作业2 常用逻辑用语-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　已知集合A=[2a+1,3a-5],B=[3,22]. (1)求使A∩B=A成立的充要条件; (2)求A∩B=A的一个充分不必要条件.(用含a的不等式表示) 【思路点拨】　 A∩B=A⇔A⊆B,将原问题转化为集合间的关系问题求解即可. 【解析】　(1)A∩B=A⇔A⊆B,则集合A,B用数轴表示如图所示. 从而有解得6<a≤9. 反之亦成立,故6<a≤9即为所求. (2)由(1)可知A∩B=A的一个充分不必要条件可为7≤a≤8(答案不唯一). 【名师点睛】　探求充要条件的方法 探求一个命题成立的充要条件一般有以下两种方法. (1)等价转化法:将原命题进行等价变形或转化,直至获得其成立的充要条件,探求的过程,同时也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证. (2)非等价转化法:先探求出结论的必要条件,然后务必证明该条件也是结论的充分条件,方可得出结论的充要条件. 一、选择题 1.下列命题是存在量词命题的是 (　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.所有的质数都是奇数 C.偶数不是质数 D.有的偶数是质数 2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (　　) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 3.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)下列命题是真命题的是 (　　) A.∀x∈R,-x2<0 B.∃x∈Q,x2=5 C.∃x∈R,x2-x-1=0 D.若p:∀x∈N,x2≥1,则p的否定:∃x∈N,x2<1 5.若-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1} 6.(多选)若“x2>1”是“x<m”的必要不充分条件,则实数m的值可以是 (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 7.“若x∈[1,2],则ax2+1≤0恒成立”为真命题的充要条件是 (　　) A.a≤-1 B.a≤- C.a≤-2 D.a≤0 二、填空题 8.全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　,这是　　　　命题(填“真”或“假”).  9.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.其中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为　　　　.  三、解答题 10.已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0. 11.已知命题“关于x的方程x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数m的取值集合A; (2)设集合B={x|1-2a≤x≤a-1},结合(1),若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 作业2　常用逻辑用语 1.D　(1)中含有全称量词“所有”,所以是全称量词命题;(2)中含有全称量词符号“∀”,所以是全称量词命题;(3)中省略了全称量词“任意一个”,所以是全称量词命题. 2.B　∵2是质数,但不是奇数,∴①是假命题.∵0∈N,∴②是假命题.∵根据圆的性质知,圆内接四边形对角互补,∴③是真命题.∵Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,当Δ≥0,即b≤0时,方程x2-2bx+b2+b=0才有实根,∴当b≤1时,方程x2-2bx+b2+b=0不一定有实根,故④是假命题. 3.D　“对于任意的x∈R”的否定为“存在x∈R”,“x3-x2+1≤0”的否定为“x3-x2+1>0”. 4.A　B,D是存在量词命题,A,C是全称量词命题,但是C中x,y的取值范围错误. 5.C　令A={x|x>1},B={x|x3>1}.由于A=B,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件. 6.D　A中,若a=1,b=2,c=-1,满足a<b,但a>b+c不成立,故A错误;B中,若a=9.5,b=10,c=-1,a<b+c不成立,故B错误;C中,因为a<b,c>0,所以a<b+c恒成立,故C错误;D中,∃c>0,a<b+c成立,故D正确. 7.C　∵该命题为真命题,等价于在[a,+∞)上所有的数x都满足x>2 019,∴a>2 019.也可以认为集合[a,+∞)⊆(2 019,+∞),∴a>2 019. 8.C　由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-或x≥3,选项中只有{-1,3,5}⫋{x|x≤-或x≥3}, 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成立”的充分不必要条件. 9.④⑤　④　①感叹句,不是命题.②祈使句,不是命题.③疑问句,不是命题.④是命题,有人喜欢苹果,也有人不喜欢苹果,所以可判断该陈述句的真假,故它是命题,并且是真命题.⑤是命题,对于任意的x∈R,x2-1>0,可以判断其真假,故它是命题,当x=0时,该命题不成立,故它是假命题. 10.(1)必要条件　(2)充分条件　(3)充分条件　(4)必要条件 (1)∵(5,+∞)⊆(3,+∞),∴x>3是x>5的必要条件. (2)x>5是x>3的充分条件. (3)∵(-2,2)⊆(-∞,2),∴|x|<2是x<2的充分条件. (4)∵{山东人}⊆{中国人},∴“我是中国人”是“我是山东人”的必要条件. 11.-2　因为B⊆A,所以m2=1或m2=2-m,解得m=-1,1,-2. 当m=1时,2-m=1,舍去;当m=-1时,2-m=3舍去.因此m=-2. 12.解析:(1)􀱑p:3+4≤6,是假命题. (2)􀱑q:2,3不都是8的约数,是真命题. (3)􀱑s:2020年不是闰年,是假命题. (4)􀱑t:2不是素数,是假命题. 13.解析:作图表示p,q,r,s的关系,如图. (1)因为q⇒r⇒s,所以q⇒s,又s⇒q,所以s是q的充要条件. (2)因为r⇒s⇒q,所以r⇒q,又q⇒r,所以r是q的充要条件. (3)因为p⇒r⇒s⇒q,所以p是q的充分条件. 14.ACD　对于选项A,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,2>0,所以2x2-3x+4>0在R上恒成立,故A为真命题;对于选项B,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于选项C,当x=0或x=1时,x2≤x成立,故C为真命题;对于选项D,当x=1时,x为29的约数成立,故D为真命题.故选ACD. 15.解析:{m|m≤-3或m≥2}　由已知得,2m+1≤-5或2m-3≥1, 解得m≤-3或m≥2. 16.解析:(1)由已知可得“a≤x2”恒成立. 设y=x2,当x∈[1,2]时,y随x的增大而增大,即y最小值=1,由不等式恒成立可得,a≤1. (2)由已知可得“a≤x2”能成立. 设y=x2,当x∈[1,2]时,y随x的增大而增大,即y最大值=4,由不等式能成立可得,a≤4. 点评:用分离参数法求参数的取值范围,实质是转化为函数的最值问题,但要注意本题不等式恒成立是a≤y最小值,不等式有解(能成立)是a≤y最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $