7.2平行线（分层作业）数学新教材人教版七年级下册

7.2 平行线 知识点一 平面内两直线的位置关系 1．(23-24七下·重庆松树桥中学校·)在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 3．(24-25七下·广东梅州五华县·期中)在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 4．(24-25七·第12章定义命题证明（单元测试卷）-·)平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 知识点二 直尺和三角板画平行线 1．(2023·云南省昆明市·模拟)如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期末)如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 3．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 4．(23-24七上·江苏连云港海州区·期末)如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    知识点三 平行公理和推论的应用 1．三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 2．(24-25七下·四川泸州合江县第五片区·)以下说法正确的是（   ） A．a，b，c是直线，若，，则 B．a，b，c是直线，若，，则 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两个锐角的和是钝角 3．(24-25七下·河南商丘虞城县·月考)如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．(23-24七下·河北石家庄赵县兴华学校·月考)已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 知识点四 同位角相等，两直线平行 1．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 2．(24-25七下·广西南宁横州·期中)如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 3．(24-25七下·江西南昌南昌县莲塘第四中学·月考)已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 4．(24-25七下·陕西西安经开区·期末)如图，直线被直线所截，交点分别为点O、P，平分，平分，如果 （1）吗？为什么？ （2）吗？为什么？ 解：（1）∵（已知）， （                  ）， （2）平分，平分（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， = （          ）    ，     （           ）． 知识点五 内错角相等，两直线平行 1．(24-25七下·甘肃武威古浪县·期中)几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 2．(24-25七下·广东清远清新区龙颈镇石马初级中学·期中)在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 3．(七下·湖北武汉青山区·期中)已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 4．(24-25七下·陕西西安灞桥区铁一中陆港初级中学·月考)请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 知识点六 同旁内角互补，两直线平行 1．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 2．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 3．(七下·江西赣州厚德外国语学校·月考)如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 4．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 知识点七 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 1．(24-25七下·河南商丘·月考)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 2．(20-21七下·吉林吉林舒兰·期末)在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” 小琛说的是否正确？______（回答正确或错误） 小萱做法的依据是__________________ 小冉做法的依据是__________________． 3．(24-25七下·山东菏泽成武县·期中)在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 4．(21-22八上·广东梅州丰顺县仙洞中学·期末)如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 知识点八 两直线平行，同位角相等 1．(20-21七下·陕西榆林绥德县·期末)如图，已知直线，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)已知的对顶角为，和互为同位角，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．不确定 3．(24-25七下·湖南郴州宜章县第八中学·期末)已知如图，直线，，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·陕西安康紫阳县毛坝中学·期末)如图，直线、被直线所截，若，要使直线，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 知识点九 两直线平行，内错角相等 1．(25-26七下·海南直辖县级行政单位东方港务中学·月考)如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26七下·黑龙江绥化·)如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．(23-24七·山东临沂外国语学校·)如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族从江县东朗中学·月考)如图，点A，B分别在直线上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 知识点十 两直线平行，同旁内角互补 1．(24-25七下·贵州贵阳花溪区燕楼中学·)根据题意分析  如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·湖南长沙雅礼雨花中学·期末)如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．(22-23七下·河南驻马店新蔡县·期中)如图，下列判断错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4.如图，，，平分，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点一 根据平行线的性质探究角的关系 1．(25-26七下·黑龙江绥化明水县第二中学·月考)如图，，平分，平分．试猜想：与的位置关系，并说明理由． 2．(24-25七下·河南巩义·期末)如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2) 若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 3．已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 4．如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 5．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 知识点二 根据平行线的性质求角的度数 1．(24-25七下·河南周口商水县·期末)综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 2．(24-25七·江西赣州南康区第十中学·期中)如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 3．(24-25七·第1章相交线与平行线拔尖测评-·)如图，直线分别与直线交于点，且．的平分线交直线于点，的平分线交直线于点． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)平行于吗？请说明理由． (3)若，求的度数． 4．(24-25七下·河北邯郸第十中学·期末)如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 知识点三 平行线的性质在生活中的应用 1．(24-25七下·河南南阳邓州·期末)如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 2．(24-25七下·湖北荆州经济技术开发区·期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 3（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 4．(24-25七下·四川成都天府新区·期末)某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 知识点四 根据判定与性质求角度 1．(25-26七下·黑龙江绥棱县克音河乡学校·期中)如图，，，．将求的过程填写完整． 解： ∵（        ）       ∴______．（两直线平行，同位角相等；） 又∵，（        ） ∴．（        ） ∴．（        ） ∴______（两直线平行，同旁内角互补） 又∵，（        ） ∴______．    2．(22-23七下·山东日照莒县·期末)如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 3．(24-25七下·四川泸州江阳区泸州高级中学校本部·月考)如图，点在线段的延长线上，，交于点，且，． (1)猜想与的位置关系，并证明； (2)如图，为反向延长线上一点，，的平分线交于点，求的度数． 4．(24-25七下·湖南师大附中特立学校·期末)阅读材料，完成问题． 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形内角和等于．” 方法一：如图①，已知：，求证：．证明：如图②，过点作直线， ， ，． ， ． 方法二：……． 【发现】（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想； 【探究】（2）请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和． 【延伸】（3）如图③，，是，之间一点，平分，点在上，连接，，且．请写出与的数量关系，并说明理由． 知识点五 根据判定与性质证明 1．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 2．(24-25七下·甘肃定西·期中)在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 3．(25-26七下·黑龙江绥化肇东尚家中学校·期中)如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 4．(七下·湖南张家界慈利县·期末)已知：如图，点B、E分别在上，分别交于点M、N，，． 将下列证明过程补充完整： 求证：．   证明：因为（已知）． 又因为（ ）， 所以 （等量代换）． 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换） 5．(15-16七下·湖北武汉七一华源中学·)如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 1．(25-26七上下云南红河州开远第十一中学校·期中)【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 2．(24-25七下·北京海淀区师达中学·期中)如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 3．(24-25七·第1-3章综合模拟测试题·模拟)（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 4．(24-25七下·云南丽江·期末)如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 平行线 知识点一 平面内两直线的位置关系 1．(23-24七下·重庆松树桥中学校·)在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，根据两条直线有一个交点是相交线，没有交点是平行线，在同一平面内，两条直线也可能重合，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交； 在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行， 在同一平面内，两条直线也可能重合， 故D正确； 故选：D． 2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 【答案】B 【分析】本题考查平行线和相交线，同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，可得答案，解题关键要明确在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行和相交， 故选：B． 3．(24-25七下·广东梅州五华县·期中)在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论． 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 4．(24-25七·第12章定义命题证明（单元测试卷）-·)平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线的位置关系，平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，所以平行和相交是并列存在的，而垂直是相交的一种特殊情况，所以相交包括垂直． 【详解】解：平面内两直线的位置关系有相交和平行两种， 当两直线相交，夹角是时，两直线互相垂直， 垂直是相交的一种特殊情况， 平行、垂直和相交的关系如下图所示， 故选：D． 知识点二 直尺和三角板画平行线 1．(2023·云南省昆明市·模拟)如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 2．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期末)如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 3．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 【答案】C 【分析】利用基本作图方法得出作直线的步骤即可． 【详解】解：②用三角板的斜边靠上直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边； ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ③沿三角板斜边画直线； 故选：C． 【点睛】此题考查了作平行线以及平行线的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键． 4．(23-24七上·江苏连云港海州区·期末)如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 知识点三 平行公理和推论的应用 1．三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 根据平行公理的推论直接得出结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 2．(24-25七下·四川泸州合江县第五片区·)以下说法正确的是（   ） A．a，b，c是直线，若，，则 B．a，b，c是直线，若，，则 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质、平行公理及其推论、角的分类． 逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A：若，，则，故A正确； B：若，，无法判断位置关系，故B错误； C：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误； D：两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故D错误； 故选：A． 3．(24-25七下·河南商丘虞城县·月考)如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 4．(23-24七下·河北石家庄赵县兴华学校·月考)已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线公理及推论，牢记平行公理是关键，根据平行公理及垂直的性质直接判断即可． 【详解】解：已知直线l，在同一平面内， 与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误； 经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误； 若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确； 故选：D． 知识点四 同位角相等，两直线平行 1．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 2．(24-25七下·广西南宁横州·期中)如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 【答案】对顶角相等；；；；同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：因为（对顶角相等） （已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 3．(24-25七下·江西南昌南昌县莲塘第四中学·月考)已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 【答案】；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了垂线的性质、等角的余角相等及平行线的判定，解题的关键是通过垂线定义和已知角的关系推导出同位角（或内错角）相等，进而证明两直线平行． 根据垂线的定义得出，分解该角得到与（即的和为；结合已知，利用等角的余角相等得到；最后根据同位角相等判定两直线平行． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂线的定义），即． 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案依次为：；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 4．(24-25七下·陕西西安经开区·期末)如图，直线被直线所截，交点分别为点O、P，平分，平分，如果 （1）吗？为什么？ （2）吗？为什么？ 解：（1）∵（已知）， （                  ）， （2）平分，平分（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， = （          ）    ，     （           ）． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）；角平分线的定义；；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明． 【详解】解：（1）∵（已知）， （同位角相等，两直线平行）； （2）平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵（已知）， （等量代换）    ，     （同位角相等，两直线平行）． 知识点五 内错角相等，两直线平行 1．(24-25七下·甘肃武威古浪县·期中)几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与传递性，熟练掌握平行线的判定是解题的关键，由可得，再由可得，最后利用平行线的传递性即可求解． 【详解】证明：，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 又，（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （平行线的传递性） 2．(24-25七下·广东清远清新区龙颈镇石马初级中学·期中)在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 【答案】已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，邻补角定义，由同角的补角相等得，又，则有，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图， ∵（已知），（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 3．(七下·湖北武汉青山区·期中)已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 4．(24-25七下·陕西西安灞桥区铁一中陆港初级中学·月考)请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 【答案】垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】解：，， （垂直的定义）， ，， （同角的余角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 知识点六 同旁内角互补，两直线平行 1．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 2．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 3．(七下·江西赣州厚德外国语学校·月考)如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 【答案】垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论以及推理依据即可． 【详解】证明：因为， 所以 （垂直的定义) 所以 ， 所以 （）(同旁内角互补，两直线平行) 因为（已知） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线互相平行） 4．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 知识点七 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 1．(24-25七下·河南商丘·月考)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 2．(20-21七下·吉林吉林舒兰·期末)在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” 小琛说的是否正确？______（回答正确或错误） 小萱做法的依据是__________________ 小冉做法的依据是__________________． 【答案】正确；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行或（垂直于同一直线的两条直线平行） 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行去判定即可. 【详解】解：小琛的说法正确，理由如下 小琛的做法的依据是内错角相等，两直线平行，故正确； 小萱做法的依据是同位角相等两直线平行； 小冉做法的依据是内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）； 故答案为：正确；同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．(24-25七下·山东菏泽成武县·期中)在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定，熟练掌握方格纸的特点，是解题的关键． （1）根据格点特点，取格点Q，连接,则，根据三角形内角和定理可知； （2）根据格点特点，取格点，连接，则，根据三角形内角和可知； （3）将点B向右平移12个小格向下平移2格到点C，把点A向右平移12个小格，向下平移2格到袋内N，连接，根据平移可得； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：∵，， ∴． 4．(21-22八上·广东梅州丰顺县仙洞中学·期末)如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 知识点八 两直线平行，同位角相等 1．(20-21七下·陕西榆林绥德县·期末)如图，已知直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，掌握这个性质是关键；由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)已知的对顶角为，和互为同位角，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．不确定 【答案】D 【分析】本题考查对顶角和同位角，注意：只有当两直线平行时，同位角相等． 利用对顶角和同位角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵的对顶角为，， ∴， ∵和互为同位角， ∴的度数不确定． 故选：D． 3．(24-25七下·湖南郴州宜章县第八中学·期末)已知如图，直线，，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据，，得出，进而根据平行线的性质可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25七下·陕西安康紫阳县毛坝中学·期末)如图，直线、被直线所截，若，要使直线，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质、对顶角的性质；根据对顶角相等得出，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 知识点九 两直线平行，内错角相等 1．(25-26七下·海南直辖县级行政单位东方港务中学·月考)如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，余角． 由，可得和互余，由平行线的性质，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵，垂足为B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．(25-26七下·黑龙江绥化·)如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线平行的性质，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等，再结合角分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 3．(23-24七·山东临沂外国语学校·)如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族从江县东朗中学·月考)如图，点A，B分别在直线上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可解答． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故选：C． 知识点十 两直线平行，同旁内角互补 1．(24-25七下·贵州贵阳花溪区燕楼中学·)根据题意分析  如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理，通过 “两直线平行，同旁内角互补”，即可得到结果． 【详解】解：，， ， ∴， ∵， ∴． 故选：． 2．(24-25七下·湖南长沙雅礼雨花中学·期末)如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．(22-23七下·河南驻马店新蔡县·期中)如图，下列判断错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，关键是掌握 “两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，内错角相等”． 【详解】、因为与是两直线与的同旁内角，又因为，所以，选项不符合题意； 、当时，因为与为同旁内角，“两直线平行，同旁内角互补”，所以，选项不符合题意； 、由于和为直线与的内错角，当时，可知 “内错角相等，两直线平行” ，即，选项不符合题意； 、由于和为直线和的内错角，因此，并不能推出，选项符合题意． 故选：． 4.如图，，，平分，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，角的和差计算，等量代换，熟练掌握性质是解题的关键．先证明，，，结合，等量代换解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 知识点一 根据平行线的性质探究角的关系 1．(25-26七下·黑龙江绥化明水县第二中学·月考)如图，，平分，平分．试猜想：与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，，则，再根据同角相等、两直线平行即可解答． 【详解】证明：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 2．(24-25七下·河南巩义·期末)如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 3．已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 4．如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 【答案】(1)；；； (2)任选一个序号，理由见解析 【分析】本题主要考查对平行线的性质，熟练运用平行线的性质进行推理是解题的关键． 过P作的平行线，再根据平行线的性质、角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：选择（1）中任意一个结论，证明同上． 5．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ， ， ，， ； （2）解：如图②，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． 知识点二 根据平行线的性质求角的度数 1．(24-25七下·河南周口商水县·期末)综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 2．(24-25七·江西赣州南康区第十中学·期中)如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）先根据可得，再由可以求出的度数，最后根据得出即可得出的度数； （2）先根据角平分线定义可以求出的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25七·第1章相交线与平行线拔尖测评-·)如图，直线分别与直线交于点，且．的平分线交直线于点，的平分线交直线于点． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)平行于吗？请说明理由． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由对顶角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．(24-25七下·河北邯郸第十中学·期末)如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）结合邻补角定义求出，依据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行线的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 知识点三 平行线的性质在生活中的应用 1．(24-25七下·河南南阳邓州·期末)如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 2．(24-25七下·湖北荆州经济技术开发区·期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 3（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 4．(24-25七下·四川成都天府新区·期末)某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 知识点四 根据判定与性质求角度 1．(25-26七下·黑龙江绥棱县克音河乡学校·期中)如图，，，．将求的过程填写完整． 解： ∵（        ）       ∴______．（两直线平行，同位角相等；） 又∵，（        ） ∴．（        ） ∴．（        ） ∴______（两直线平行，同旁内角互补） 又∵，（        ） ∴______．    【答案】已知；；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定定理等知识点，理解平行线的性质和判定定理是解此题的关键． 根据题意，利用平行线的性质和判定填空即可． 【详解】解：∵（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等；） 又∵∠，（已知） ∴∠1=∠3．（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵，（已知） ∴． 故答案为：已知；；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 2．(22-23七下·山东日照莒县·期末)如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，得到，再证明，得到；       （2）由平行线的性质得到，再证明，得到，再根据，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ， （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．(24-25七下·四川泸州江阳区泸州高级中学校本部·月考)如图，点在线段的延长线上，，交于点，且，． (1)猜想与的位置关系，并证明； (2)如图，为反向延长线上一点，，的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线、角的计算，解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系． 根据内错角相等，两直线平行，可得，根据两直线平行，内错角相等，可得：，等量代换可得：，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； 由可知，过点作，根据在同一平面内平行于同一条直线的两直线互相平行，可得：，根据两直线平行同旁内角互补，可得：，从而有，结合图形可知，可得：． 【详解】（1）证明：， 理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 即， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 4．(24-25七下·湖南师大附中特立学校·期末)阅读材料，完成问题． 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形内角和等于．” 方法一：如图①，已知：，求证：．证明：如图②，过点作直线， ， ，． ， ． 方法二：……． 【发现】（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想； 【探究】（2）请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和． 【延伸】（3）如图③，，是，之间一点，平分，点在上，连接，，且．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）转化；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）从证明过程中可以体现转化的思想； （2）延长至，过点作，利用平行线的性质结合平角的定义证明即可； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质结合角的和差计算证明即可． 【详解】解：（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的转化思想， 故答案为：转化； （2）延长至，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点五 根据判定与性质证明 1．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线判定与性质，根据同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等等定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 2．(24-25七下·甘肃定西·期中)在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 3．(25-26七下·黑龙江绥化肇东尚家中学校·期中)如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 【答案】对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质定理与判定定理完成填空，即可求解． 【详解】证明： 已知，（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 4．(19-20七下·湖南张家界慈利县·期末)已知：如图，点B、E分别在上，分别交于点M、N，，． 将下列证明过程补充完整： 求证：．   证明：因为（已知）． 又因为（ ）， 所以 （等量代换）． 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换） 【答案】对顶角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． 【详解】解：因为（已知） 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）， 故答案为：对顶角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；． 5．(七下·湖北武汉七一华源中学·)如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定与性质； （1）根据，得到，即； （2）由得到，结合，，得到，即可证明； （3）由平分，得到，设，由，得到，代入后得，，由，得到，，则，整体代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得． 1．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 2．(24-25七下·北京海淀区师达中学·期中)如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 3．(24-25七·第1-3章综合模拟测试题·模拟)（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．(24-25七下·云南丽江·期末)如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作，得到，利用平行线的性质得到，，得出结论； （2）根据（1）的结论得到，利用平行线的性质得到，结合角平分线定义以及利用（1）的结论得出结果； （3）设，，得到，利用（1）的结论得出结果． 【详解】（1）解：过点E作． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）的结论得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）的结论得； （3）解：．理由如下： 如图，设，． ∵，， ∴，， ∴， 由（1）的结论得，， ∴， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $