专题10 直线和圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题10 直线和圆 一、填空题 1．（2025·江西预赛）若圆与圆有唯一交点，则_____． 【答案】或10． 【详解】由题圆，圆，题设等价于圆的半径分别为或，所以或18，所以或10． 2．（2024·江苏预赛）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】依题意，设，其中． 则，联立． 于是 等号成立时．所以的最大值为． 3．（2024·四川预赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】如图所示，    得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为． 4．（2024·江西预赛）平面上同时和三直线相切的所有圆的半径的乘积为_____． 【答案】36 【详解】如图，为直角三角形，， 易知， 所以． 5．（2024·重庆预赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 ． 【答案】 【详解】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上， 因为联立两圆方程解得：， 圆与圆仅有唯一公共点， 因此对称点只能是．因为，， 由余弦定理可得：， 所以，因此． 6．（2023·江西预赛）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____． 【答案】 【详解】如图，，于是． 则，所以． 7．（2023·苏州预赛）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 【答案】 【详解】设直线的斜率为，则 ． 8．（2022·重庆预赛）已知圆和在第一象限内的公共点为，过点的直线分别交圆于两点（异于点），且，则直线的斜率为_____． 【答案】5 【详解】如图，分别为的中点，易知， 设， 则， 依题意，或． 结合图形，应舍去．所以直线的斜率为5． 9．（2022·浙江预赛）已知的顶点坐标，它的内切圆圆心为．设圆经过两点，且与圆交于两点，若过点所作两圆的切线垂直，则圆的半径为_____． 【答案】 【详解】如图，在上，设． 两圆方程相减，得． 联立，由射影定理得，于是．所以圆的半径为． 10．（2022·江西预赛）若一直线被另外两条直线与所截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线的方程为_____． 【答案】 【详解】设与的交点为，则有 所以直线的方程为． 11．（2022·甘肃预赛）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为_____． 【答案】 【详解】直线过圆心．设， 则， 代入得， 所以直线过定点． 一、填空题 1．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，圆(其中为实数)的一条直径为，其中，则的值为_____． 【答案】860 【详解】易知的圆心(即的中点)为的半径为，故圆的方程为，即． 所以． 2．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____． 【答案】 【详解】易知． 设圆的半径为，则，于是圆的面积为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直线和圆 一、填空题 1．（2025·江西预赛）若圆与圆有唯一交点，则_____． 2．（2024·江苏预赛）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____． 3．（2024·四川预赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 4．（2024·江西预赛）平面上同时和三直线相切的所有圆的半径的乘积为_____． 5．（2024·重庆预赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 ． 6．（2023·江西预赛）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____． 7．（2023·苏州预赛）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 8．（2022·重庆预赛）已知圆和在第一象限内的公共点为，过点的直线分别交圆于两点（异于点），且，则直线的斜率为_____． 9．（2022·浙江预赛）已知的顶点坐标，它的内切圆圆心为．设圆经过两点，且与圆交于两点，若过点所作两圆的切线垂直，则圆的半径为_____． 10．（2022·江西预赛）若一直线被另外两条直线与所截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线的方程为_____． 11．（2022·甘肃预赛）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为_____． 一、填空题 1．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，圆(其中为实数)的一条直径为，其中，则的值为_____． 2．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $