作业3 等式性质、不等式性质、基本不等式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　已知a>b>0,求a2+的最小值. 【思路点拨】　待求式含有两个字母,但缺少定值条件,注意到待求式中的次数,一个是二次,一个是负二次,因此要向着ax+的结构方向发展,于是对目标式进行拆项. 【解析】　方法一　由于a2+中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,且a>b>0,则b(a-b)≤=,这样就消去了字母b,因此a2+≥a2+≥4,当且仅当b=a-b,a2=,即a=,b=时取等号,故a2+的最小值为4. 方法二　注意到b+(a-b)=a, 因此考虑用[b+(a-b)]2=a2,则a2+=[b+(a-b)]2+≥4b(a-b)+≥4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)=,即a=,b=时取等号. 故a2+的最小值为4. 方法三　令a-b=t,则t>0,则a2+=(b+t)2+≥4bt+≥2=4,当且仅当b=t,4bt=,即b=t=,a=时取等号. 故a2+的最小值为4. 【名师点睛】　多次应用基本不等式求最值时,要注意每次取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件一致,方可求其最值.也可以利用条件将所求式变形成只利用一次基本不等式即可求最值的形式. 一、选择题 1.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 (　　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 2.不等式x2+x-2>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2} 3.已知a>b>0,c>d>0,则 (　　) A.<　　　　　 B.> C.≤ D.≥ 4.已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点且关于直线x=2对称,且在[0,2]上y随x的增大而增大,则y≥0的解集是 (　　) A.[0,+∞) B.(-∞,0) C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞) 5.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,再作关于x轴对称的图象,得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的方程是 (　　) A.y=-- B.y=-- C.y=-- D.y=-+ 6.已知不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2},则a+b= (　　) A.-4 B.0 C.2 D.4 7.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则 (　　) A.+的最大值为4 B.ab的最大值为 C.+的最大值为 D.a2+b2的最小值是 二、填空题 8.若当x>2时,不等式a≤x+恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  9.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为　　　　.  三、解答题 10.已知一元二次函数的图象经过(1,4),(2,1),(0,1)三点,求这个一元二次函数的解析式. 11.某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已经2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将2021年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数; (2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大? 作业3　等式性质、不等式性质、基本不等式 1.D　由等式的性质,可知四种说法都正确.故选D. 2.D　因为-15=(-3)×5,且-3+5=2,所以可将x2+2x-15因式分解为(x-3)(x+5). 3.C　由b<2a,3d<c以及不等式的性质,得b+3d<2a+c,故选C. 4.D　“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”, ∴x≥95,y>380,z>45.故选D. 5.C　因为p-q=(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以p<q,故选C. 6.C　当a>0时,由基本不等式易得a+≥2成立;当a+≥2时,得≥0,即≥0,所以a>0,所以“a>0”是“a+≥2”的充要条件,故选C. 7.B　M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).因为a1∈(0,1),a2∈(0,1),所以a1-1<0,a2-1<0,所以(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,所以M>N. 8.B　f(x)==|x|+≥4,当且仅当x=±2时取等号,所以f(x)=的最小值为4,故选B. 9.≤　∵-==≤0. ∴≤. 10.2+5　∵2a+3b=ab,a>0,b>0,∴+=1,∴a+b=(a+b)=++5≥2+5,当且仅当2a2=3b2时等号成立,∴a+b的最小值为2+5. 11.z>y>x　方法一　∵y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理可得z>y,∴z>y>x. 方法二　令a=3,b=2,c=1,则x=,y=,z=,故z>y>x. 12.解析:(1)==y2-=y2-x2. (2)2 017×2 019-2 0182=(2 018-1)×(2 018+1)-2 0182=2 0182-12-2 0182=-1. (3)(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2. (4)(x-3y)2+(y+x)(x-y)=x2-6xy+9y2+x2-y2=2x2-6xy+8y2. 13.证明:因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又a>b>0,所以a-c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0, 所以0<<. 又e<0, 所以>. 14.A　当-1<x<0时,恒有ax+b>0成立,∴当a>0时,ax+b>b-a>0,当a<0时,ax+b>b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0,∴甲⇒乙.当a=b,b>0时,2b-a=b>0,但当x=-时,a·+b=-b+b=-b<0,此时,乙甲,∴甲是乙的充分不必要条件. 15.18　因为=2+++=2+=2+,又1=a+2b≥2,所以ab≤,即2+≥2+2×8=18,当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号. 16.解析:f(1)=a+b,f(-1)=a-b, 方法一　(待定系数法) 设f(-2)=m(a-b)+n(a+b), 则f(-2)=4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b, 所以解得 所以f(-2)=3(a-b)+(a+b). 因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6. 又2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10,即5≤f(-2)≤10. 方法二　(换元法)设则a=,b=. 所以f(-2)=4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n, 而1≤m=a-b≤2,2≤n=a+b≤4,所以5≤f(-2)≤10. 学科网（北京）股份有限公司 $