），共3＋1＝4种不同的购买方法。 故答案为：A 【变式1】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）从下边选出几根小棒，可以摆出( )种不同的正方形，也可以摆出( )种不同的长方形。 【答案】 3 8 【思路引导】由正方形和长方形的特征可知，正方形的四条边都相等，长方形的对边相等，摆出的正方形或者长方形可以用两种及以上小棒进行拼接，如：正方形的边长可以是（3＋5）厘米，注意按顺序列举，做到不重复不遗漏，据此解答。 【规范解答】摆出的正方形有边长为3厘米、边长为5厘米、边长为3＋5＝8厘米，所以一共可以摆出3种不同的正方形。 宽（厘米） 长（厘米） 3 5 3 3＋5＝8 3 5＋5＝10 3 3＋5＋5＝13 5 3＋3＝6 5 3＋5＝8 5 3＋3＋5＝11 3＋3＝6 5＋5＝10 由上可知，可以摆出8种不同的长方形。 【变式2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 【答案】①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①；共18种。 【思路引导】因为有害垃圾桶不能放在最右边，所以最右边只能放“可回收物” “湿垃圾”“干垃圾”3种摆法，最右边摆放的垃圾种类固定后，剩下的几种垃圾可以随意排列摆放在左边3个位置上，可以有6种摆法，用画图连线表示如下： 【规范解答】答：可以按①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①的顺序摆放，一共有18种摆法。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 【答案】C 【思路引导】采用淘汰制，第一轮要赛12÷2＝6场，第二轮要赛6÷2＝3场，第三轮要赛（3－1）÷2＝1场，第四轮要赛（1＋1）÷2＝1场。据此求出总场数即可。 【规范解答】12÷2＝6（场） 6÷2＝3（场） （3－1）÷2 ＝2÷2 ＝1（场） （1＋1）÷2 =2÷2 ＝1（场） 6＋3＋1＋1=11（场） 所以一共要比赛11场。 故答案为：C 【考点剖析】淘汰赛制参赛队数与比赛场数之间的关系为：参赛队数－1＝比赛总场数。 2．（24-25五年级上·广西防城港·期末）从3名男生和2名女生中选出1名男生和1名女生做主持人，共有（    ）种不同的选法。 A．7 B．6 C．5 【答案】B 【思路引导】由于从2名学生中选1名，有2种选法，1名女生可以和3名男生搭配，另一名女生也可以和这3名男生搭配，所以一共有3×2＝6（种）搭配方法。 【规范解答】3×2＝6（种） 共有6种不同的选法。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·海南海口·期末）妈妈买了2条裙子和3件上衣，一条裙子搭一件上衣，有( )种不同搭法。 【答案】6 【思路引导】乘法原理：完成一件事需要分多个步骤，每个步骤的方法数相乘，就是总的方法数。 本题中，搭配一套衣服需要“选裙子”和“选上衣”两个步骤，因此总搭法数＝裙子的数量×上衣的数量。 【规范解答】（种） 所以有6种不同搭法。 4．（24-25五年级上·江苏泰州·期末）暑假期间，乐乐一家去南京旅游，有中山陵、总统府、夫子庙、牛首山四个景点可供选择游玩。 (1)乐乐想去其中一个景点，有( )种不同的选择方法。 (2)妈妈想去其中两个景点，有( )种不同的选择方法。 【答案】(1)4 (2)6 【思路引导】（1）已知有中山陵、总统府、夫子庙、牛首山4个景点，乐乐只选其中1个，每一个景点都对应一种独立的选择方法，因此选择方法的数量等于景点的总数，即4种。 （2）妈妈想去其中两个景点，可以通过列举法逐一列出所有组合（中山陵＋总统府、中山陵＋夫子庙、中山陵＋牛首山、总统府＋夫子庙、总统府＋牛首山、夫子庙＋牛首山），数出组合的数量为6种。 【规范解答】（1）乐乐想去其中一个景点，有4种不同的选择方法。 （2）从4个景点（中山陵、总统府、夫子庙、牛首山）中选2个，列举所有组合： 中山陵＋总统府 中山陵＋夫子庙 中山陵＋牛首山 总统府＋夫子庙 总统府＋牛首山 夫子庙＋牛首山 总共6种不同的选择方法。 所以妈妈想去其中两个景点，有6种不同的选择方法。 5．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）社区举行篮球比赛，18支队伍参赛，比赛采取单场淘汰制（每场比赛淘汰1支队伍），那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】17 【思路引导】在单场淘汰制比赛中，每场比赛淘汰1支队伍，最终产生冠军时仅剩1支未淘汰的队伍，因此进行的场次＝总队伍数－1即可求解。 【规范解答】18－1＝17（场），由于每场比赛淘汰1支队伍，故需要进行17场比赛才能淘汰17支队伍，从而产生冠军。 6．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。 【答案】 15 30 【思路引导】张杰和他的5个朋友一共有6个人，设这六个小朋友分别为A、B、C、D、E、F，则A和B打电话的时候相当于B在和A打电话，算一次。但是相互寄贺卡的时候要注意A给B寄了贺卡，那么B给A寄了贺卡，算两次。 【规范解答】打电话： A分别给B、C、D、E、F打电话，5次； B分别给C、D、E、F打电话，4次； C分别给D、E、F打电话，3次； D分别给E、F打电话，2次； E别给F打电话，1次； 5＋4＋3＋2＋1＝15（次） 则一共要通15次电话。 寄贺卡： 每个人分别即了5张贺卡，一共有6个人， 5×6＝30（张） 则一共要寄30张贺卡。 7．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加，分为8个组，每组4支球队，根据比赛规则，第一阶段小组赛采用循环赛，即小组内每两支球队都要比赛一场，请你算一算，每个小组需要进行多少场比赛？ 【答案】6场 【思路引导】根据题意，32支球队进行比赛，分为8个组，每组4支球队，小组赛采用循环赛，即小组内每支球队要与其他3支球队进行比赛，则每个小组所有比赛的场数为12场，由于比赛是在两支球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，用12除以2即可。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 答：每个小组需要进行6场比赛。 【考点剖析】在循环赛制中，参赛队数和比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛队数×（参赛队数－1）÷2。 8．（22-23五年级上·海南儋州·期末）下面是2022年海南省运动会儋州队冲浪、跆拳道获得金牌、银牌、铜牌枚数统计表。 根据媒体报道在本次省运会中儋州代表团共斩获64枚金牌、50枚银牌、66枚铜牌，金牌榜、奖牌榜全省总分第二。下面介绍冲浪和跆拳道获奖情况： 在冲浪这一项目比赛中，儋州共获得9枚金牌、2枚银牌、3枚铜牌；跆拳道赛场，儋州拼下5金4银9铜。 （1）根据上面的数据，完成统计表。 奖 项 合计 金牌 银牌 铜牌 总计 冲浪 跆拳道 （2）两个项目中获得金牌枚数最多的是哪个项目？奖牌总数冲浪比跆拳道少多少枚？ （3）请你再提一个数学问题并解答。 【答案】（1）见详解 （2）冲浪；4枚 （3）儋州代表团获得的金牌比银牌多多少枚？ 14枚 【思路引导】（1）根据提供的数据，先用加法求出每项的合计是多少，再分类统计填表。 （2）比较两个项目中金牌的枚数，得出哪个项目获得金牌枚数最多； 根据减法的意义，用跆拳道的奖牌总数减去冲浪的奖牌总数即可。 （3）根据表中的信息，提出问题并解答，合理即可。 如：儋州代表团获得的金牌比银牌多多少枚？ 根据减法的意义，用儋州代表团获得的金牌枚数减去银牌枚数即可。 【规范解答】（1）奖牌合计：64＋50＋66＝180（枚） 冲浪奖牌合计：9＋2＋3＝14（枚） 跆拳道奖牌合计：5＋4＋9＝18（枚） 如下表： 奖 项 合计 金牌 银牌 铜牌 总计 180 64 50 66 冲浪 14 9 2 3 跆拳道 18 5 4 9 （2）9＞5，冲浪项目的金牌最多； 18－14＝4（枚） 答：两个项目中获得金牌枚数最多的是冲浪，奖牌总数冲浪比跆拳道少4枚。 （3）儋州代表团获得的金牌比银牌多多少枚？（答案不唯一） 64－50＝14（枚） 答：儋州代表团获得的金牌比银牌多14枚。 【考点剖析】本题考查制作统计表，并且能够根据统计表提供的信息解决有关的问题。 9．（21-22五年级上·江苏镇江·期末）益民超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。 （1）买一个茶杯，并配上一个茶盘，一共有多少种不同的搭配？ （2）买6个茶杯和一个茶盘，最少要用多少元？最多呢？ 【答案】（1）6种； （2）最少要用25.4元；最多要用52.8元 【思路引导】（1）买一个茶杯有3种选择，买一个茶盘有2种选择，则用茶杯的选择数乘茶盘的选择数即可得到一共有多少种不同的搭配； （2）当茶杯和茶盘都选择最便宜的，则用去的钱数最少；当茶杯和茶盘都选择最贵的，则用去的钱数最多，再结合总价＝单价×数量解答即可。 【规范解答】（1）3×2＝6（种） 答：一共有6种不同的搭配。 （2）6×2.9＋8 ＝17.4＋8 ＝25.4（元） 6.8×6＋12 ＝40.8＋12 ＝52.8（元） 答：最少要用25.4元，最多要用52.8元。 【考点剖析】掌握搭配的方法以及明确何种情况下用去的钱数最多、何种情况用去的钱数最少是解题的关键。 10．（20-21五年级上·江苏南通·期末）一本《格林童话》16元，张宇有5元和1元两种人民币若干张，如果付的钱正好不用找零，他有多少种不同的付书费的方法？请列举出来。 【答案】4种；见详解 【思路引导】用1元和5元面值的人民币，确保总价是16元的前提下，搭配出不同的付钱方法。据此解题。 【规范解答】（1）16张1元的人民币，即16×1＝16（元）； （2）1张5元的人民币加11张1元的人民币，即： 5×1＋11×1 ＝5＋11 ＝16（元） （3）2张5元的人民币加6张1元的人民币，即： 5×2＋6×1 ＝10＋6 ＝16（元） （4）3张5元的人民币加1张1元的人民币，即： 5×3＋1×1 ＝15＋1 ＝16（元） 综上，共有4种方法。 答：他有4种不同的付书费的方法。 【考点剖析】本题考查了搭配问题，有一定逻辑推理能力，在找方法时能做到不重不漏是解题的关键。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）有1元和5元的人民币各2张，用这些人民币可以直接支付（不用找零）的钱数有（    ）种。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【思路引导】有1元和5元的人民币各2张，可以直接支付的钱数有：1元（1张1元），2元（2张1元），5元（1张5元），6元（1张1元，1张5元），7元（2张1元，1张5元），10元（2张5元），11元（1张1元，2张5元），12元（2张1元，2张5元）；共8种。 【规范解答】根据分析：用这些人民币可以直接支付（不用找零）的钱数有8种。 故答案为：D 2．（24-25五年级上·海南海口·期末）用一根14厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是整厘米数，可以围出（    ）种不同的长方形。 A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【思路引导】根据题意，用一根14厘米长的铁丝围成一个长方形，那么长方形的周长等于这根铁丝的长度；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长与宽的和；再把长与宽的和拆成两个整数相加的形式，较大的整数是长，较小的整数是宽，据此得出可以围成几种不同的长方形。 【规范解答】长、宽之和：14÷2＝7（厘米） 长/厘米 6 5 4 宽/厘米 1 2 3 长、宽之和/厘米 7 7 7 围成：①长6厘米、宽1厘米的长方形；②长5厘米、宽2厘米的长方形；③长4厘米、宽3厘米的长方形。 可以围成3种不同的长方形。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）五年级6个班进行足球比赛，如果每两个班比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．5 B．6 C．15 【答案】C 【思路引导】五年级6个班，每个班都要与其余的（6－1）个班比赛一场，一共要比赛6×（6－1）场，如果这样算，就重复计算了一遍，再除以2即可。 【规范解答】6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝15（场） 一共要比赛15场。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·江苏淮安·期末）新年到了四个好朋友互相问候，一共要通（    ）次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄（    ）张贺卡。 A．8；4 B．6；12 C．4；6 D．12；8 【答案】B 【思路引导】四个好朋友通电话，每人都要和其他3人通电话，每人需通3次，共有4人，一共通电话3×4＝12次，因为每两人通电话算作一次，去掉重复的情况，则实际通话12÷2＝6次。 四个好朋友互相寄张节日贺卡，即每人都要给其他3人寄贺卡，每人需寄3张，共有4人，一共需寄3×4＝12张。 【规范解答】（4－1）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝6（次） （4－1）×4 ＝3×4 ＝12（张） 新年到了四个好朋友互相问候，一共要通6次电话；互相寄张节日贺卡，一共要寄12张贺卡。 故答案为：B 5．（24-25五年级上·海南海口·期末）小明买了5支钢笔和7本练习本，小红买了同样的5支钢笔和10本练习本，比小明多花了9元。每本练习本( )元。 【答案】3 【思路引导】小红和小明买的钢笔同样多，小红比小明多买了（10－7）本练习本，小红比小明多花的钱数÷多买的练习本数量＝每本练习本的钱数，据此列式计算。 【规范解答】9÷（10－7） ＝9÷3 ＝3（元） 每本练习本3元。 6．（24-25五年级上·江苏泰州·期末）公园“水幕电影”每天17：30开始第一场表演，每场表演25分钟，第五场表演开始的时间为( )；20：25为终场开始时间，每天一共表演( )场。 【答案】 19：10 8 【思路引导】第1场到第5场的间隔数为5－1＝4，每个间隔25分钟，用间隔数×间隔时间计算出总间隔时间。第1场17：30开始，加上总间隔时间，计算出第5场开始时间； 20：25减去17：30计算出时间差，把计算结果换算成分，每场间隔25分钟，间隔数为总时间差除以间隔时间，最后用间隔数加1计算出场数。 【规范解答】（5－1）×25＝4×25＝100（分钟） 100分钟＝1小时40分 17时30分＋1小时40分＝19时10分； 20时25分－17时30分＝2小时55分 2小时55分＝175分 175÷25＋1＝7＋1＝8（场） 所以第五场表演开始的时间为19：10；每天一共表演8场。 7．（24-25五年级上·江苏徐州·期末）班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握( )次手；他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备( )张贺卡。 【答案】 15 30 【思路引导】根据题意，每组6位同学，每两人握一次手，第一位同学要和其余5位同学握手；第二位同学已经和第一位同学握过了，所以只需要和剩下的4位同学握手；第三位同学已经和前两位同学握过了，所以只需要和剩下的3位同学握手；第4位同学已经和前三位同学握过了，所以只需要和剩下的2位同学握手；第5位同学已经和前四位同学握过了，所以只需要和剩下的1位同学握手；第6位同学已经和前五位同学都握过了。把这几位同学握手的次数相加即可求出一共握手的次数。对于互赠贺卡问题，因为是互赠，所以每位同学都需要给其他5位同学赠送贺卡，因此用人数乘每人送的贺卡数即可求出要准备多少张贺卡。据此解答。 【规范解答】握手总次数： 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（次） 准备贺卡的张数：5×6＝30（张） 班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握15次手，他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备30张贺卡。 8．（24-25五年级上·河南平顶山·期末）李叔叔要用18根1米长的木条围成一个长方形，怎样围面积最大？是多少平方米？（列表格，找出答案） 长/米 宽/米 面积/平方米 答：当长（    ）米、宽（    ）米时，面积最大，是（    ）平方米。 【答案】见详解 【思路引导】根据长方形周长公式：周长＝（长+宽）×2，求出长+宽＝周长÷2，即18÷2＝9（米）；接着列举长和宽的和的所有整数组合（长＞宽，且均为正整数）；最后根据长方形面积公式：面积＝长×宽，分别计算出面积，填入表格回答即可。 【规范解答】18÷2＝9（米） 因为长＋宽＝9米，所以可能的组合有： 长8米，宽1米，此时面积＝8×1＝8（平方米）； 长7米，宽2米，此时面积＝7×2＝14（平方米）； 长6米，宽3米，此时面积＝6×3＝18（平方米）； 长5米，宽4米，此时面积＝5×4＝20（平方米）。 填表如下： 长/米 8 7 6 5 宽/米 1 2 3 4 面积/平方米 8 14 18 20 由此发现：当长方形的长和宽的差值越小，面积就越大。 因此，当长5米、宽4米时，面积最大，是20平方米。 9．（24-25五年级上·江苏徐州·期末）为节约材料，王大伯准备用14根1米长的木条，靠墙（长边靠墙）围一个长方形花圃，有几种围法？怎样围面积最大？ 【答案】有4种围法。当长为8米、宽为3米或长为6米、宽为4米时，面积最大，为24平方米。 【思路引导】根据题意，靠墙围长方形花圃时，长边靠墙，所以木条用于围长方形的三条边：一条长边和两条宽边。总木条长度为14米（14根1米长的木条），长和宽必须为正整数，且长大于宽（以满足长边靠墙的条件），列举出所有可能的长与宽的组合，并计算面积，最后比较面积大小找出最大面积的围法。据此解答。 【规范解答】长＋2×宽＝14，且长＞宽（长边靠墙要求长边大于宽边）。 当宽＝1时，长＝14－2×1＝14－2＝12，长＞宽； 当宽＝2时，长＝14－2×2＝14－4＝10，长＞宽； 当宽＝3时，长＝14－2×3＝14－6＝8，长＞宽； 当宽＝4时，长＝14－2×4＝14－8＝6，长＞宽； 当宽＝5时，长＝14－2×5＝14－10＝4，长＜宽，（不符合长大于宽）； 当宽＝6时，长＝14－2×6＝14－12＝2，长＜宽，（不符合长大于宽）； 当宽＝7时，长＝14－2×7＝14－14＝0，长＜宽，（不符合长大于宽）； 因此，共有四种围法：长12米，宽1米；长10米，宽2米；长8米，宽3米；长6米，宽4米。 四种围法的面积分别是： 12×1＝12（平方米） 10×2＝20（平方米） 8×3＝24（平方米） 6×4＝24（平方米） 24＞20＞12，因此当长为8米、宽为3米或长为6米、宽为4米时，面积最大，为24平方米。 答：有4种围法。当长为8米、宽为3米或长为6米、宽为4米时，面积最大，为24平方米。 【考点剖析】解答本题关键在于理解“长边靠墙”的条件，即周长仅需计算两条宽和一条长，通过列举所有可能的长和宽的组合，并比较面积确定最大面积的围法。 10．（21-22五年级上·山西临汾·期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽3米的长方形花圃，李叔叔买来18根1米长的木条，他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃吗？（用算式或文字说明理由） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】由于李叔叔买来18根1米长的木条，由此即可知道长方形的周长是18米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可知道长加宽的和是：18÷2＝9（米），当长是8米，宽为1米；长是7米，宽为2米；长是6米，宽为3米；长是5米，宽为4米；根据长方形的面积公式：长×宽，分别求出几种情况的面积，再和李叔叔的邻居家的长方形花圃的面积比较即可。 【规范解答】18×1＝18（米） 18÷2＝9（米） 长（米） 8 7 6 5 宽（米） 1 2 3 4 面积（平方米） 8 14 18 20 5×4＝20（平方米）    6×3＝18（平方米） 20＞18 答：他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃。 【考点剖析】本题主要考查长方形的周长和面积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（21-22五年级上·江苏无锡·期末）有一种电子游戏，每玩一关最多可得800分，每玩满1000分、2000分……（整千分）可另外奖励500分。小飞玩了5关，最多可得（    ）分。 A．6000 B．7500 C．8000 D．以上都不对 【答案】B 【思路引导】先根据每玩一关可得800分，玩五关应得分，然后根据玩五关应得分，超过几个整千数，每超过一个整千数就奖励几个500分，再根据得到的数与玩五关应得分相比，超过几个整千数，再加几个500分，依次类推解答。 【规范解答】800×5＝4000（分） 4000＋4×500＝6000（分） 6000＋500×2＝7000（分） 7000＋500＝7500（分） 小飞玩了五关，最多得7500分。 故答案选：B 【考点剖析】本题的难点是每次得到的分，与原来得到的分相比，超过了几个整千数，相应的奖励分，一定要加上。 2．（23-24五年级上·江苏苏州·期末）三张不同颜色的彩纸包语文书、数学书、英语书（每张纸只能包－本书），一共有（    ）种不同的包法。 A．10 B．12 C．15 D．6 【答案】D 【思路引导】根据题意，第一张纸可以选择包语文书、数学书、英语书任意一种；3种选择，第二张纸只能在剩下的两本中选择；2种选择，第三张纸只能选择剩下的那一本；1种选择。 【规范解答】3＋2＋1＝6（种） 故答案为：D 【考点剖析】本题利用加法原理，计算即可得出答案。 3．（23-24五年级上·江苏南通·期末）如图，小蚂蚁从点A爬到点B，走最短的路线，共有（    ）种不同的路线。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【思路引导】要使走的路线最短，只能横向向右或纵向向下行走，以此为依据，从A到O有两种走法，然后再按照求最短路线的方法一一列举即可。 【规范解答】第1种：A－1－O－3－4－5－B； 第2种：A－1－O－3－9－5－B； 第3种：A－1－O－3－9－8－B； 第4种：A－1－O－6－9－8－B； 第5种：A－1－O－6－7－8－B； 第6种：A－1－O－6－9－5－B； 第7种：A－2－O－3－4－5－B； 第8种：A－2－O－3－9－5－B； 第9种：A－2－O－3－9－8－B； 第10种：A－2－O－6－9－8－B； 第11种：A－2－O－6－7－8－B； 第12种：A－2－O－6－9－5－B； 共12种； 故答案为：D。 【考点剖析】此题考查了排列组合问题，关键是要明确走的路线最短，只能横向向右或纵向向下行走，列举时要做到不重复、不遗漏。 4.有1元、2元、5元和10元人民币各1张，任意取2张，可以有（    ）种不同的取法。 A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【思路引导】将1元、2元、5元和10元人民币各1张任意取出2张一一列举出来即可。 【规范解答】每次取2张有： 1元和2元；1元和5元；1元和10元；2元和5元；2元和10元；5元和10元；共有6种； 故答案为：B。 【考点剖析】解答此题的关键是根据题意，能利用所给的币值，找出组成的组合，一定不要重复和遗漏。 5．（23-24五年级上·江苏连云港·期末）李阿姨用12根一米长的木条围成一个长方形的花圃，木条不能折断，一共有( )种不同的围法。面积最大是( )平方米。 【答案】 3 9 【思路引导】因长方形有两个长，两个宽，12根一米长的木条摆成长方形后的一个长和宽的和是12÷2＝6，然后把6分成长和宽，然后分别求出面积，再进行比较，据此解答。 【规范解答】组成长方形的方法： （1）长5米，宽1米，面积是：5×1＝5（平方米）； （2）长4米，宽2米，面积是：4×2＝8（平方米）； （3）长3米，宽3米，面积是：3×3＝9（平方米） 一共有3种不同的围法，面积最大是9平方米。 【考点剖析】本题的关键是根据长方形的长和宽分情况进行分析。 6．（23-24五年级上·江苏苏州·期末）有油条、馒头、豆浆、包子四种早餐，小明可以选择其中的一种或者两种共有( )种不同的选择。 【答案】10 【思路引导】分情况列举出可能的选择即可得解。 【规范解答】选一种：油条、馒头、豆浆、包子，共4种选择； 选两种：油条＋馒头、油条＋豆浆、油条＋包子、馒头＋豆浆、馒头＋包子、豆浆＋包子，共6种选择。 4＋6＝10（种），所以共有10种选择。 【考点剖析】本题主要考查学生用列举法解决实际问题的能力。 7．（20-21五年级上·江苏扬州·期末）用9，0，4三张卡片可以摆出( )个不同的三位数，其中最小的是( )。 【答案】 4 409 【思路引导】零不能在最高位，摆数时要有序的摆，才能做到不重不漏。 【规范解答】904，940，409，490，共有4个，其中最小的是409。 【考点剖析】采用列举法解决问题时，要做到有序列举，才能做到不重不漏。 8．甲、乙、丙、丁四个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一场比赛，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相等。丁胜了几场？ 【答案】0场 【思路引导】甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，即每个人要与其他3人各赛一场，又比赛是在两人之间进行的，所以一共赛了3＋2＋1＝6场，即共有6场比赛：如果甲、乙、丙各胜一场比赛，丁就胜了三场，与甲胜了丁一场相矛盾；如果甲、乙、丙每人胜2场，那么丁胜了0场；据此解答。 【规范解答】共比赛的场数：3＋2＋1＝6（场） 3×2＝6（场） 6－6＝0（场） 答：丁胜了0场。 【考点剖析】首先根据赛制算出比赛的总场数是完成本题的关键，然后据甲、乙、丙三人胜的场数相同及甲胜了丁这两个条件分析推理即可。 9．（23-24五年级上·江苏·期末）客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，客车速度54km/h，货车速度48 km/h。两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车到达甲地后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行21.6千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【答案】122.4千米 【规范解答】21.6÷（54－48）＝3.6（小时） （54＋48）×3.6÷3＝122.4（千米） 10．（20-21五年级上·江苏扬州·期末）有5cm、3cm和2cm长的小棒各4根，共12根。如果选出若干根使它们收尾相接，就可以拼成大小不同的正方形。根据所选择不同小棒，将所拼成的正方形的边长和面积填写在下表中。（ 写出符合条件的所有情况） 边长/cm 面积/cm2 【答案】见详解 【思路引导】正方形的四条边都相等，据此，可以选择4根相同长度的小棒作为正方形的边长；可以把3厘米和2厘米长的小棒各1根接起来作为正方形的两条边长，3＋2＝5（厘米）；可以用3厘米和5厘米的小棒各1根接起来作为正方形的边长，3＋5＝8（厘米）；可以把2厘米和5厘米长的小棒各1根接起来作为边长，2＋5＝7（厘米）；也可以把2厘米、3厘米和5厘米长的小棒各1根接起来作为正方形的边长2＋3＋5＝10（厘米）。再根据正方形的面积＝边长×边长求出各正方形的面积。 【规范解答】4根5厘米长的小棒，面积是5×5＝25（平方厘米）； 4根3厘米长的小棒，面积是3×3＝9（平方厘米）； 4根2厘米长的小棒，面积是2×2＝4（平方厘米）； 3厘米和2厘米的小棒各4根，边长是3＋2＝5（厘米），面积是5×5＝25（平方厘米），与第一种的边长和面积相等； 3厘米和5厘米的小棒各4根，边长是3＋5＝8（厘米），面积是8×8＝64（平方厘米）； 2厘米和5厘米的小棒各4根，边长是2＋5＝7（厘米），面积是7×7＝49（平方厘米）； 2厘米、3厘米和5厘米长的小棒各4根，边长是2＋3＋5＝10（厘米），面积是10×10＝100（平方厘米）。 还有其它拼法，但拼成的正方形边长、面积和上述拼法相等，所以可以拼成6种大小不同的正方形。填表如下： 边长/cm 5 3 2 8 7 10 面积/cm2 25 9 4 64 49 100 【考点剖析】本题考查正方形的特征和排列组合问题的综合应用。用小棒拼正方形时，要按照先一种小棒，再两两组合，最后三种小棒组合的顺序进行组合，避免漏数或重复。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $