专题03 指对数运算与指对数函数的图像与性质（期末复习讲义，必备知识+9大重难题型精讲+分层过关）高一数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义通过核心考点表格与分层知识点梳理构建指对数运算及函数的知识体系，将指数幂运算、对数运算法则、函数图像性质等核心内容按“概念-运算-图像-性质-应用”逻辑串联，用对比表格呈现指数与对数函数的定义域、单调性等关键特征，突出易错点与考情规律。 讲义亮点在于“题型专题+方法模板”设计，如针对指对数函数模型运用题型，通过废气过滤、植物生长等实例引导学生用数学语言表达现实问题，培养数学思维与应用意识。每个题型配备典例、变式及易错点拨，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题03 指/对数运算与指/对数函数的图像与性质 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 指数幂的运算 能熟练完成根式与分数指数幂的互化，准确运用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）进行化简求值 基础考点，多在选择、填空前半部分考查 易错点：分数指数幂的分母对应根指数、分子对应幂指数混淆，负指数幂转化时遗漏倒数关系 对数式、指数式互化与对数的运算法则 能熟练运用对数运算法则进行对数式的化简、求值，能区分对数运算法则与指数运算法则的差异 高频考点，选择、填空、大题均有涉及 易错点：误用运算法则，换底公式应用不熟练 指数函数的概念与解析式 能准确判断一个函数是否为指数函数，能根据已知条件用待定系数法求指数函数解析式 易错点：忽略指数函数定义，误把含常数项的函数当作指数函数 对数函数的概念与解析式 能准确判断一个函数是否为对数函数，能根据已知条件用待定系数法求对数函数解析式 易错点：混淆对数函数与对数型函数（如含常数项、真数为多项式的函数），忽略底数的取值范围 指数函数的图像与性质 能熟练画出不同底数的指数函数图像，准确说出其定义域、值域、单调性和过定点(0,1)的特征，能利用性质比较指数式大小 高频考点，选择、填空、大题均会涉及 命题趋势：常结合函数单调性、奇偶性综合考查，或与不等式结合 对数函数的图像与性质 能熟练画出不同底数的对数函数图像，准确说出其定义域、值域、单调性和过定点(1,0)的特征，能利用性质比较对数式大小 命题趋势：常与指数函数、幂函数结合考查单调性和最值，或与不等式综合 易错点：混淆时的单调性，求定义域时忽略真数大于 0 的要求 指/对数函数的实际应用 能将实际问题转化为指/对数函数模型，能根据模型求解相关实际问题 高频考点，多在填空题压轴或大题中出现 知识点01 指数与指数运算 (1)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (2)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． ·示例：下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 知识点01 指数函数图像与性质 （1）指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量．底数：大于零且不等于1的常数；指数：仅有自变量；系数：的系数是1. （2）指数函数图像与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 解题技巧： (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． ·示例：已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．8 B．24 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为函数图象恒过定点 又点A的坐标满足关于，的方程， 所以， 即 所以， 当且仅当即时取等号； 所以的最小值为4． 故选：C． 知识点03 对数与对数运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； ·示例：=____________ ； 【答案】 【解析】原式 ． 故答案为：. 知识点04 对数函数图像与性质 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． (2)对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 性质拓展： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) ·示例：已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________. 【答案】 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以当时，， 所以， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 知识点05 指对幂比较大小 （1）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （2）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 ·示例：已知，，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数在上递增可得，； 根据对数函数在上递增可得，， 根据指数函数在上递减和值域可得，， ∴． 故选：D 知识点06 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 （1）三种函数的增长趋势 指数函数：当时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。增长速度先慢后快。 对数函数：当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。增长速度先快后慢 幂函数：当时，幂函数是增函数，并且当越大，其函数值的增长就越快。增长速度随着值的不同而不同。 （2）三种函数的的衰减比较 指数函数：当时，指数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 对数函数：当时，对数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 幂函数：当时，幂函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 题型一 指对数的混合运算 解｜题｜技｜巧 第一步：统一底数或真数，搭建运算桥梁 （1）先观察指数和对数的底数，优先将不同底数转化为同一底数的幂或对数。 （2）对真数进行因数分解，将其转化为底数的幂的形式。 （3）活用指对数互逆关系，快速消去冗余结构，为下一步化简铺路。 第二步：分步运算化简，遵循运算法则 （1）先处理对数部分：严格遵循的运算法则，合并或拆分对数式，算出具体数值。 （2）再计算指数部分：运用的法则，结合对数运算结果进行指数计算。 （3）最后合并常数项，得到最简结果。 易｜错｜点｜拨 真数分解不彻底或过度分解、对数运算法则 “张冠李戴”等。 【典例1】已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案. 【详解】设，则且， ∴，，， 显然，则，，， 由得，即， 等式两边同除以得，， 其中， 故，. 故选：C． 【变式1】(24-25高三下·重庆第八中学校·)已知，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由，知；由，知，代入可求结果；或由，得，所以，代入可求得结果. 【详解】由，知； 由，知. 所以. 方法二：由，知，所以. 所以. 故选：A. 【变式2】(25-26高三上·吉林长春东北师范大学附属中学·)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 【变式3】(25-26高三上·安徽阜阳临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据基本不等式、对数的运算公式与换底公式即可求得. 【详解】因为正数a，b满足，所以（*）， 当且仅当时，即，时等号成立. 由（*）可得. 又， 当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为1. 故选：D. 【变式4】(24-25高一上·重庆第十八中学·月考)已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，由条件，以及指数与对数的转换关系，可求出，，由换底公式可得，从而计算的值. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以 . 故选：D. 题型二 指数型复合函数定义域值域或单调区间 答｜题｜模｜板 1.确定定义域：定义域是函数研究的前提，需遵循 “外层函数定义域包含内层函数值域” 原则。 （1）先明确内层函数\(f(x)\)的定义域限制；（2）直接将内层函数的定义域作为复合函数的定义域 —— 因指数函数，无需额外增加限制。 2.求解值域：值域需通过 “内层→外层” 分步推导： （1）先求内层函数的单调性、定义域得出；（2）分析外层指数函数的单调性：若上递增，复合函数值域为；若。 3.分析单调区间：复合函数单调性由 “内层函” 共同决定： （1）先求内层；（2）结合外层单调性判断：若，复合函数的递增区间（同增）；若，复合函数的递增区间（异减）。 易｜错｜点｜拨 定义域求解遗漏内层限制、值域推导忽略外层单调性、单调区间判断违背 “同增异减”、忽视定义域对单调区间的约束。 【典例1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定的定义域，根据复合函数单调性的求法可求得结果. 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 【变式1】(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式2】(25-26高一上·江苏镇江·期中)已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 【变式3】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式4】(23-24高一上·江苏镇江镇江一中·月考)设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为在上的值域为，然后结合的图象分析出所满足的不等关系，由此求解出结果. 【详解】因为在上的值域为， 将问题转化为在上的值域为， 且开口向上对称轴为，，如下图所示： 由图象可知：，解得， 故选：B. 题型三 对数型复合函数定义域值域或单调区间 答｜题｜模｜板 1.确定定义域：对数型复合函数定义域的关键是外层对数真数大于 0，遵循 “内层函数值域满足外层定义域” 原则：（1）明确外层对数函数要求：真数（核心约束）；（2）结合内层函数的自身限制，联立不等式求解；（3）解集即为复合函数的定义域。 2.求解值域：值域仍按 “内层→外层” 分步：（1）先根据复合函数定义域，求内层函数的值域U；（2）分析外层对数函数的单调性：若递增，复合函数值域为；若，外层递减，值域为。 3.分析单调区间，遵循 “同增异减”：复合函数单调性由内外层共同决定，核心是先保证定义域有效：（1）求内层函数在复合函数定义域内的递增区间的部分）；（2）结合外层单调性判断：若，复合函数递增区间，递减区间（同增）；若复合函数递增区间=B，递减区间=A（异减）。 易｜错｜点｜拨 定义域遗漏真数 > 0 约束、值域推导忽视内层正值范围、单调区间未结合定义域截取、混淆外层单调性判断。 【典例1】(25-26高一上·广东惠州惠阳区·)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可. 【详解】令，得或， 设，或，， 则函数，或，在上单调递减，在上单调递增， 又为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 【变式1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 【变式2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可. 【详解】由，则， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式3】已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的真数部分大于零、被开方数不小于零、分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 又，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 【变式4】已知，设：函数在上单调递减；：函数的值域为，如果和只有一个是对的，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由题意得，函数在上单调递减，则；函数的值域为，则且，解得，因为和只有一个是对的，①若真假时，则且，所以；②若假真时，则且，所以不存在这样的实数，故选A． 考点：复合命题的真假判定及应用． 【方法点晴】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中指数函数和对数函数的图象与性质，以及复合命题的真假的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解命题，在根据真假和假真分类讨论是解答的关键，试题比较有一定的难度，属于中档试题． 题型四 指数（型）函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 易｜错｜点｜拨 忽视底数范围对单调性的影响、混淆 “恒成立” 与 “存在性” 的最值逻辑、遗漏定义域限制等。 【典例1】(24-25高三下·江西新八校·)已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 【变式1】(25-26高一上·重庆南开中学校·)已知实数，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立转化为恒成立，由于底数不确定分其和两种情况分类讨论，再利用恒成立求出的取值范围. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 可得当时，恒成立； 当时，在单调递减，在单调递减， 上单调递增， 当时，恒成立，则，即； 当时，在单调递增，在单调递减， 上单调递增， 当时，恒成立，则，即； 综上所述，或； 故选：A 【变式2】设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． 【变式3】(23-24高一上·黑龙江大庆实验中学实验一部·期中)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 【变式4】(23-24高一上·河北石家庄精英中学·)若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数的单调性化简，转化为一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到结果. 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，即， 解得，所以实数a的取值范围是. 故选：B 题型五 对数（型）函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 （1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； （2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. （3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用单调性探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 易｜错｜点｜拨 遗漏真数恒正约束、忽视底数单调性对不等号的影响、参数讨论不全面。 【典例1】已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】探讨给定函数的性质，把恒成立的不等式转化为，再借助函数性质求出范围. 【详解】函数定义域为，其图象对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，对于，， 依题意，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式1】(25-26高一上·广东广州真光中学·)已知，函数，若恒成立，则（      ） A．的最小值为8； B．的最小值为2； C．的最小值为； D．的最小值为. 【答案】C 【分析】先根据函数、的单调性知其零点相等得出，利用基本不等式判断A；根据判断B；根据结合基本不等式判断C；化简，结合A选项判断D. 【详解】因为单调递增，单调递增，且恒成立， 所以与零点相等， 令可得；令可得， 所以​， 对于A选项：因，则，即， 故，所以，当且仅当，即取等号，所以A错误； 对于B选项：由可知，易知，， 所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C选项：因，故， 所以，故， 当且仅当，即取等号，所以C正确； 对于D选项：由可知，， 由，所以， 故当且仅当时取最小值，所以D错误. 故选：C. 【变式2】(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据指数对数转化减少未知量得出，再根据函数的单调性得出不等关系即可求出最值. 【详解】令，，，， ， 单调递减，且， 当时，，，t的最大值为4. 故选：B. 【变式3】(24-25高一上·河北张家口·期末)已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求得为偶函数，再结合复合函数的单调性可求得复合函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而对于不等式恒成立，可得得，即，从而对分情况讨论即可求解. 【详解】由题意可知函数，所以函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 对于函数，当时，，可得其在区间上单调递增， 又因为为增函数，由复合函数定义及偶函数的性质可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，则得，即， 当时，成立， 当时，由，可得， 因为，当且仅当，即，即时取等号， 所以，得，故A正确. 故选：A. 【变式4】(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解. 【详解】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解. 题型六 指数（型）函数单调性/奇偶性/不等式综合 答｜题｜模｜板 （1）对指数型函数，先判奇偶性；再按 “同增异减” 析单调性：时复合函数与单调性一致，1时相反，明确单调区间。 （2）利用奇偶性消去负自变量；依托单调性去指数外壳：，1时不等号反转；结合定义域形成标准不等式。 （3）解标准不等式（用配方法、数形结合等），结合的值域特性剔除无效解，交叉验证性质应用准确性，整合得解集。 易｜错｜点｜拨 误判复合函数奇偶性、单调性转化时未按的范围反转不等号、忽略，求解无意义不等式、奇偶性与单调性交叉应用时，遗漏对称区间解。 【典例1】定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 【变式1】(24-25高一下·四川德阳·期末)若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 【变式2】(24-25高一上·河北新乐第一中学·月考)已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性求出，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数， 则，即②， 由①②可得， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， 由，可得，解得. 因此，不等式的解集是. 故选：A. 【变式3】(24-25高一上·山东青岛第二中学·)已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数奇偶性定义求出，代入求，然后利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数， 所以， 所以， 则函数， 因为，所以， 所以， 令， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值，即， 故选：B. 【变式4】(24-25高一下·山西晋城部分学校·期中)已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 题型七 对数（型）函数单调性/奇偶性/不等式综合 答｜题｜模｜板 （1）对对数型函数，先判奇偶性，同时确保；再按 “同增异减” 析单调性：时复合函数与单调性一致，时相反，明确定义域内的单调区间。 （2）利用奇偶性消去负自变量；依托单调性去对数外壳：等价于，；结合定义域形成标准不等式组。 （3）解标准不等式组（用因式分解、数形结合等），始终紧扣的真数约束，剔除无效解，验证性质应用准确性，整合得解集。 易｜错｜点｜拨 遗漏真数的核心约束，导致解无效、误判复合函数奇偶性，忽视由内层决定、奇偶性应用时，遗漏对称区间的真数正约束。 【典例1】(25-26高三上·山东·)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把不等式转化为，得到，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为为偶函数，可得， 所以原不等式即为，即， 又因为在区间上单调递减且为偶函数，可得， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为 . 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时， . 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4 个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下：    要使有两个不同于和的两根，则或且. 故选：D 【变式2】(23-24高三上·北京十一学校·)已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 （   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】首先利用奇函数和偶函数的性质分别求出与的值，然后再代入到中进行计算. 【详解】已知函数的图象关于原点对称，所以是奇函数. 因为的定义域为，那么. 将代入可得：. 由，即，解得. 因为是偶函数，所以. ，. 则. 对进行变形：. 所以. 移项可得：，对于任意都成立，所以，解得. 将，代入.则. 根据对数运算法则，. 所以. 故的值为. 故选：A. 【变式3】(24-25高三上·北京交通大学附属中学·)已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式4】(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【详解】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 题型八 指对幂比较大小 答｜题｜模｜板 （1）观察待比较的指、对、幂式，优先转化为同一类型（同指数、同底数或同真数）：1. 指数与幂式可统一底数；2. 对数式用换底公式统一底数，或转化为指数式；3. 无法直接统一时，引入 “中间量”（常用 0、1、等特殊值）搭建比较桥梁。 （2）根据统一后的形式选对应方法：1. 同底数用单调性：指数 / 对数函数底数时递增，时递减；2. 不同底数同指数用幂函数单调性；3. 跨类型用中间量，直接判定大小。 易｜错｜点｜拨 忽视中间量选择合理性，如用 2 比较接近 1 的两个数，导致无法区分、混淆函数单调性，如时对数函数递减，误按递增比较、跨类型比较未验证值域，如误将负数与正数直接用单调性比较、换底公式应用错误，或统一底数时计算失误。 【典例1】(19-20高一上·天津南开区·期末)设，，，则、、的大小顺序是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】对数函数在上为减函数，则； 指数函数为减函数，则，即； 指数函数为增函数，则. 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题. 【变式1】(22-23高一上·江苏南通海安高级中学·期中)已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选: B. 【变式2】(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)已知函数，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式判断出在R上单调递增，并利用单调性和中间值得到，故. 【详解】在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，则， 所以，即. 故选：C 【变式3】(22-23高一上·河北唐山第一中学·月考)设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 【变式4】(20-21高二下·江西南昌第十中学·月考)三个数，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系. 【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以. 故选：D 题型九 指对（型）函数模型运用 答｜题｜模｜板 （1）根据题意确定模型类型：增长问题优先选指数型或对数型（）。提取关键条件（如初始值、定点坐标），代入模型列方程（组），求解参数，确定函数解析式，同时标注定义域。 （2）根据问题目标（如求某时刻值、最值、零点），结合指对函数性质运算：1. 求具体值直接代入解析式，用指对数运算法则化简；2. 求最值 / 范围利用函数单调性（指数型单调递增 / 递减，对数型单调单一）；3. 解不等式按指对数单调性转化，注意定义域约束。 （3）检验结果是否符合实际场景：1. 数值需为正（如产量、浓度）；2. 范围需匹配题干条件（如时间不小于 0）；3. 若模型与实际偏差大，重新核对参数求解过程，确保建模准确。 易｜错｜点｜拨 模型类型选错、参数求解忽略初始条件、运算时忽视定义域、结果未结合实际取整 / 修正。 【典例1】(24-25高一上·湖北·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式1】(23-24高一上·浙江宁波九校·期末)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 【变式2】(25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，，故至少是4. 故选：A 【变式3】(22-23高一上·四川眉山眉山冠城七中实验学校·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 【变式4】中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可. 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为： . 故选：B. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·重庆第一中学校·期中)已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算即可求得结果. 【详解】∵，∴，∴ . 故选：B. 2．(25-26高三上·山东济宁嘉祥县第一中学·月考)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解指数型不等式得出集合，再进行集合间运算即可. 【详解】由可解得，故， 所以. 故选：B. 3．已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在R上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是 故选：B 4．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 5．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(25-26高三上·广东江门广东实验中学附属江门学校·月考)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方差公式及分母有理化求解. 【详解】 . 故选：C. 2．(25-26高一上·重庆育才中学校·期中)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】由定义域的概念可得， 解得，且， 所以定义域为， 故选：C 3．函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，分，和，三种情况讨论，结合指数函数的单调性判断正负，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 当时，可得，，则，即； 当时，，，则，即； 当时，，，则，即， 综上可得，. 故选：C. 4．(25-26高一上·湖北沙中学·月考)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 5．(22-23高一上·山东德州·期末)已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(25-26高一上·安徽合肥肥东尚真中学·期中)对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 2．(25-26高一上·山东淄博实验中学、齐盛高级中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意只需，解出的范围即可求解. 【详解】由题意， 故函数的定义域为. 故选：A. 3．(25-26高一上·上海风华中学·期中)关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①：根据分式的意义求定义域即可；对于②：根据基本不等式可得，进而分析定点；对于③：根据对勾函数单调性以及复合函数单调性分析判断；对于④：根据题意结合对数函数单调性求最值即可. 【详解】因为， 对于①：显然，所以函数的定义域为，故①错误； 对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 由于只有时，的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误； 对于③：当，，则， 因为在内单调递减，且在定义域内单调递减， 所以函数在区间上是严格增函数，故③正确； 对于④：因为，当且仅当时，等号成立， 若，则在定义域内单调递增， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为2. 故选：B. 4．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的对称性与列出方程组，解出，再利用函数的对称性与奇偶性求解即可. 【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，，. ，即. ∵，∴， 又∵， ∴，即， 由 ，解得，， ∵，且为偶函数， ∴. 故选：D. 5．(25-26高一上·天津滨海新区油田实验中学·)下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．函数与是同一个函数 C．函数的单调递增区间是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】C 【分析】根据指数函数的定点可判断A；根据函数三要素及同一函数的条件可判断；根据指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；根据抽象函数的定义域可判断D. 【详解】对于A：令，可得，， 所以函数 且的图像过定点，故A错误； 对于B：，解得，所以的定义域为， ，解得或，所以的定义域为， 与不是同一个函数，故B错误； 对于C：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知 的单调递增区间为，故C正确； 对于D：因为函数的定义域为，所以，， 所以的定义域为，故D错误. 故选：C 3 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指/对数运算与指/对数函数的图像与性质 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 指数幂的运算 能熟练完成根式与分数指数幂的互化，准确运用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）进行化简求值 基础考点，多在选择、填空前半部分考查 易错点：分数指数幂的分母对应根指数、分子对应幂指数混淆，负指数幂转化时遗漏倒数关系 对数式、指数式互化与对数的运算法则 能熟练运用对数运算法则进行对数式的化简、求值，能区分对数运算法则与指数运算法则的差异 高频考点，选择、填空、大题均有涉及 易错点：误用运算法则，换底公式应用不熟练 指数函数的概念与解析式 能准确判断一个函数是否为指数函数，能根据已知条件用待定系数法求指数函数解析式 易错点：忽略指数函数定义，误把含常数项的函数当作指数函数 对数函数的概念与解析式 能准确判断一个函数是否为对数函数，能根据已知条件用待定系数法求对数函数解析式 易错点：混淆对数函数与对数型函数（如含常数项、真数为多项式的函数），忽略底数的取值范围 指数函数的图像与性质 能熟练画出不同底数的指数函数图像，准确说出其定义域、值域、单调性和过定点(0,1)的特征，能利用性质比较指数式大小 高频考点，选择、填空、大题均会涉及 命题趋势：常结合函数单调性、奇偶性综合考查，或与不等式结合 对数函数的图像与性质 能熟练画出不同底数的对数函数图像，准确说出其定义域、值域、单调性和过定点(1,0)的特征，能利用性质比较对数式大小 命题趋势：常与指数函数、幂函数结合考查单调性和最值，或与不等式综合 易错点：混淆时的单调性，求定义域时忽略真数大于 0 的要求 指/对数函数的实际应用 能将实际问题转化为指/对数函数模型，能根据模型求解相关实际问题 高频考点，多在填空题压轴或大题中出现 知识点01 指数与指数运算 (1)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (2)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． ·示例：下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 知识点01 指数函数图像与性质 （1）指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量．底数：大于零且不等于1的常数；指数：仅有自变量；系数：的系数是1. （2）指数函数图像与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 解题技巧： (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． ·示例：已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．8 B．24 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为函数图象恒过定点 又点A的坐标满足关于，的方程， 所以， 即 所以， 当且仅当即时取等号； 所以的最小值为4． 故选：C． 知识点03 对数与对数运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； ·示例：=____________ ； 【答案】 【解析】原式 ． 故答案为：. 知识点04 对数函数图像与性质 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． (2)对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 性质拓展： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) ·示例：已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________. 【答案】 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以当时，， 所以， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 知识点05 指对幂比较大小 （1）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （2）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 ·示例：已知，，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数在上递增可得，； 根据对数函数在上递增可得，， 根据指数函数在上递减和值域可得，， ∴． 故选：D 知识点06 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 （1）三种函数的增长趋势 指数函数：当时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。增长速度先慢后快。 对数函数：当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。增长速度先快后慢 幂函数：当时，幂函数是增函数，并且当越大，其函数值的增长就越快。增长速度随着值的不同而不同。 （2）三种函数的的衰减比较 指数函数：当时，指数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 对数函数：当时，对数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 幂函数：当时，幂函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 题型一 指对数的混合运算 解｜题｜技｜巧 第一步：统一底数或真数，搭建运算桥梁 （1）先观察指数和对数的底数，优先将不同底数转化为同一底数的幂或对数。 （2）对真数进行因数分解，将其转化为底数的幂的形式。 （3）活用指对数互逆关系，快速消去冗余结构，为下一步化简铺路。 第二步：分步运算化简，遵循运算法则 （1）先处理对数部分：严格遵循的运算法则，合并或拆分对数式，算出具体数值。 （2）再计算指数部分：运用的法则，结合对数运算结果进行指数计算。 （3）最后合并常数项，得到最简结果。 易｜错｜点｜拨 真数分解不彻底或过度分解、对数运算法则 “张冠李戴”等。 【典例1】已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】(24-25高三下·重庆第八中学校·)已知，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式2】(25-26高三上·吉林长春东北师范大学附属中学·)若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·安徽阜阳临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4】(24-25高一上·重庆第十八中学·月考)已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 题型二 指数型复合函数定义域值域或单调区间 答｜题｜模｜板 1.确定定义域：定义域是函数研究的前提，需遵循 “外层函数定义域包含内层函数值域” 原则。 （1）先明确内层函数\(f(x)\)的定义域限制；（2）直接将内层函数的定义域作为复合函数的定义域 —— 因指数函数，无需额外增加限制。 2.求解值域：值域需通过 “内层→外层” 分步推导： （1）先求内层函数的单调性、定义域得出；（2）分析外层指数函数的单调性：若上递增，复合函数值域为；若。 3.分析单调区间：复合函数单调性由 “内层函” 共同决定： （1）先求内层；（2）结合外层单调性判断：若，复合函数的递增区间（同增）；若，复合函数的递增区间（异减）。 易｜错｜点｜拨 定义域求解遗漏内层限制、值域推导忽略外层单调性、单调区间判断违背 “同增异减”、忽视定义域对单调区间的约束。 【典例1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·江苏镇江·期中)已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一上·江苏镇江镇江一中·月考)设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 对数型复合函数定义域值域或单调区间 答｜题｜模｜板 1.确定定义域：对数型复合函数定义域的关键是外层对数真数大于 0，遵循 “内层函数值域满足外层定义域” 原则：（1）明确外层对数函数要求：真数（核心约束）；（2）结合内层函数的自身限制，联立不等式求解；（3）解集即为复合函数的定义域。 2.求解值域：值域仍按 “内层→外层” 分步：（1）先根据复合函数定义域，求内层函数的值域U；（2）分析外层对数函数的单调性：若递增，复合函数值域为；若，外层递减，值域为。 3.分析单调区间，遵循 “同增异减”：复合函数单调性由内外层共同决定，核心是先保证定义域有效：（1）求内层函数在复合函数定义域内的递增区间的部分）；（2）结合外层单调性判断：若，复合函数递增区间，递减区间（同增）；若复合函数递增区间=B，递减区间=A（异减）。 易｜错｜点｜拨 定义域遗漏真数 > 0 约束、值域推导忽视内层正值范围、单调区间未结合定义域截取、混淆外层单调性判断。 【典例1】(25-26高一上·广东惠州惠阳区·)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，设：函数在上单调递减；：函数的值域为，如果和只有一个是对的，则的取值范围是 A． B． C． D． 题型四 指数（型）函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 易｜错｜点｜拨 忽视底数范围对单调性的影响、混淆 “恒成立” 与 “存在性” 的最值逻辑、遗漏定义域限制等。 【典例1】(24-25高三下·江西新八校·)已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·重庆南开中学校·)已知实数，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一上·黑龙江大庆实验中学实验一部·期中)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一上·河北石家庄精英中学·)若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 对数（型）函数恒成立问题 答｜题｜模｜板 （1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； （2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. （3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用单调性探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 易｜错｜点｜拨 遗漏真数恒正约束、忽视底数单调性对不等号的影响、参数讨论不全面。 【典例1】已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·广东广州真光中学·)已知，函数，若恒成立，则（      ） A．的最小值为8； B．的最小值为2； C．的最小值为； D．的最小值为. 【变式2】(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式3】(24-25高一上·河北张家口·期末)已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 指数（型）函数单调性/奇偶性/不等式综合 答｜题｜模｜板 （1）对指数型函数，先判奇偶性；再按 “同增异减” 析单调性：时复合函数与单调性一致，1时相反，明确单调区间。 （2）利用奇偶性消去负自变量；依托单调性去指数外壳：，1时不等号反转；结合定义域形成标准不等式。 （3）解标准不等式（用配方法、数形结合等），结合的值域特性剔除无效解，交叉验证性质应用准确性，整合得解集。 易｜错｜点｜拨 误判复合函数奇偶性、单调性转化时未按的范围反转不等号、忽略，求解无意义不等式、奇偶性与单调性交叉应用时，遗漏对称区间解。 【典例1】定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式1】(24-25高一下·四川德阳·期末)若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·河北新乐第一中学·月考)已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·山东青岛第二中学·)已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·山西晋城部分学校·期中)已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型七 对数（型）函数单调性/奇偶性/不等式综合 答｜题｜模｜板 （1）对对数型函数，先判奇偶性，同时确保；再按 “同增异减” 析单调性：时复合函数与单调性一致，时相反，明确定义域内的单调区间。 （2）利用奇偶性消去负自变量；依托单调性去对数外壳：等价于，；结合定义域形成标准不等式组。 （3）解标准不等式组（用因式分解、数形结合等），始终紧扣的真数约束，剔除无效解，验证性质应用准确性，整合得解集。 易｜错｜点｜拨 遗漏真数的核心约束，导致解无效、误判复合函数奇偶性，忽视由内层决定、奇偶性应用时，遗漏对称区间的真数正约束。 【典例1】(25-26高三上·山东·)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高三上·北京十一学校·)已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 （   ） A． B．2 C． D．0 【变式3】(24-25高三上·北京交通大学附属中学·)已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型八 指对幂比较大小 答｜题｜模｜板 （1）观察待比较的指、对、幂式，优先转化为同一类型（同指数、同底数或同真数）：1. 指数与幂式可统一底数；2. 对数式用换底公式统一底数，或转化为指数式；3. 无法直接统一时，引入 “中间量”（常用 0、1、等特殊值）搭建比较桥梁。 （2）根据统一后的形式选对应方法：1. 同底数用单调性：指数 / 对数函数底数时递增，时递减；2. 不同底数同指数用幂函数单调性；3. 跨类型用中间量，直接判定大小。 易｜错｜点｜拨 忽视中间量选择合理性，如用 2 比较接近 1 的两个数，导致无法区分、混淆函数单调性，如时对数函数递减，误按递增比较、跨类型比较未验证值域，如误将负数与正数直接用单调性比较、换底公式应用错误，或统一底数时计算失误。 【典例1】(19-20高一上·天津南开区·期末)设，，，则、、的大小顺序是 A． B． C． D． 【变式1】(22-23高一上·江苏南通海安高级中学·期中)已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)已知函数，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式3】(22-23高一上·河北唐山第一中学·月考)设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(20-21高二下·江西南昌第十中学·月考)三个数，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型九 指对（型）函数模型运用 答｜题｜模｜板 （1）根据题意确定模型类型：增长问题优先选指数型或对数型（）。提取关键条件（如初始值、定点坐标），代入模型列方程（组），求解参数，确定函数解析式，同时标注定义域。 （2）根据问题目标（如求某时刻值、最值、零点），结合指对函数性质运算：1. 求具体值直接代入解析式，用指对数运算法则化简；2. 求最值 / 范围利用函数单调性（指数型单调递增 / 递减，对数型单调单一）；3. 解不等式按指对数单调性转化，注意定义域约束。 （3）检验结果是否符合实际场景：1. 数值需为正（如产量、浓度）；2. 范围需匹配题干条件（如时间不小于 0）；3. 若模型与实际偏差大，重新核对参数求解过程，确保建模准确。 易｜错｜点｜拨 模型类型选错、参数求解忽略初始条件、运算时忽视定义域、结果未结合实际取整 / 修正。 【典例1】(24-25高一上·湖北·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24高一上·浙江宁波九校·期末)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式2】(25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】(22-23高一上·四川眉山眉山冠城七中实验学校·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式4】中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·重庆第一中学校·期中)已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·山东济宁嘉祥县第一中学·月考)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(25-26高三上·广东江门广东实验中学附属江门学校·月考)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·重庆育才中学校·期中)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·湖北沙中学·月考)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．(22-23高一上·山东德州·期末)已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(25-26高一上·安徽合肥肥东尚真中学·期中)对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·山东淄博实验中学、齐盛高级中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·上海风华中学·期中)关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 5．(25-26高一上·天津滨海新区油田实验中学·)下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．函数与是同一个函数 C．函数的单调递增区间是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $