数学期末复习讲义（圆锥曲线）-2025-2026学年高二上学期《期末考点大串讲》

2025-2026学年 高二上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义圆锥曲线 1 核心考点 复习目标 考情规律 定义与标准方程 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，根据条件求解圆锥曲线的标准方程。 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 几何性质 理解椭圆、双曲线、抛物线几何性质，能求出焦点、顶点、长短轴、焦距、离心率、渐近线方程、准线。 高频考点， 一般出现在选择题、填空题中，尤其是离心率、渐近线方程题目更常考查。 直线与圆锥曲 线位置关系 能判断直线与圆锥曲线位置关系，能求弦长、直线方程、曲线方程. 高频考点， 一般出现在解答题中 2 第三章 圆锥曲线 3 知识点1 椭圆 4 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点的_____________________________的点的轨迹叫 做椭圆，这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______. 注：若集合，其中，且 为常数，则有如下结论： (1)若，则集合P为______； (2)若，则集合P为__________； (3)若，则集合P为______. 距离的和等于常数(大于 焦点 焦距 椭圆 线段 空集 5 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性 质 范围 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 6 性 质 顶点 轴 长轴的长为____； 短轴的长为____ 焦距 ____ 离心率 __ 的关系 _____________ 7 3. 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系判断方法：由 消去或 得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 ____0 相切 一解 ___0 相离 无解 ____0 ＞ ＜ 8 4. 直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为，直线与椭圆两交点为，则 __________________，一般地， 用根与系数关系求解. 9 知识点2 双曲线 10 1. 双曲线的定义 平面内与两个定点的_____________________________________的点 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲 线的______. 注：设集合，其中为常数， 且； (1)当时，P点的轨迹是________； (2)当时，P点的轨迹是__________； (3)当时，集合P是______. 距离的差的绝对值等于常数(小于 焦点 焦距 双曲线 两条射线 空集 11 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性 质 范 围 或R R，或 对 称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 12 性 质 顶 点 顶点坐标： ________， ______ 顶点坐标： ________， ______ 渐 近线 ______ ______ 离 心率 ，，其中 实 虚轴 线段叫做双曲线的______，它的长____；线段叫做双 曲线的______，它的长____；___叫做双曲线的__________，叫做双 曲线的__________ 的关系 实轴 虚轴 实半轴长 虚半轴长 13 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为______________ 14 知识点3 抛物线 15 1.抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线的距离______； (3)定点F与定直线的关系为________. 相等 点 16 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 的几何意义：焦点F到准线的距离 图形 顶点 对称轴 17 焦点 F_______ F_________ F_______ F________ 离心率 ___ 准线方程 ________ ______ ________ ______ 范围 R R R R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 _______ ________ _______ ________ 1 18 一、单选题 1.(20-21高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末)已知椭圆 上一点P到椭圆到一个焦 点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 19 【分析】由椭圆方程确定 的值，再根据椭圆的定义求值即可. 【详解】已知椭圆 中， ， 则 ， 已知点P到椭圆到一个焦点的距离为5，设 ， 则 ，所以 ， 即P到另一个焦点的距离为3， 故选： 20 2.(24-25高二上·山西忻州·期末)长轴长为12，短轴长为10，焦点在轴的椭圆的标 准方程为( ) D A. B. C. D.&12 & 【答案】D 21 【分析】根据已知条件求出 ，再根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】因为长轴长为12，短轴长为10， 所以 . 因为焦点在y轴， 所以椭圆的标准方程为 . 故选： 22 3.(22-23高二上·浙江·期末)椭圆 的离心率是( ) D A. B. C. D.&20 & 【答案】D 【分析】通过椭圆的标准方程和离心率的计算，进而求解. 【详解】给定椭圆 ， ，因此 ， ， ， 离心率： . 故选： 23 4.(24-25高一下·浙江绍兴·期末)已知 ， 为双曲线 的两个焦点，点P在 双曲线上，满足 ，则 的值为( ) D A. 或7 B.1 C.9 D.7 【分析】根据题意求出 值，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线 ，则 ，解得 ， 因为 ， ，解得 (舍)或 ， 故选： . 24 5.(24-25高二下·四川广安·期末)已知双曲线的方程 ，则双曲线的焦点坐 标为( ) A A. B. C. D. 【答案】A 25 【分析】根据双曲线方程得到 ，结合焦点在 轴上，即可求解. 【详解】因为双曲线的方程 ，则焦点在 轴上， 所以 ，即 ， 故双曲线的焦点坐标 . 故选： 26 6.(22-23高二下·河北邢台·期末)双曲线 的渐近线方程为( ) B A. B. C. D.&56 & 【答案】B 27 【分析】根据双曲线方程确定 的值，再由渐近线方程公式求值即可. 【详解】已知双曲线 ， 则 ， 焦点在 轴上，则渐近线方程为 故选： 28 7.(22-23高二下·江苏宿迁·期末)抛物线 的准线方程为( ). D A. B. C. D.&65 & 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线标准方程的性质求出准线 方程. 【详解】已知抛物线方程为 ，变形可得 ，此时 ，则 . 根据上述标准方程性质，其准线方程为 . 故选： 29 8.(21-22高三上·河南安阳·期末)顶点在原点，焦点是 的抛物线的标准方程 是( ) B A. B. C. D. 【分析】根据题意设出抛物线的标准方程，利用焦点坐标，即可求解. 【详解】因为顶点在原点，焦点是 ， 故设抛物线的标准方程为 ， 又 ，解得 ， 故抛物线的标准方程为 . 故选：B 30 9.(22-23高二下·山东青岛·期末)已知抛物线的方程是 ，过抛物线焦点且与 轴垂直的直线交抛物线于 两点，则 ( ) B A. B.8 C. D.4 【答案】B 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由过抛物线焦点且与x轴垂直的 直线交抛物线于 两点，求出 两点坐标，即可求出 . 31 【详解】由抛物线的方程是 ，可得 ， 焦点坐标为 ，过焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于 两点， 则 两点的横坐标均为2，将 代入 ， 得 ，解得 ， 所以 ，则 . 故选： 32 10.(24-25高一下·山东济南·期末)设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上，且长轴 长为26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲 线 的标准方程为( ) D A. B. C. D.&108 & 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率和长轴长可求解焦点坐标，再由双曲线的定义求解标准 方程即可. 33 【详解】椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上，且长轴长为26， ，解得 ， 椭圆的焦点坐标为 和 ， 又曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离之差的绝对值等于8， 可知曲线 是焦点为 和 的双曲线， 且 ，即 ， ， 双曲线为 . 故选： 34 题型一 圆锥曲线的定义 【典例1】(22-23高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末)一动点P到两定点 的距 离之和为8，则点P的轨迹方程为( ) D A. B. C. D.&129 & 35 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆方程即可. 【详解】由一动点P到两定点 的距离之和为8， 可得动点P的轨迹为椭圆， 则 且焦点在 轴上， 则 ， 所以点P的轨迹方程为 ， 故选： 36 【典例2】(23-24高二上·湖南怀化·期末) 是双曲线 上一点， 是双 曲线的两个焦点，且 ，则 的值为( ) B A.1 B.33 C.1或33 D.0 37 【分析】由双曲线的定义及几何性质即可得解. 【详解】由双曲线方程 知， ，则 . 是双曲线 上一点， ， 又 ， 或 . 又 ， . 故选： 38 【典例3】(22-23高一上·河北张家口·期末)抛物线 上一点 到抛物线的焦点 的距离为5，且点 在第一象限，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标与准线方程，设出 ，结合题意列 出 ，即可得解. 39 【详解】抛物线 ，则焦点在 轴正半轴上，且 ， 所以焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ， ， 点 到抛物线的焦点 的距离为5，所以点 到抛物线的准线的距离为5， 则 ，解得 ， 所以 ，解得 或 (舍)， 所以点 ， 故选： . 40 解题技巧 1、何时用：题目中出现“到焦点距离”、“到准线距离”、“距离之和/差为定值”等字眼。 2、怎么做：直接利用椭圆、双曲线、抛物线的定义进行转化。例如，求一个动点的轨迹方 程，首先考虑它是否符合某个圆锥曲线的定义。 3、示例：F 的周长问题，在椭圆中立即转化为 ；在双曲线中则要小心，是 。 41 【变式1】(24-25高二上·湖南·期末)已知椭圆 上一点 到椭圆一个焦点 的距离为3，则 到另一个焦点的距离是( ) A A.7 B.6 C.5 D.4 【分析】由椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆 可知 ，椭圆上点 到椭圆两个焦点的距离之和 为 ， 而点 到椭圆一个焦点的距离为3，则 到另一个焦点的距离是7. 故选： 42 【变式2】(12-13高三·浙江温州·一模)到两定点 ， 距离的差的绝对 值为4的点的轨迹方程为( ) A A. B. C. D.&191 & 【分析】根据已知可得动点的轨迹方程为双曲线，设出双曲线坐标求解即可 【详解】由题设可知动点的轨迹方程为焦点在 轴上的双曲线， 设动点的轨迹方程为 ， 由题设知 ， 则动点的轨迹方程为： ， 故选：A 43 题型二 求圆锥曲线的标准方程 【典例1】(24-25高二下·全国·课后作业)焦点在 轴上，长、短半轴长之和为10， 焦距为 ，则椭圆的方程为( ) C A. B. C. D.&201 & 44 【分析】由条件列方程组求出 ，结合焦点的位置写出椭圆的方程. 【详解】设椭圆的长、短半轴长分别为 ，半焦距为 ，其中 ， 长、短半轴长之和为10， ①， 焦距为 ， ，即 ， 又 ， ②， 联立①②解得 . 焦点在 轴上，椭圆的方程为 . 故选： 45 【典例2】(2025高三·四川·专题练习)已知双曲线 ( )的实轴长为4， 离心率为 ，则双曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D.&221 & 46 【分析】根据双曲线的标准方程及几何性质分析求解即可. 【详解】因为双曲线 ( )的实轴长为4， 所以 ，又因为离心率为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 则双曲线的标准方程为 . 故选： 47 【典例3】(24-25高二下·全国·单元测试)以 为渐近线，焦点在 的双 曲线方程是( ) A A. B. C. D.&235 & 【分析】根据题意得出双曲线的焦点在 轴上，结合渐近线方程联立方程组求出 即可得解. 48 【详解】由题意可知，双曲线焦点在 轴上，焦点坐标为 ，则 ， 双曲线渐近线方程 ，则 ， 联立方程组 ，解得&243 & 所以方程为 ， 故选： . 49 解题技巧 定型优先：永远先判断曲线类型和焦点位置。 定义法最快：如果条件符合定义，直接用定义法，省时省力。 待定系数是通法：大部分题目都用此法，关键是列出正确的方程组。 数形结合：画个草图能极大地帮助理解题意，避免焦点位置设错。 检查关系：最后确保 或 满足椭圆、双曲线或抛物线的内在关系。 50 【变式1】(24-25高三下·安徽·模拟预测)已知椭圆的焦点在 轴上，短轴长为6， 离心率为 ，则椭圆的标准方程为( ) B A. B. C. D.&251 & 【分析】由椭圆的短轴长可求解b的值，再由椭圆的离心率可得a与c的关系，再 由椭圆中 的关系即可求解. 51 【详解】因为椭圆的短轴长为6，即 ， 又椭圆的离心率为 ，即 ， 又因为在椭圆中 ，所以 ， 解得 ，又椭圆焦点在 轴上， 故椭圆的标准方程为 . 故选： 52 【变式2】(24-25高二上·山东潍坊·期末)已知椭圆过点 ，且与双曲线 有相同的焦点，则椭圆的标准方程是( ). A A. B. C. D.&265 & 53 【分析】根据双曲线的标准方程求得焦点，结合椭圆的 关系即可求解. 【详解】因为椭圆与双曲线共焦点，由双曲线 得 ， 则椭圆及双曲线的焦点为 . 设椭圆的标准方程为 ，因为椭圆过点 ，则 . 由 得， ，所以椭圆的标准方程为 . 故选： 54 【变式3】(24-25高三·全国·模拟预测)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点 的抛物线的标准方程是( ) D A. B. C. D. 或&281 & 【分析】设抛物线方程分别为为 或 ，代入点 解方程，即 可得到抛物线方程. 55 【详解】当抛物线的对称轴为x轴时，设抛物线的方程为 ， 因为抛物线过点 ，代入为 ，解得 ， 所以抛物线的标准方程为 ； 当抛物线的对称轴为y轴时，设抛物线的方程为 ， 因为抛物线过点 ，代入为 ，解得 ， 所以抛物线的标准方程为 ； 综上所述；所求抛物线的标准方程为 或 . 故选： 56 题型三 离心率 【典例1】(22-23高二下·重庆开州·期末)已知椭圆 的方程为 ，则椭 圆 的离心率为( ) D A. B. C. D.&303 & 【分析】求出椭圆的标准方程，再根据离心率的计算方法，即可求解. 57 【详解】由题意知：椭圆 的方程为 ， 即椭圆 的标准方程为 ， 所以 ， ， 则 . 故选： 58 【典例2】(24-25高一下·广东梅州·期末)已知双曲线 ，双曲线 的离 心率为( ) D A. B. C. D.&314 & 【分析】根据题意求出 值，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线 ，则 ，所以 ， ，所以 ， 所以离心率为 ， 故选： . 59 解题技巧 离心率问题的解题路径，万变不离其宗，最终都是要转化为关于 的方程。主要有以下 思路： 1.技巧一：利用几何关系与定义(最常用) 这是最基本也是最重要的方法，通过分析图形的几何性质来建立等量关系。 2.技巧二：利用离心率的定义与性质 离心率本身与一些特定的几何量有直接关系. 60 【变式1】(22-23高二下·浙江温州·期末)已知椭圆 ，下列说法错误的是 ( ) C A.焦点为 B.离心率为 C.长轴在 轴 D.短轴长为8 【分析】根据椭圆的标准方程，即可判断求解. 61 【详解】因为椭圆的标准方程为 ， 所以 ，且焦点在 轴上， 所以 ， 所以 ， ， 所以焦点坐标为 ，故选项A正确； 离心率 ，故选项B正确； 因为焦点在 轴上，所以长轴在 轴上，故选项C错误； 短轴长为 ，故选项D正确. 故选： 62 【变式2】(22-23高二上·浙江·期末)双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线的 离心率是 ( ) D A.2 B. C. D.&340 & 63 【分析】根据双曲线中 的关系，结合 ，根据离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍， 即 ，则 ， 由 ，得 ， 所以双曲线的离心率是 . 故选： 64 题型四 双曲线的渐近线 【典例1】(21-22高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末)双曲线 的渐近线方程为 ( ) B A. B. C. D.&351 & 【分析】根据双曲线方程即可求解渐近线方程. 【详解】双曲线 焦点在x轴， ， 渐近线方程为 . 故选： 65 【典例2】(24-25高二上·四川自贡·期末)若双曲线 的离心率 ，则其渐 近线方程为( ) A A. B. C. D.&360 & 【分析】先求双曲线的离心率求解 ，再由双曲线中 的关系求解渐近线 方程即可. 66 【详解】双曲线 的离心率是 ，可知 ，即 ， 所以 ， 所以渐近线方程为 . 故选： 67 解题技巧 1.基础是根本：必须熟记焦点在 轴和 轴时，渐近线方程的形式和推导方法(“1换0”法)。 2.分类讨论思想：当已知渐近线求双曲线方程时，一定要考虑焦点位置不确定的情况，通常有 两种可能。 3.双曲线系方程：对于已知渐近线的问题，设 是最高效的方法之一。 4.数形结合：多画图，理解渐近线的几何意义，尤其是在解决与三角形、矩形等图形相关的综 合题时。 5.关联概念：将渐近线与离心率 e、实轴 、虚轴 、焦距 等概念联系起来，形成知 识网络。 68 【变式1】(24-25高三上·山东菏泽·期末)已知双曲线 的焦距为 ，则该双曲线的渐近线方程为( ) B A. B. C. D.&373 & 【分析】利用双曲线 的关系，求出 的值，再根据双曲线的渐近线方程可求解. 69 【详解】由已知双曲线的焦距 ，即 ， 所以 ，解得 ，即双曲线方程为 ， 得到 , 则其渐近线方程为 . 故选：B 70 【变式2】(21-22高二下·山东枣庄·期末)已知双曲线 的右焦点坐标 为 ，则该双曲线的渐近线的方程是( ) A A. B. C. D.&388 & 【分析】根据双曲线的性质和焦点坐标求出双曲线方程，根据双曲线渐近线方程 求解即可解得. 71 【详解】由题，双曲线的右焦点坐标为 ， 则 ， 又知双曲线方程 ， 则 ， ， 则双曲线渐近线方程为 ， 故选：A 72 题型五 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】(24-25高二下·重庆·期末)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， 且椭圆过两点&396 & (1)求椭圆的离心率； 【答案】&397 & 【分析】将已知两点代入求出椭圆的方程，再由椭圆的性质和离心率公式即可解得. 73 【详解】由题意，可设椭圆的方程为 ，则 解得 所以 ， 因此椭圆的离心率 . 74 (2)若直线 过点 且交椭圆于另一点 ，求 的面积 【答案】9 【分析】根据已知点的坐标求出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，再由两 点之间的距离公式和点到直线的距离公式结合三角形面积公式即可解得. 【详解】由题意将点 代入直线方程， 得 ，解得 ， 所以直线l的方程为 . 联立方程组 75 解得 或 即直线l与椭圆的两个交点为 ， . 所以 ， 点 到直线l： 的距离 ， 因此 . 【典例2】(24-25高二上·浙江·期末)已知抛物线以直线 与 轴的交点为焦 点，顶点为坐标原点，该直线与抛物线相交于 两点，求： (1)抛物线方程； 【答案】 77 【分析】根据题意可求出抛物线焦点，即可求出抛物线方程； 【详解】已知直线 ， 令 ， 所以直线与 轴的交点为 ， 因此抛物线的焦点为 ， 由于抛物线顶点为坐标原点， 所以抛物线标准形式为： ，且 ， 所以抛物线的标准方程为 . 78 (2)弦长 . 【答案】24 【分析】先将两方程联立，再根据弦长公式即可求解. 【详解】设 ， 联立方程组 ，得 ， 则 ， 所以弦长 . 由韦达定理得 ， 所以 . 79 解题技巧 1.首要检查：设直线方程时，第一步永远是考虑斜率是否存在。这是最容易被忽略的失分点。 2.数形结合：画草图可以帮助你理解题意，判断可能的解的个数，避免漏解。 3.计算能力：这部分题目计算量通常较大，平时要多练习，提高运算的准确性和速度。 4.核心工具：联立方程、判别式、韦达定理是三位一体的核心工具，必须运用自如。 5.“设而不求”：这是解析几何的最高境界。不要总想着把交点坐标具体解出来，而是通过韦达 定理，用整体的方式去处理 和 ，这能极大地简化计算。 80 【变式1】(24-25高二上·浙江杭州·期末)焦点在 轴上的椭圆的方程为 ， 点 在椭圆上. (1)求 的值； 【答案】2 【分析】根据题意，将点 代入椭圆方程即可得解； 【详解】因为点 在椭圆 上， 所以 ，解得 . 81 (2)若直线 与椭圆交于A，B两点，求出交点坐标. 【答案】 ， 【分析】利用(1)中结论，联立直线与椭圆方程，解之即可得解. 【详解】由(1)得，椭圆方程为 ， 82 联立 ，消去 ，得 ， 解得 ， ， 则对应的 ， ， 所以两点坐标为 ， 【变式2】(23-24高二上·全国·期末)已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程 为 ，且该双曲线的一条切线方程为 , (1)求双曲线的标准方程； 【分析】根据题意设双曲线方程，再根据切线方程联立方程组易得答案； 【详解】(1)根据渐近线方程 ，焦点在 轴上， 设所求双曲线方程为 ， 联立切线方程和双曲线方程，得 ， 84 消除 整理得： 解得 ； 所以所求双曲线的方程是 ； 85 (2)以双曲线的右顶点为焦点的抛物线交直线 于A，B两点，求线段AB的长. 【分析】根据直线和双曲线相交，联立方程组利用两点间距离公式易得答案. 【详解】(2)由(1)知， ， 所以双曲线的右顶点 ， 即为所求抛物线的焦点， 所以抛物线的标准方程是 设直线与抛物线的交点为 ， 86 联立直线方程与抛物线方程，得 ， 消去y，整理得： ， 因为 , 由韦达定理，得 ， 因为点A ，B 在直线 上，所以 ， 所以&482 & 87 $