第五章 复数（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块上册》（高教版2023修订版）

编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的实部与虚部、复数的分类、复数相等的条件、复数的共轭与模 、复数的除法运算、复数的几何意义、复数的模及其性质、实系数一元二次方程的解法等常见考点。 第五章 复数 目录 考点一 复数的实部与虚部 1 考点二 复数的分类 2 考点三 复数相等的条件 3 考点四 复数的共轭与模 5 考点五 复数的除法运算 6 考点六 复数的几何意义 7 考点七 复数的模及其性质 8 考点八 实系数一元二次方程的解法 9 考点一 复数的实部与虚部 1. 复数 的实部和虚部分别是（ ） A. 实部为5，虚部为3 B. 实部为5，虚部为-3 C. 实部为-3，虚部为5 D. 实部为-3i，虚部为5 【答案】B 【分析】本题考查复数代数形式 (a, b ∈ R) 中实部 和虚部 的基本概念。注意虚部是一个实数，不包含虚数单位 。 【解析】 给定复数 可以写作 。根据定义： 实部 是 。 虚部 是 （这是一个实数）。 因此，正确答案是 B。 2. 以复数 的虚部为实部，以复数 的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查对“实部”和“虚部”概念的理解与应用。 【解析】 复数 的虚部是 。 复数 的实部是 。 题目要求构造一个新复数，其实部等于 的虚部，即 ；其虚部等于 的实部，即 。 因此，这个新复数是 。 因此，正确答案是 A。 3. 若复数 的虚部为0，则实数 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【分析】本题考查利用虚部为零的条件来建立方程求解参数。 【解析】 复数 的虚部是 。 由题意，虚部为0，即 。 解得 。 此时，实部为 ，所以 ，它确实是一个实数（也是纯虚数的一个特例，但在此题中满足“虚部为0”的条件）。 因此，正确答案是 B。 考点二 复数的分类 4. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查复数的分类标准。纯虚数是指实部为0且虚部不为0的虚数。 【解析】 A. ：可以看作 ，实部为7，虚部为0，是实数。 B. ：可以看作 ，实部和虚部都为0，是实数（也属于虚数，但不是纯虚数，因为纯虚数通常要求虚部非零）。 C. ：可以看作 ，实部为0，虚部为-2 ≠ 0，符合纯虚数的定义。 D. ：实部为1 ≠ 0，是虚数，但不是纯虚数。 因此，正确答案是 C。 5. 设复数 ，其中 。若 是纯虚数，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【分析】本题考查判断一个含参复数为纯虚数的条件：实部为0且虚部不为0。 【解析】 为纯虚数，需同时满足两个条件： 实部为0：，解得 ;虚部不为0：。 当 时，虚部 ，此时 ，这是一个实数，不是纯虚数。 当 时，虚部 ，此时 ，符合。 6. 给出下列四个命题： ① 两个复数不能比较大小； ② 若 是纯虚数，则 ； ③ 是虚数单位，； ④ 实数集是复数集的真子集。其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】本题综合考查复数的基本性质、分类和集合关系。 【解析】命题①：两个复数不能比较大小——这是正确的。虚数部分的存在阻碍了比较。 命题②：“若 是纯虚数，则 ”—— 纯虚数定义为 ()，其模 ，所以成立。真命题。 命题③：“”—— 这是虚数单位 的核心定义。真命题。 命题④：“实数集是复数集的真子集”—— 每一个实数 都可以表示为复数 ，而存在虚部不为零的复数（如 ），所以实数集是复数集的真子集。真命题。 考点三 复数相等的条件 7. 已知 是虚数单位，若两个复数 和 相等（其中 为实数），则 和 的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数相等的最基本条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等。 【解析】 已知 。 比较实部：左边的实部是 ，右边的实部是 ，所以 。 比较虚部：左边的虚部是 ，右边的虚部是 ，所以 。 因此，。 选项B、C、D中的数值组合均不符合上述结果。 所以，正确答案是 A。 8. 若 ，其中 ，则 和 的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查如何将一个复杂的复数方程，通过“实部与实部相等，虚部与虚部分别相等”转化为我们熟悉的二元一次方程组来求解。 【解析】 根据复数相等的条件，我们可以将原方程拆成两个实数方程： 因此，正确答案是 B。 9. 设 （ 为实数），若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的概念 ，以及利用复数运算后的结果建立等式，再根据复数相等的条件（此处结果是一个实数）求解。 【解析】 首先， 的共轭复数 。 计算 。 题目给出 ，即 。 所以 。 因此，正确答案是 A。 考点四 复数的共轭与模 10. 复数 的共轭复数 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的定义，即实部不变，虚部变号。 【解析】 根据定义，复数 的共轭复数是 。这里 ，所以其共轭复数为 。 B: 实部和虚部都取了相反数，这是关于原点对称。 C: 只改变了实部符号。 D: 交换了实部和虚部。 因此，正确答案是 A。 11. 复数 的模 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查复数模的计算公式 。 【解析】 对于 ，有 , 。 所以 。 A 和 B 分别是实部和虚部的绝对值，不是模。 D 是模的平方。 因此，正确答案是 C。 12. 若 (a, b ∈ R)，且 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的性质及其与实部的关系。 【解析】 的共轭复数 。 所以 。 题目给出 ，即 ，解得 。 这个结果与 无关。 B: 将和当成了 本身。 C: 可能联想到纯虚数的性质。 D: 计算错误或理解反了。 因此，正确答案是 A。 考点五 复数的除法运算 13. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查复数除法，特别是分母为纯虚数时的处理。 【解析】 为了化简 ，可以将分子分母同时乘以分母的共轭复数。 的共轭复数是 。 。 或者直接记忆：。因此，正确答案是 B。 14. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查一般的复数除法运算，需要通过分母实数化来求解。 【解析】 将分子分母同时乘以分母 的共轭复数 ： 因此，正确答案是 A。 15. 已知 ，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数的代数形式及其虚部的概念，注意虚部是一个实数。 【解析】 。这已经是标准的 形式，其中 , 。 复数的虚部指的是 这个实数，即 。 因此，正确答案是 A。 考点六 复数的几何意义 16. 复数 在复平面上对应的点位于第（ ）象限。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【分析】本题考查复数与复平面直角坐标系中点的对应关系，以及象限的判断。 【解析】 复数 对应复平面上的点 。这里 ，所以对应点为 。 横坐标 纵坐标 横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限。 因此，正确答案是 B。 17. 已知复数 和 ，则向量 对应的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查复数加法的几何意义——平行四边形法则或三角形法则。 【解析】 根据复数加法的几何意义，两个复数对应的向量之和，就是这两个复数相加的结果所对应的向量。 即 对应的复数为 。 计算：。 A: 虚部计算错误，，不是 。 因此，正确答案是 B。 18. 若复数 满足 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 一个椭圆 【答案】C 【分析】本题考查复数模的几何意义。 【解析】 复数 的模 表示它在复平面上对应的点到原点 的距离。 表示该点到原点的距离恒为2。 在平面几何中，到定点（原点）距离等于定长（2）的所有点的集合是一个以该定点为圆心，定长为半径的圆。 因此，其轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆。 因此，正确答案是 C。 考点七 复数的模及其性质 19. 已知 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查复数模的平方公式 。 【解析】 对于 ，有 , 。 。 也可以先算 ，再平方得 。 因此，正确答案是 C。 20. 若 ，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查复数乘积的模的性质：。 【解析】 利用性质可以简化计算： 所以 。 因此，正确答案是 A。 21. 已知 ，且 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 以 为圆心，半径为1的圆 B. 以 为圆心，半径为1的圆 C.以 为圆心，半径为1的圆 D.以 为圆心，半径为1的圆 【答案】A 【分析】本题考查复数差的模的几何意义——两点间的距离。 【解析】 表示复数 对应的点到复数 （即点 ）的距离。 表示点 到点 的距离恒为1。 根据平面几何知识，这表示一个以 为圆心，半径为1的圆。 因此，正确答案是 A。 考点八 实系数一元二次方程的解法 22. 方程 在复数集内的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查最简单的纯虚数解方程，直接开平方即可，是理解复数解的基础。 【解析】 将方程移项：。 在复数集中，两边可以开平方。因为 ，。 所以，。 因此，正确答案是 B。 23. 解方程 ，其解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查使用求根公式解决判别式小于零的情况，并正确计算平方根。 【解析】 此方程中，, , 。 先计算判别式：。 因为 ，所以在复数集中有两个共轭虚数解。 代入求根公式： 其中，。 所以， 因此，正确答案是 A。 24. 已知实系数一元二次方程的一个根是 ，则该方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查“虚根成对出现”的性质，并利用韦达定理（根与系数的关系）反推原方程。 【解析】 由于方程的系数都是实数，且一个根是 （虚数），那么另一个根必定是它的共轭复数 。 根据韦达定理： * 两根之和 = * 两根之积 = 我们通常假设 来构造最简方程。 * 两根之和：。所以 ，得 。 * 两根之积：。所以 ，得 。 因此，这个方程是 。因此，正确答案是 A。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的实部与虚部、复数的分类、复数相等的条件、复数的共轭与模 、复数的除法运算、复数的几何意义、复数的模及其性质、实系数一元二次方程的解法等常见考点。 第五章 复数 目录 考点一 复数的实部与虚部 1 考点二 复数的分类 2 考点三 复数相等的条件 2 考点四 复数的共轭与模 2 考点五 复数的除法运算 3 考点六 复数的几何意义 3 考点七 复数的模及其性质 3 考点八 实系数一元二次方程的解法 4 考点一 复数的实部与虚部 1. 复数 的实部和虚部分别是（ ） A. 实部为5，虚部为3 B. 实部为5，虚部为-3 C. 实部为-3，虚部为5 D. 实部为-3i，虚部为5 2. 以复数 的虚部为实部，以复数 的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数 的虚部为0，则实数 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 考点二 复数的分类 4. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设复数 ，其中 。若 是纯虚数，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 给出下列四个命题： ① 两个复数不能比较大小； ② 若 是纯虚数，则 ； ③ 是虚数单位，； ④ 实数集是复数集的真子集。其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点三 复数相等的条件 7. 已知 是虚数单位，若两个复数 和 相等（其中 为实数），则 和 的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，其中 ，则 和 的值分别为（ ） A. B. C. D. 9. 设 （ 为实数），若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 考点四 复数的共轭与模 10. 复数 的共轭复数 是（ ） A. B. C. D. 11. 复数 的模 等于（ ） A. B. C. D. 12. 若 (a, b ∈ R)，且 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 考点五 复数的除法运算 13. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 14. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 15. 已知 ，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 考点六 复数的几何意义 16. 复数 在复平面上对应的点位于第（ ）象限。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 17. 已知复数 和 ，则向量 对应的复数是（ ） A. B. C. D. 18. 若复数 满足 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 一个椭圆 考点七 复数的模及其性质 19. 已知 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 20. 若 ，，则 等于（ ） A. B. C. D. 21. 已知 ，且 ，则 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 以 为圆心，半径为1的圆 B. 以 为圆心，半径为1的圆 B. 以 为圆心，半径为1的圆 D.以 为圆心，半径为1的圆 考点八 实系数一元二次方程的解法 22. 方程 在复数集内的解为（ ） A. B. C. D. 23. 解方程 ，其解为（ ） A. B. C. D. 24. 已知实系数一元二次方程的一个根是 ，则该方程可以是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $