第4章 基本平面图形-2025-2026学年七年级上册数学7分钟优化课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 第四章基本平面图形 精练1线段、射线、直线 一、核心知识巩固(1一4,6一7题，每题3分，5题4分，共22分) 知识点1线段、射线、直线 1.可以近似看作射线的是 A.绷紧的琴弦 B.手电筒发出的光线 C.孙悟空的金箍棒 D.课桌较长的边 2.下列各图中直线的表示方法正确的是 ( AB Ab a古 Ab A.直线AB B.直线Ab C.直线ab D.直线bA 3.下列线段表示正确的是 ( A.线段M B.线段m C.线段Mn D.线段mn 4.如图，点A,B,C是直线1上的三个点，图中共有线段条数是 ( ) A B C I A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.如图，平面上有A,B,C,D四点，按下列语句画图：（保留作图 痕迹，不写做法) D (1)画直线AB. B (2)画射线BC. C (3)连接CD. (4)反向延长线段CD至点E,使CE=CD. 知识点2点和直线的位置关系 6.下列几何图形与相应语言描述相符的是 () D A B A MN 图1 图2 图4 A.如图1，直线a,b相交于点A B.如图2，直线CD与线段AB没有公共点 C.如图3，点B在直线AB上 D.如图4，点A在直线MN上 知识点3直线的性质 7.值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次 摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是() A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.直线没有端点 D.以上说法都不对 ·55· 二、综合知识运用(8一10题，每题4分，11题6分，共18分) 8.如图，点A,B在直线L上，下列说法错误的是 () AB A.线段AB和线段BA是同一条线段B.直线AB和直线BA是同一条直线 C.图中以点A为端点的射线有两条D.射线AB和射线BA是同一条射线 9.某市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有 () A.25种 B.15种 C.30种 D.21种 10.下列叙述正确的是 () A.画直线AB=10厘米 B.两点之间的线段叫作这两点之间的距离 C.河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线” D.射线AB与射线BA是两条不同的射线 11.如图，已知数轴上的原点为O,点A表示3，点B表示一1，回答下列问题： (1)数轴上，在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线OB上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于一1的数的部分是什么图形？怎么表示？ 月日12肾 三、拓广实践探索（共10分） 12.【阅读理解】(1)在一条直线上有A,B,C,D四个点，那么这条直线上总共有多少 条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有AB,AC, AD共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这 样共有4个3，即4×3=12条，但AB和BA是同一条线段，即每一条线段重复 一次，所以一共有6条线段.那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有 条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有 条 线段 【知识迁移】(2)两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四 条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点 【学以致用】(3)某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问 好，全班同学共握手 次。 ·56· 数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练2比较线段的长短 一、核心知识巩固(1一4,6一8题，每题3分，5题5分，共26分) 知识点1线段的性质 1.在下列生活、生产现象中，①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②在A,B两 地之间架设电线时，总是尽可能沿线段AB架设；③植树时，只要栽下两棵树，就 可以把同一行树栽在同一条直线上；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以 用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是 () A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 知识点2两点之间的距离 2.下列说法中：①A,B两点之间的距离是线段AB;②A,C两点之间的距离是线段 AB的长度；③B,C两点之间的距离是线段BC的长度，正确的是 () A.② B.③ C.②③ D.①②③ 3.已知线段AB=15厘米，在线段AB上画一点C,使BC=14厘米，那么A,C两点 间的距离是 () A.1厘米 B.29厘米 C.1厘米或29厘米D.无法确定 知识点3线段的比较及画法 4.用圆规比较两条线段AB'和AB的长短（如图），下列结论正确的是 A.A'B'=AB B.ABAB C.A'B′<AB D.无法比较 B'(A)(B') A B C D ABD己 第4题图 第6题图 第7题图 5.如图，延长线段BA至点C,使得CA=BA.(保留作图痕迹，不写作法) A B 知识点4线段的中点及线段的和差计算 6.如图，下列关系式中与图形不符合的是 () A.AD-CD=AC B.AC+CD=BD C.AC-BC=AB D.AB+BD=AD 7.如图，点D是AC的中点，点B是AC的三等分点，若BC=4,则BD的长为 () A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 ·57· 8.已知点C和线段AB,分别满足以下条件：①AC=BC,②AC=2AB,③AB= 2BC,④AC=BC-AB,其中能确定点C是线段AB的中点的是 （填 序号) 二、综合知识运用(9一10题，每题6分，共12分)》 9.如图，3条线段AB,BC,CA围成一个三角形，AB>CA. (1)延长AC到点D,使CD=BC. (2)比较AD与AB的大小. 10.如图，已知线段AB=12cm,点C为线段AB上的一个动点，点D,E分别是AC 和BC的中点，若AD=2cm,求CE的长. 三、拓广实践探索（共12分） 11.小明在学习了比较线段的长短时，对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求 MN的长. (1)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将 题中的条件一般化，并开始深入探究.设AB=a,C是线段AB上任意一点 (不与点A,B重合)，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答， ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN= ②如图2，M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=号AC,BN=}BC,则 MN= ③若M,N分别是AC,BC的n等分点，即AM=1AC,BN=1BC,则MN= 1 A M CN B A M C N B 图1 图2 ·58· 数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 重点专题一与线段上的中点有关的计算 1.如图，A,B,C,D四点在同一直线上. (1)若AB=CD. ①比较线段的大小：AC BD(填“>”，“=”或“<”). ②若BC=AC,且AC=12cm,则AD的长为 cm. (2)若线段AD被点B,C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点 N之间的距离是16cm,求AD的长 2.小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸 缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节EF是固 定不动的，长为54cm,它比中节CD长7cm,中节CD又比下节AB长3cm.如 图2，在无伸缩的初始状态下，点D,E重合，点B,C也是重合的. (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长AF的长度. (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度AF缩短 为116cm,且点C恰为AE中点时，求缩进部分BC,DE的长， 上节 E卧D B-C 下节 DBBC小 图1 图2 图3 ·59· 重点专题二与数轴动点有关的线段计算 1.如图，数轴上的点A,B对应的数分别为一10,5.动点P,Q分别从A,B同时出 发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位 长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒. (1)当点P运动到B点时，则t的值为 (2)数轴上的点P,Q对应的数分别为 (用含t的式子表示). (3)当PQ=号AB时，直接写出：的值。 A→P 0Q←-B 2.数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题.一般的，若数轴上的 点A表示的数为α，点B表示的数为b,那么A,B两点间的距离可以表示为AB |Q-6,线段AB的中点C所表示的数为比如a=-2,6=1,那么A,B两 点间的距离AB=一2-1=3，线段AB的中点C所表示的数为一2士1一2 2 应用以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上A,B两点对应的数分别为一26，一10，B与C两点对应的数互 为相反数 (1)求AB,AC的长. (2)若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.当点M到 达B点时，点N从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，设 M点的移动时间为t秒 ①问t为何值时，B为MN的中点？ ②当MN=合AC时，求t的值， AB0C,AB。。 2 -10.0 二26 -100 (备用图) ·60 数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练3角 一、核心知识巩固(1一2,5一8题，每题2分，3一4题，每题3分，共18分) 知识点1角的定义及表示 1.下列关于角的说法：①两条射线组成的图形叫作角；②角的边越长，角越大；③在 角一边的延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形，其中正确的有 （) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列角中，能用∠1，∠ACB,∠C三种方法表示同一个角的是 3.45°= 直角= 平角= 周角. 知识点2角的单位换算 4.换算：(1)1.25° ',(2)7200°= 5.比较大小：62°15 62.15°（填“>”“<”或“=”）. 知识点3方向角 6.如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向. 北 B 北 B 5050A 西 5080°东 70° →东 A 南 0 东 第6题图 第7题图 第9题图 7.如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东50°的方向上，则图中 最有可能表示图书馆位置的是点 8.小华在小凡的南偏东30°方位，则小凡在小华的 方位. 二、综合知识运用(9一12题，每题3分，13题4分，14题6分，共22分) 9.如图，点A,B,O分别表示一个景点.经测量∠AOB=66°，景点B在景点O的北 偏东25°25'方向，则景点A相对于景点O的方向是 () A.南偏东40°35方向 B.北偏西41°35′方向 C.北偏西40°35方向 D.南偏东41°35方向 ·61 10.若∠1=33°33′，∠2=33.33°，∠3=33.3°，则下面说法正确的是 () A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠1，∠2，∠3互不相等 11.下列说法中：①小于90°的角是锐角；②等于90°的角是直角；③大于90°的角是 钝角；④平角等于180°；⑤周角等于360°，正确的有 个. 12.8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为 13.换算：(1)120.76°= 度 分 秒. (2)用度表示45°1912为 14.如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东42 方向上，航行到点C时，测得∠COE=2∠AOE. (1)求∠AOE的度数. (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 北B C 西F -A东 南 三、拓广实践探索（共10分） 15.(1)在∠AOB内部画1条射线OC,则图1中有 个不同的角 (2)在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图2中有 个不同的角 (3)在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图3中有 个不同的角. (4)在∠AOB内部画10条射线OC,OD,OE,·,则图中有 个不同 的角 (5)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,·,则图中有 个不同的角， D B A 图1 图2 图3 ·62· 面数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练4角的比较 一、核心知识巩固(1一8题，每题3分，共24分) 知识点1角的比较 1.在小于平角的∠AOB的内部取一点C,并做射线OC,则一定有 () A.∠AOC>∠BOC B.∠AOC=∠BOC C.∠BOC>∠AOC D.∠AOB>∠AOC 2.如图，若∠AOC=∠BOD,则 () A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定 3.用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 0 一B 第2题图 第4题图 第5题图 知识点2角的和差 4.把一副三角板按如图所示拼在一起，则∠ABC的度数为 ( A.135° B.90° C.105° D.120° 5.如图，∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=35°则∠AOD的大小为 ( ) A.130° B.125° C.115° D.105° 知识点3角的平分线 6.如图，射线OC平分∠AOB.若∠AOB=58°，则∠COB的度数为 () A.90° B.58° C.29° D.24° 第6题图 第7题图 7.如图，0C是∠A0B的平分线，∠B0D=号∠C0D,∠B0D=15,则∠A0C的度 数是 () A.15° B.20° C.30 D.40° ·63· 知识点4用尺规作一个角等于已知角 8.如图，用直尺和圆规作∠PCD=∠AOB,作图痕迹中，弧MN是 () A.以点C为圆心，OE为半径的弧 B.以点C为圆心，EF为半径的弧 C.以点G为圆心，OE为半径的弧 D.以点G为圆心，EF为半径的弧 E一BC DB 第8题图 第9题图 二、综合知识运用(9一10题，每题3分，11题12分，共18分) 9.如图，在直线AB上取一点O,过点O作射线OC,使∠BOC=41°，以点O为圆 心，任意长度为半径画弧，分别交边OB,OC于点D,E,再以点E为圆心，DE的 长为半径画弧，交前弧于点F,再画射线OF.则∠AOF的度数为 () A.41° B.82 C.98 D.139° 10.已知∠AOB=40°，OD平分∠AOB,∠BOC=60°，则∠DOC的度数为() A.20 B.35° C.40°或80° D.35或65 11.计算： (1)36°15+33°25. (2)110°36-90°37'28 (3)180°-182°36÷4. (4)72°35′÷2+18°33′×4. 三、拓广实践探索（共8分） 12.如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC,ON平分∠AOC, (1)∠MON的度数为 (2)若∠AOB=a,其他条件不变，求∠MON的度数， (3)若∠AOC=(B为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数. (4)从上面结果中看出有什么规律？ ·64·数学·七年级·上册BS 214个. 第四章基本平面图形 精练1线段、射线、直线 1.B2.A3.B4.C 5.解：(1)如图，直线AB即为所求. (2)如图，射线BC即为所求， (3)如图，线段CD即为所求. (4)如图，点E即为所求. 6.A7.A8.D9.C10.D 11.解：(1)射线；表示为射线OB. (2)非正数.(3)线段；可表示为线 段AB 12.解：(1)10；nm1)(2)6,nm-) 2 2 (3)990 精练2比较线段的长短 1.C2.B3.A4.B 5.解：如图，点C即为所求 c 6.B7.A8.④ 9.解：(1)如图，点D即为所求. (2),CD=BC, ∴.AD=AC+CD=AC+CB, 两点之间线段最短， 1 ∴.AC+CB>AB, ..AD>AB. 10.解：(1).点D,E分别是AC和BD 的中点， ÷AD=DC=2AC,CE=EB- 38c, DE=DC十CE, 即DE=号AC+号BC-AB, .'AB=acm, .DE-2AB-2 cm. (2)由(1)，可知DE=2AB=6cm, 且DE=CD+CE=AD+CE, ∴.CE=DE-AD=6-2=4cm. 11.解：(1)6 (2)①2a ®号 ③n-1 a n 重点专题一与线段上的中点有关的计算 1.解：(1)①=②15 (2)如图， A M B 衣ND 设AB为3x,则BC=4x,CD=5.x,AD =12x, ,点M是AB的中点，点N是CD的 中点， ∴AM=BM=,CN=ND= 2x, 又.MN=16, “2+4z+8=16, 数学·七年级·上册BS 解得x=2, ∴.AD=12x=24cm. 2.解：(1)由题意，得CD=EF-7=54 7=47, AB=CD-3=47-3=44, ..AF=AB+CD+EF=44+47+54 =145, 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长 AF的长度为145cm. (2).AF=116,EF=54, .AE=AF-EF=116-54=62, .点C为AE的中点 AC=CE=2AE=2×62=31, AB=44, .BC=AB-AC=44-31=13, .CD=47,CE=31, .DE=CD-CE=47-31=16. 答：缩进部分BC的长为13cm,DE的 长为16cm. 重点专题二与数轴动点有关的线段计算 1.解：(1)5 (2)-10+3t;5-2t (3)2或4. 2.解：(1)由题意，得C点对应的数 为10， ∴.AB=-10-(-26)=16,AC= 10-(-26)=36. (2)①由题意，得点M表示的数为 -26+t, 点N表示的数为一26+3(t一16)=3t ·1 -74, ,点B为MN的中点， .-26++31-74=-10, 2 解得t=20, '.t为20秒时，B为MN的中点. ②.AC=36, ÷6AC=6, 当0<t≤16时，AM=MN=6,即t =6; 当t>16时，-26+t-(3t-74)=6 或3t-74-(-26+t)=6, 解得t=21或t=27; 当t=28时，N到达C点.此时C表 示的数为10， 则10一（一26+t)=6, 解得t=30, 综上所述，当MN=合AC时，：的值 为6秒或21秒或27秒或30秒. 精练3 角 1A2.C3安好哈 4.(1)75(2)120;25.> 6.北偏东20°或东偏北70°7.D 8.北偏西30°9.C10.D11.3 12.7513.(1)120;45;36(2)45.32° 14.解：(1)由题意，得∠BOE=42°， ∠AOB=90°， ∴.∠AOE=∠AOB-∠BOE=90° -42°=48°. 08· 数学·七年级·上册BS (2)渔船到达的点C在点O的北偏 西54°方向上. 15.解：(1)3(2)6 (3)10(4)66 (5)n+1)(n十2) 2 精练4角的比较 1.D2.B3.30°4.D5.C 6.C7.C8.D9.C10.C 11.(1)69°40'.(2)195832. (3)134°21.(4)110°2930. 12.解：(1)45° (2).∠AOB=a,∠AOC=30°， .∠BOC=a+30°， .OM平分∠BOC,ON平分∠AOC, ·∠C0M=号+15，∠C0N=15, ∴∠MON=∠COM-∠CON=g. (3).∠AOB=90°，∠AOC=β， ∴.∠BOC=90°+B, .OM平分∠BOC,ON平分∠AOC, :∠C0M=45+号，∠C0N=号， .∠MON=∠COM-∠CON=45°. (4)∠MON的大小和∠AOB的大小有 关，且是∠AOB的一半，与∠AOC的大 小无关 精练5多边形和圆的初步认识 1.C2.D3.C4.B5.A6.A 7.A8.C9.D10.108°11.144° 12.175π 13.解：(1)2；5；9 (2)(n-3);n(n-3)(3)n(n-3) 2 (4)当m=12时，nn。3》_12X9_=54, 2 2 即一个凸十二边形有54条对角线. 重点专题三几何图形中的数学思想方法 1.解：(1).OD平分∠BOC, ∴.∠COD=∠BOD, ,∠AOB=110°，∠AOD=95°， ∴.∠B0D=110°-95°=15°， .∴.∠AOC=95°-∠C0D=95°-15°=80°， 设∠AOE=x,则∠COE=3x, .x十3x=80°， 解得x=20°， ∴.∠AOE=20°. (2)设∠AOE=a,则∠COE=3a, .∠AOB=110°，∠DOE=65°， .a+∠BOD=110°-65°=45°， ∴.∠COD=∠BOD=45°-a, ..∠DOE=3a+45°-a=65°， 解得a=10°， .∠C0D=35°， ∴.∠BOE=3a+2X35°=100°， .OF平分∠EOB, ∠FOB=2∠B0E=50. 2.解：(1)17cm (2)EF的长度不变.EF=17cm. E,F分别是AC,BD的中点， ∴EC-2AC,DF=2DB, ∴.EF=EC+CD+DF, 数学·七年级·上册BS -AC+CD+BD, -(AC+BD)+CD, -(AB-CD)+CD, -(AB+CD)-17 cm. (3)∠EOF=(∠AOB+∠COD. 3.解：(1)M,N分别是AC,BC的 中点， ∴AM=CM=号AC,BN=CN= BC. :MN-CM+CN-(AC+BC)- 2AB=45 (2)AM-AC,BN-BC, CM=号AC,CN=号BC, :MN=CM+CN=号(AC+BC)= 号AB=60. 4.解：(1)45°. (2)'∠AOB=60°，OC平分∠AOB, ∴∠B0C=2∠A0B=30, .∠BOD=∠COD-∠BOC=15°. (3)∠AOC的度数为x°-15°或15° x°或x°+15°. 第五章一元一次方程 精练1认识方程 1.D2.B3.一3x=1(答案不唯一) 4.D5.x+1.5x+x+0.5=306.B 7.C8.B 9.解：由题意知，一2a+b=5-2X(-2), 整理，得-2a十b=9, ∴.3-4a+2b=3+2(-2a+b)=3+2 ×9=21. 10.B11.-312.k≠2 13.解：1)415801615.21%. (2)2a+12=40. (3)10a+10(a-5)+10(a-7)=20. 14.解：12a26与一06是同类项， ∴.m=2,n=3, .m+n=5, 当y=5时， 左边=2×5一3=7，右边=一3X5十 22=7, .左边=右边， ∴.m+n是方程2y-3=-3y+22 的解 15.解：(1)把x=1代入ax+b=0,得a +b=0 ∴.原式=2025×0+(0+1)2025， =0+1, =1. (2)由ax十b=0,得 =-b a 10·