4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，通过高斯求和历史问题导入，结合等差数列性质回顾，引导学生用倒序求和法推导公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以历史情境激发数学好奇心，通过推导过程培养逻辑推理能力，公式多形式及性质应用强化模型观念。如高斯算法引入，倒序求和推导，小组互助练习。助力学生提升探究能力，教师可借助结构化资源优化教学。

人教A版 选择性必修 第二册 4.2.2等差数列的前n项和公式 第四章 数列 2．由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 d cd 2d pd＋qd′ 知识回顾 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程； 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用； 3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题. 学习目标 问题1：等差数列前n项和公式的推导。 问题2：等差数列前n项和公式。 自学指导 阅读课本18--20页，完成以下问题： 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 10岁的高斯用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at 高斯的算法: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 思考 你能用高斯的方法求1+2+ ‧‧‧ +100+101吗? 5151 思考 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 这种求和方法叫倒序求和法 把这种倒序求和的方法推广到求等差数列{an}的前n项和, 可得 ∴等差数列{an}的前n项和公式为 ∴等差数列{an}的前n项和公式还可写成 (1) (2) 教师点拨 等差数列的前n项和公式 练习 已知数列{an}为等差数列,首项a1=2,公差d=2,则其前n项 和Sn=　　　.  n2+n 小组互助 小组互助 例1 已知数列{an}是等差数列. 小组互助 A 变式1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=3,a6=8, 则S10的值为(　　) A.65 B.62 C.59 D.56 (2)在等差数列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则{an}的 前12项的和为(　　) A.6 B.18 C.-18 D.-6 C 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ? 课本P22 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 课本P23 例2 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 小组互助 小组互助 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 课本P23 教师点拨 小组互助 例3 已知数列{an}是等差数列, (1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d; (2)若a2+a5=19,S5=40,求a10; (3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值. 小组互助 变式3 已知等差数列{an}中, (2)若S12=84,S20=460,求an; (3)若S5=24,求a2+a4. 小组互助 小组互助 变式4 在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和. 巩固训练 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足 Sn= (an+1)2,求{an}的通项公式. 小组互助 (1) (2) 1．等差数列{an}的前n项和公式 2．等差数列{an}的前n项和的性质 课后反思 课后作业 完成课后训练P.8 数列 结论 {c＋an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为_______的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为________的等差数列(p，q为常数) 1. 若数列{an}是公差为d的等差数列，则具有以下性质： (1) an＝am＋(n－m)d，d＝(n≠m). (2) 若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(以上m, n, s, t, p∈N*). (1)若a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12; 例4已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. $