作业6 函数的基本性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

幂函数的图象和性质 α>0和α<0两种情况下幂函数的图象变化及性质: 解析式 y=xα(α∈R) 图象 α>0 α<0 性 质 定义域 在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关 定点 图象过点(0,0)和点(1,1) 图象过点(1,1) 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 在第一象限内,当0<α<1时,图象上凸; 当α>1时,图象下凸 在第一象限内,图象都下凸 奇偶性 与α的取值有关 　　【例题】　幂函数y=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 (　　) A.1或3 　　　　 B.3 C.2 D.1 　　【思路点拨】　 根据幂函数的概念求得m的可能取值→根据该幂函数在(0,+∞)上为增函数进行验证 【解析】　∵y=(m2-4m+4)为幂函数, ∴m2-4m+4=1,即(m-1)(m-3)=0,∴m=1或m=3. 当m=1时,m2-6m+8=3,则y=x3,在(0,+∞)上单调递增,满足题意; 当m=3时,m2-6m+8=-1,则y=x-1=,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,∴m=3应舍去. 综上可知,m=1. 【答案】　D 【名师点睛】　解决此题的关键是弄清幂函数的概念及性质: (1)幂函数是一个形式定义,必须满足m2-4m+4=1,从而求出m=1或m=3; (2)注意分类讨论思想的运用,同时要注意满足已知条件“在(0,+∞)上单调递增”. 一、选择题 1.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为 (　　) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 2.设a=,b=,c=,则 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 3.(多选)已知函数f(x)=xk(k∈Q),在下列函数图象中,可能是函数y=f(x)的图象的是 (　　) A B C D 4.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　　) A B C D 5.(多选)若函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数,则f(x)一定 (　　) A.是偶函数 B.是奇函数 C.在x∈(-∞,0)上单调递减 D.在x∈(-∞,0)上单调递增 6.如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是 (　　) A.y=x2 B.y= C.y= D.y= 7.下列说法中正确的有 (　　) ①幂函数的图象均过点(1,1); ②幂函数的图象均在两个象限内出现; ③幂函数在第四象限内可以有图象; ④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数; ⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　　　　.  9.设α∈,则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是　　　　.  三、解答题 10.已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数; (3)幂函数. 11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围. 作业6　函数的基本性质 1.D　根据函数单调性的定义和性质来判断,只有D是正确的,故选D. 2.CD　偶函数的图象不一定与y轴相交,故A错误;奇函数的图象不一定过原点,如y=,故B错误;C,D显然正确;故选CD. 3.B　当f(x)=x2时,f(0)=0,但f(x)=x2为偶函数;若f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,所以f(0)=0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件. 4.AB　依题意,当a=0时,不符合题意;当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2.故选AB. 5.C　对于A选项,y=x+1为一次函数,不是偶函数,不符合题意;对于B选项,y=,令y=f(x),则f(-x)==-=-f(x),且定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,故该函数是奇函数,不是偶函数,不符合题意;对于C选项,y=x2-1为二次函数,其定义域为R,关于原点对称,令y=f(x),则f(-x)=f(x),故该函数是偶函数且在(-∞,0)上是减函数,符合题意;对于D选项,y=x+,令y=f(x),则f(-x)=-=-f(x),f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,故该函数是奇函数,不是偶函数,不符合题意.故选C. 6.A　因为f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,所以f(3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同,可知f(x)在区间[-7,-3]上为增函数,且有最大值f(-3)=-f(3)=-5. 7.D　由f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a,+∞),∴a≤1. ∵y=在(-1,+∞)上为减函数, ∴由g(x)=在[1,2]上是减函数可得a>0,故0<a≤1.故选D. 8.D　由题意可得解得a∈(1,2].故选D. 9.25　由题意知函数f(x)的对称轴为x=-=-2,所以m=-16,∴f(x)=4x2+16x+5,∴f(1)=25. 10.　依题意得f(-x)=f(x),∴b=0,又a-1=-2a,∴a=,∴a+b=. 11.2　当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2. 12.解析:由于f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},设0<x1<x2≤,则x1-x2<0,x1x2>0,0<x1x2<a,故x1x2-a<0. 所以f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=>0,即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(0,]上单调递减. 同理可得f(x)在[,+∞)上单调递增;在(-∞,-]上单调递增;在[-,0)上单调递减. 故函数f(x)在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减. 13.解析:(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数, 则f(0)=0.设x<0,则-x>0. ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 综上,f(x)= (2)图象如图. 14.B　由条件(1),得f(x)是奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的减函数, 对于①,f(x)=sin x在R上不单调,故不是“优美函数”;对于②,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于③,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”;对于④,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”.故选B. 15.5　根据题意,函数y=f(x)-2在R上是奇函数,设g(x)=f(x)-2,则有g(0)=f(0)-2=0,所以f(0)=2,由f(-1)=1,得g(-1)=f(-1)-2=-1,又g(1)=-g(-1),所以f(1)-2=-[f(-1)-2]=1,得f(1)=3,故f(0)+f(1)=5. 16.解析:(1)令x1=x2=0, 得f(0)=0;令x1=x,x2=-x, 得f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. (2)因为f(4)=1,所以f(8)=f(4)+f(4)=2, 所以原不等式化为f(x-1)<f(8). 又f(x)在[0,+∞)上是增函数,f(0)=0且f(x)是奇函数, 所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 因此x-1<8, 所以x<9.所以实数x的取值范围是(-∞,9). 学科网（北京）股份有限公司 $