4.3.1等比数列的概念 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项及通项公式，通过回顾等差数列的定义、中项和通项公式搭建学习支架，引导学生从差的关系自然过渡到比的关系，构建新旧知识的逻辑脉络。 其亮点在于以“回顾-探究-互助-总结”为主线，通过小组互助中的例题变式（如判断等比数列、推导通项公式）培养学生的推理能力和探究意识，结合与等差数列的对比及函数联系发展抽象能力。学生能深化概念理解，教师可直接用于课堂互动和分层教学。

人教A版 选择性必修 第二册 4.3.1等比数列的概念 第四章 数列 1.等差数列的概念： 2.等差中项 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 3.等差数列的通项公式 an= a1＋(n－1)d. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . 知识回顾 2 1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列为等比数列； 2.掌握等比数列的通项公式,并能灵活运用公式进行相关计算； 3.掌握等比中项的定义并能解决相应问题. 学习目标 问题1：等比数列的概念。 问题2：等比中项。 问题3：等比数列的通项公式。 自学指导 阅读课本27--29页，完成以下问题： 思考 以上几个数列，它们有何共同特征？ 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ①; 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ②; 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 ③. 2.《庄子•天下》中提到: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2, 4, 8, 16, 32, 64, ‧‧‧. ⑤ 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥ 从第2项起，每一项与它的前一项的比是一个不为0的常数. 教师点拨 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示. 等比数列的符号语言： 小组互助 练习 已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值 范围是( ) A.a≠0 B.a≠1 C.a≠0或a≠1 D.a≠0,且a≠1 D 教师点拨 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab . 练习 已知1,a,4成等比数列,则a=(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.16 C 小组互助 1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. 课本P31 小组互助 例1(1)下列数列为等比数列的是(　　) A.2,22,222,… C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,… D.0,0,0,… B (2)如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意n∈N*,都有Sn= an-3.求证:{an}是等比数列. 若将已知条件改为“Sn=2n+a”,试判断{an}是不是等比数列. 小组互助 变式1 已知数列{an}满足lg an=3n+5,求证:{an}是等比数列. 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 ∴ a2= a1q， a3= a2q = a1q2， a4= a3q= a1q3， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). 又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立. 教师点拨 等比数列的通项公式 首项为a1, 公比为q的等比数列{an}的通项公式为 等差数列{an}的通项公式： 等比数列{an}的通项公式： 小组互助 练习 已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an=(　　) A.-6 B.-3×2n-1 C.-2×3n-1 D.3×(-2)n-1 D 思考 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系? 小组互助 例2 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 小组互助 例3 在等比数列{an}中, (1)若a1=3,q=-3,求an; (4)若a5-a1=15,a4-a2=6,求an. 小组互助 变式2 在等比数列{an}中, (1)若a2=4,a5=- ,求an; (2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 4 16 50 0.08 0.0032 课本P31 4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论. 课本P31 1.求满足下列条件的数: (1) 在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列; (2) 在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 课本P34 例4 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 小组互助 小组互助 变式3（1）已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数. （2）有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数. 例4 小组互助 思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列? 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列? 小组互助 等比数列与等差数列的区别与联系 区别与联系 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一 (1)强调每一项与前一项的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有时有两个值 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由a1,d或a1,q确定 联系 (1)若{an}为正项等比数列,则{logaan}为等差数列; (2)若{an}为等差数列,则{}为等比数列 1. 等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示. 等比数列的符号语言： 2. 等比中项　 3. 证明等比数列的方法　 定义法、中项公式法 课后反思 课后作业 完成课后训练P.11 数列{an}是等比数列若=· B.,… (2)若a2=,a6=8,求q; (3)若a1=,an=,q=,求项数n; 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．　 变式 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.求证：是等比数列． $