05 函数的性质之单调性 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习

专题05 函数的性质 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 求函数的单调区间 方法点拨： 1.复合函数（同增异减法则） 形式：y=f(g(x))，其中 u=g(x)为内层函数，y=f(u) 为外层函数。 步骤： 求定义域（内层函数值域需满足外层函数定义域）； 分别判断内外层函数的单调性； 根据“同增异减”（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）确定单调区间。 2.分段函数（分段判断，端点衔接） 步骤： 分别求各段函数的单调区间； 检查分段点处函数值的衔接（若两段在分界点处单调性一致且函数连续，可合并区间）。 例题解析： 例1.若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例2.函数的单调递减区间为 . 例3.（25-26高一上·四川泸州·期中）定义．设函数，则的单调递增区间为 ． 例4.（11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ． 例5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 例6.写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 变式突破： 1.函数的单调递增区间是 . 2．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．    3.（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·四川绵阳·月考）定义.设函数，则的单调递增区间为 . 5.（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的单调递增区间是 . 6.写出同时满足下列两个条件的一个函数 ． ①函数的单调递减区间为； ②函数的值域为． 题型二 根据单调性求参数 方法点拨： 1.函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间，如果取区间中的任意两个值,当 时，都有，那么就称函数在区间上是增函数. 2.常用变形 设那么在上是增函数；在上是减函数. 例题解析： 例1.已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 例2.（25-26高三上·黑龙江·期中）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4.（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5.（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1. 若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______. 2.（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为 . 4.若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.函数在上单调递增，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型三 根据单调性解不等式 方法点拨： 已知函数单调性解不等式 确定定义域：写出 f(x) 的定义域 利用单调性去f：根据函数增减性，将 f(A)>f(B)转化为 A>B或 A<B； 解不等式组：联立定义域条件和转化后的不等式，取交集。 例题解析： 例1.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3.（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 例4.（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 例5.（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6.已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·重庆·月考）已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·福建泉州·月考）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 . 4.（25-26高一上·贵州·期中）若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 ． 5.（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 题型四 根据单调性比较大小 方法点拨： “定区间，比大小，奇偶性化负为正” 定区间：确认自变量是否在同一单调区间内； 比大小：比较自变量大小，结合单调性得函数值关系； 奇偶性化负为正：遇到负数自变量，先用奇偶性转化； 例题解析： 例1.（25-26高二上·广西南宁·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·新疆·期末）若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例4.（25-26高三上·安徽·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·浙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江苏泰州·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数，记，，，则（　　） A． B． C． D． 易错点 定义域优先意识薄弱，忽略自变量取值范围 核心问题：解不等式 f(x+1)>f(2x)时，直接用单调性转化为 x+1>2x，忘记先求 f(x) 的定义域（如对数函数需真数>0，分式函数分母≠0） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的性质 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 求函数的单调区间 方法点拨： 1.复合函数（同增异减法则） 形式：y=f(g(x))，其中 u=g(x)为内层函数，y=f(u) 为外层函数。 步骤： 求定义域（内层函数值域需满足外层函数定义域）； 分别判断内外层函数的单调性； 根据“同增异减”（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）确定单调区间。 2.分段函数（分段判断，端点衔接） 步骤： 分别求各段函数的单调区间； 检查分段点处函数值的衔接（若两段在分界点处单调性一致且函数连续，可合并区间）。 例题解析： 例1.若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 例2.函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】由反比例函数的性质可求得的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， 函数的在和上均为单调递减函数， 所认函数的单调递减区间为和. 故答案为：和. 例3.（25-26高一上·四川泸州·期中）定义．设函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】和 【分析】先由函数新定义和不等式解出分段函数的表达式，再求出单调递增区间即可. 【详解】当即时，解得， 所以， 因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为， 一次函数在定义域上为递增函数， 综上，的单调递增区间为. 故答案为：和. 例4.（11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可求原函数的单调递增区间． 【详解】由，得或，所以函数的定义域为， 令，则，因为在上单调递减， 且在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 例5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 例6.写出一个同时满足下列3个性质的函数 ． ①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小值为2． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的函数性质，结合二次函数的相关性质写出一个符合要求的函数解析式即可. 【详解】考虑为偶函数的二次函数，设，， 因为在上单调递增，则，故，解得， 所以时满足题意，取，则. 故答案为：（答案不唯一） 变式突破： 1.函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 2．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．    【答案】 和 【分析】根据给定的函数图象确定单调区间即可. 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 故答案为：和， 3.（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 4.（25-26高一上·四川绵阳·月考）定义.设函数，则的单调递增区间为 . 【答案】，（注：和0处，区间端点可开可闭） 【分析】首先将函数写成分段函数的形式，再判断函数的单调区间. 【详解】当，即，得， 所以，得或，所以， 显然，在区间，函数单调递增，在区间，函数单调递增， 在区间，函数单调递增，且在处函数连续， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：，（注：和0处，区间端点可开可闭） 5.（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 6.写出同时满足下列两个条件的一个函数 ． ①函数的单调递减区间为； ②函数的值域为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质结合题意分析求解即可 【详解】由①可考虑函数是对称轴为直线的二次函数，且二次项系数小于0， 由②可考虑，即 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 根据单调性求参数 方法点拨： 1.函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间，如果取区间中的任意两个值,当 时，都有，那么就称函数在区间上是增函数. 2.常用变形 设那么在上是增函数；在上是减函数. 例题解析： 例1.已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 . 故选：D 例2.（25-26高三上·黑龙江·期中）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 例3.（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数单调性的判定方法，结合二次函数、指数函数和对数函数的单调性，列不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且当时，， 所以在上单调递增，所以对称轴，即； 当时，，所以函数在上单调递增. 若函数在上单调递增，则，即. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 例4.（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 例5.（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 变式突破： 1. 若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______. 【详解】函数的对称轴为，又函数在上是减函数，所以，故答案为：． 2.（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每段上函数均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：B 3.（2025高一·湖南·专题练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 4.若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复合函数的单调性问题，注意对数函数定义域. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增， 所以，解得 故答案为：C 5.函数在上单调递增，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域求得的取值范围. 【详解】由复合函数单调性遵循“同增异减”可知，因为在上单调递增，且在上单调递增， 故在上也单调递增，且在恒成立， 由此可得：，解得， 故选：A. 题型三 根据单调性解不等式 方法点拨： 已知函数单调性解不等式 确定定义域：写出 f(x) 的定义域 利用单调性去f：根据函数增减性，将 f(A)>f(B)转化为 A>B或 A<B； 解不等式组：联立定义域条件和转化后的不等式，取交集。 例题解析： 例1.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在定义域上是减函数， 所以，解得,所以. 故选：B. 例2.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，进而得，解不等式即得. 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得 因为在区间上单调递减， 所以，即 所以，解得：， 故的取值范围是. 故选：D. 例3.（25-26高三上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是奇函数求得，根据函数的单调性求解不等式. 【详解】∵函数是奇函数，，即， ，即，为上单调递增的函数， ，则，解得. 故选：A. 例4.（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，可得函数关于对称，再根据函数的单调性及列出不等式，解之即可. 【详解】因为为偶函数，所以函数关于对称， 又因为函数在上单调递增，且， 则不等式，等价于，解得， 所以的解集是. 故选：B. 例5.（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质得到、，结合奇函数在对称区间单调性一致，确定在上单调递减；再将不等式转化为，结合函数定义域与单调性列出关于的不等式组，求解得到的范围. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，且的图象关于原点对称， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 则在上单调递减，因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 故选：C 例6.已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在R上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是 故选：B 变式突破： 1.函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】因为是定义在上的增函数，由可得，解得. 故选：D. 2.（25-26高一上·重庆·月考）已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变为，构造函数，即可判断的单调性，结合函数单调性，即可得答案. 【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则， 由得，即， 结合得，即， 设，则该函数在上单调递增，且， 因为函数的定义域为，故由有意义可得， 所以不等式可变形为，即， 所以，解得， 即不等式的解集为， 故选：B 3.（25-26高一上·福建泉州·月考）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】可令，判断的单调性，并且可判断的图象关于点成中心对称，将问题转化为求解. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知， 可得，即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即， 由可得；所以， 利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 故答案为： 4.（25-26高一上·贵州·期中）若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式即可． 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 根据偶函数对称性可知，在上单调递减， 因为，则， 故时，，，； 所以不等式的解集为． 故答案为：． 5.（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得及，结合对应的解析式即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 题型四 根据单调性比较大小 方法点拨： “定区间，比大小，奇偶性化负为正” 定区间：确认自变量是否在同一单调区间内； 比大小：比较自变量大小，结合单调性得函数值关系； 奇偶性化负为正：遇到负数自变量，先用奇偶性转化； 例题解析： 例1.（25-26高二上·广西南宁·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对函数的单调性，考虑与的大小关系，即可判定. 【详解】 故选：B. 例2.（25-26高一上·新疆·期末）若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案. 【详解】由偶函数知：， 又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D. 例3.（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 例4.（25-26高三上·安徽·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数性质将各值转化到，利用单调性比较. 【详解】 因为是偶函数，所以，， 因为，在上单调递增， 所以，即. 故选：A. 变式突破： 1.（25-26高一上·浙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为是R上的单调递减函数， 所以； 因为是R上单调递增函数， 所以； 因为在上单调递增， 所以； 又因为， 即， 又因为， 综上，. 故选：A. 2.（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得出函数的对称轴为，再结合单调性得出函数在区间上单调递增，进而比较求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：C. 3.（25-26高一上·江苏泰州·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数单调性得出，利用单位圆得出，结合可判断. 【详解】，即， 因，则结合单位圆可知，即， ， 则. 故选：B 4.（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数，记，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小. 【详解】因为函数，定义域为，而且 所以为偶函数， 因为时，在上单调递增； ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 易错点 定义域优先意识薄弱，忽略自变量取值范围 核心问题：解不等式 f(x+1)>f(2x)时，直接用单调性转化为 x+1>2x，忘记先求 f(x) 的定义域（如对数函数需真数>0，分式函数分母≠0） 学科网（北京）股份有限公司 $