作业8 指数与指数函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　求下列函数的单调区间: (1)y=lo(x2+4x-12); (2)y=(log0.4x)2-2log0.4x+2. 【思路点拨】　本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定义域. 【解析】　(1)由题意知x2+4x-12>0,依据二次函数u=x2+4x-12的图象可得x>2或x<-6,且u=x2+4x-12在(-∞,-6)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.又y=lou在定义域(0,+∞)上是减函数,故依据复合函数的单调性知所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞). (2)令t=log0.4x,易知t=log0.4x在(0,+∞)上单调递减,y=t2-2t+2=(t-1)2+1在[1,+∞)上单调递增,在( -∞,1)上单调递减. 由t=log0.4x≥1,得0<x≤0.4;由t=log0.4x<1,得x>0.4. 故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4]. 【名师点睛】　解决对数型复合函数单调性问题的思路 解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域. 对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1)型.对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反. 研究y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的单调性,一般用复合函数的单调性法则判定即可,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可. 一、选择题 1.对数式log(a-2)(5 -a)中实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,5)　　　　　 B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 2.(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若10=lg x,则x=10 D.由log25x=,得x=±5 3.下列函数为对数函数的是 (　　) A.y=lo(-x) B.y=2log4(x-1) C.y=ln x D.y=lox(a是常数) 4.已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b,则f(-a)等于 (　　) A.b B.-b C. D. 5.(多选)函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,则下列结论中正确的是 (　　) A.f(x2)=2f(x) B.f(2x)=f(x)+f(2) C.f=f(x)-f(2) D.f(2x)=2f(x) 6.已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 (　　) A B C D 7.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度等于x2-x1.函数y=|logax|(a>1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1].若区间[m,n]的长度的最小值为,则实数a的值为 (　　) A. B.2 C. D.4 二、填空题 8.log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=　　　　..  9.函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(4x-x2)的单调递增区间是　　　　.  三、解答题 10.(1)计算:lg25-lg22+lg 4+×-; (2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365. 11.已知函数f(x)=log2(x2-2mx+3). (1)当m=1时,求f(x)的值域; (2)若f(1)<f(2),求实数m的取值范围; (3)若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围. 作业8　指数与指数函数 1.BCD　①=·a≠2a;②||=,==,成立;③=×=-3,成立;④==,成立.故选BCD. 2.A　根式化为分数指数幂是.故选A. 3.A　令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C项和D项.又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数,所以y=2x-2-x在区间(0,+∞)上为增函数,故选A. 4.C　∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即30+b=0,得b=-1.∴f(-1)=-f(1)=-(31+2-1)=-4. 5.C　令y=ax-a=0,得x=1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C. 6.B　当a>1时,ymin=a0=1,ymax=a1=a,则1+a=3,解得a=2;当0<a<1时,ymax=a0=1,ymin=a1=a,则1+a=3,解得a=2(舍去).综上所述,a=2. 7.B　∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,得f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2,解得f(x)=ax-a-x,g(x)=2.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=.故选B. 8.B　由f(1)=得a2=. 又a>0,所以a=,因此f(x)=.因为y=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B. 9.　　∵α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,∴α+β=-2,αβ=. ∴2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=. 10.[0,2)　y=f(x-1)的值域与函数y=f(x)的值域相同,而当x∈(-1,2)时,f(x)=|2x-2|∈[0,2),所以函数f(x-1)的值域为[0,2). 11.(-∞,2]　由二次根式有意义,得4-2x≥0,即2x≤4=22.因为y=2x在R上是增函数,所以x≤2,即定义域为(-∞,2]. 12.解析:(1)原式=++-3+=+100+-3+=100. (2)原式=(2-2)-2+(+-1× =16++5+2+ =21+. 13.解析:(1)令t=3x,则t2-10t+9≤0, ∴1≤t≤9. ∴1≤3x≤9,即30≤3x≤32, ∴x的取值范围是[0,2]. (2)∵y=-4·+2, ∴y=4·-4·+2. 令m=,则=m2. 由0≤x≤2,知≤m≤1. ∴f(m)=4m2-4m+2=4+1. ∴当m=,即x=1时,f(m)有最小值1; 当m=1,即x=0时,f(m)有最大值2. 故函数的最大值是2,此时x=0,函数的最小值为1,此时x=1. 14.C　不等式(m2-m)·4x-2x<0可变形为m2-m<,∵函数y=在(-∞,-1]上是减函数,∴≥=2.当x∈(-∞,-1]时,由m2-m<恒成立,得m2-m<2,解得-1<m<2,故选C. 15.(0,3)　函数y=3x的渐近线为x轴,可知y=3x-3的渐近线为y=-3,作出y=|3x-3|的图象,结合函数图象可知,0<m<3. 16.解析:(1)由题意得2x-1≠0,即x≠0,∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)令g(x)=+=,φ(x)=x3,则g(-x)===-g(x), ∴g(x)为奇函数.又∵φ(x)=x3为奇函数,∴f(x)=·x3为偶函数. (3)证明:当x>0时,2x>1,∴2x-1>0,又∵x3>0,∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称知,当x<0时,f(x)>0也成立. 故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $