7.2 认识证明知识清单2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该资料系统梳理“认识证明”知识体系，从定义的严谨性出发，依次阐述命题的概念、结构及“如果…那么…”形式，明确真/假命题与反例，进而过渡到公理、定理的定义及证明过程，构建从基础概念到逻辑推理的学习支架。 知识链路按“概念-结构-分类-应用”逻辑递进，每个知识点配要点解析与典型例题。习题涵盖命题判断、反例构造及证明书写，强化推理意识，帮助学生用数学语言精准表达命题，培养从数学角度分析问题的习惯，适合逻辑思维培养。

7.2 认识证明 考点1: 定义的概念 定义的概念：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. · ①定义必须是严谨的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语. ②定义具有双重性,定义本身既可以当性质用,也可以当判定用. ③常用的句式：“……是……”“……称为……”“……叫作……”. 如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义. 考点2: 命题的概念 命题的概念：判断一件事情的句子，叫作命题. · 命题的概念包含两层含义： ①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可. · 判断命题的要点：判断一个语句是不是命题应抓住以下几点： ①命题是叙述某件事情的句子； ②必须对该件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系； ③通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句等均不是命题. 考点3: 命题的结构 1. 命题的结构： 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，一般位于命题语句的前半部分，结论是由已知事项推断出的事项，位于语句的后半部分. 2. 命题常见形式： 命题通常可以写成“如果………，那么……”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件“那么”引出的部分是结论.有些命题的条件和结论不够明显，这时要认真分析，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论. · 在改写时，应适当地加一些语句(补充原来省略的部分或调换语序)以使语言通畅，但命题原意要保持不变. 考点4: 真命题、假命题、反例 1. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 2. 反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. · 识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确.可先举“特例”验证，特例成立，还不能说明为真命题，要将特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法说明结论正确.若特例不成立，则原命题一定是假命题. 练习1. 1. 下列语句中，属于定义的是( ). A.两点确定一条直线 B.线段是直线上的两点和两点间的部分 C.同角或等角的补角相等 D.内错角相等,两直线平行 2. 下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A、B两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥n为任意自然数，n2－n＋11的值都是质数吗? 其中不是命题的有( ). A.2个　　　　　　B.3个 C.4个　　　　　　D.5个 3. 下列命题：①的算术平方根是2；②因为是二元一次方程2x＋y＝1的解，所以点(2，－3)一定在直线y＝2x＋1上；③点(－2，b)(b≠0)一定在第三象限，④y＝kx＋b(k、b为常数)是一次函数.其中真命题的个数是( ). A.0　　　　　　B.1 C.2　　　　　　D.3 4. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，下列选项中，正确的是( ). A.∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α B.∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α C.∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α D.互为邻补角的两个角 5. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，判断其真假性. ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点?③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角； ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角. 6. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式： . 7. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?如果是命题，将其改写为“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论. (1)同号两数的和一定不是负数； (2)若x＝2，则1－5x＝0； (3)延长线段AB至C，使B是AC的中点； (4)互为倒数的两个数的积为1. 考点5: 公理、定理、证明 1. 公理、定理、证明的定义： 名称 概念 作用 公理 公认的真命题 作为判断其他命题真假的依据 定理 经过证明的真命题 证明 演绎推理的过程 判断命题真假 2. 证明的过程：根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据. 3. 公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据. 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明；定理是经过证明的真命题(并不是所有的真命题都是定理). →并不是所有的真命题都是定理，但定理一定是真命题. · ①证明的依据：证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些基本事实、定理、定义等作为推理论证的依据. ②证明的基本格式：“因为……，所以……”或“∵……，∴……”. ③每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 练习2. 1. 下列叙述错误的是( ). A.所有的命题都有条件和结论 B.所有的命题都是定理 C.所有的定理都是命题 D.所有的公理都是真命题 2. 在证明过程中可以作为推理依据的是( ). A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 3. 下列命题中，属于定理的是( ). A. 有理数一定是整数 B. 同位角相等，两直线平行 C. 一个角的余角不等于它本身 D. 等角的补角相等 4. 证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 巩固练习： 1. 下列句子中,不是命题的是( ). A.明天会下雨 B.两直线平行，同旁内角互补 C.三角形的内角和是180度吗 D.同角的余角相等 2. 下列命题是真命题的是( ). A．不相交的两条直线叫做平行线 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 3. 下列命题是真命题的是( ). A.在平面直角坐标系中，点P(－3，0)在y轴上 B.若＋＝0，则x＋y＝13 C.同旁内角互补 D.在一次函数y＝－2x＋3中，y随着x的增大而增大 4. 下列命题是真命题的是( ). A. 如果a2＝b2，那么a＝b B. 一年有365天 C. 0没有相反数 D. 在一个三角形中，最多有一个钝角 5. 能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( ). A. 　　　　　　B. C. 　　　　　　D. 6. 判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为( ). A. －2　　　　B.－　　　　C.0　　　　 D. 7. 能说明命题“对于任意实数a，都有a2＞0”是假命题的反例为( ). A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝0 D．a＝1 8. 下列命题是假命题的有( ). ①若a2＝b2，则a＝b； ②一个角的余角大于这个角； ③若a，b是有理数，则|a＋b|＝|a|＋|b|； ④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 写出命题“两直线平行，同位角相等”的结论部分： .  10. 把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果……那么……”的形式是　 　.  11. 能说明命题“若a＋b＞0，则a＞0，b＞0”是假命题的一个反例可以是： ⁠. 12. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，BE∥CF，现有如下3个选项：①AE∥DF；②AB＝CD；③BE＝CF.从其中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题.并说明理由. 条件： ， ，结论 .(只需填写序号)  13. 命题“若a是自然数，则代数式(5a＋2)(5a＋1)＋3的值是5的倍数”是真命题还是假命题?如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明. 14. 证明命题“三角形一条边上的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题.. 已知：如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F. 求证：BE＝CF. 15. 证明命题“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题.(请补全图形、填空并证明) 已知：如图， ，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线. 求证： . 证明： 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 认识证明 考点1: 定义的概念 定义的概念：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. · ①定义必须是严谨的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语. ②定义具有双重性,定义本身既可以当性质用,也可以当判定用. ③常用的句式：“……是……”“……称为……”“……叫作……”. 如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义. 考点2: 命题的概念 命题的概念：判断一件事情的句子，叫作命题. · 命题的概念包含两层含义： ①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可. · 判断命题的要点：判断一个语句是不是命题应抓住以下几点： ①命题是叙述某件事情的句子； ②必须对该件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系； ③通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句等均不是命题. 考点3: 命题的结构 1. 命题的结构： 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，一般位于命题语句的前半部分，结论是由已知事项推断出的事项，位于语句的后半部分. 2. 命题常见形式： 命题通常可以写成“如果………，那么……”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件“那么”引出的部分是结论.有些命题的条件和结论不够明显，这时要认真分析，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论. · 在改写时，应适当地加一些语句(补充原来省略的部分或调换语序)以使语言通畅，但命题原意要保持不变. 考点4: 真命题、假命题、反例 1. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 2. 反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. · 识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确.可先举“特例”验证，特例成立，还不能说明为真命题，要将特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法说明结论正确.若特例不成立，则原命题一定是假命题. 练习1. 1. 下列语句中，属于定义的是( B ). A.两点确定一条直线 B.线段是直线上的两点和两点间的部分 C.同角或等角的补角相等 D.内错角相等,两直线平行 2. 下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A、B两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥n为任意自然数，n2－n＋11的值都是质数吗? 其中不是命题的有( B ). A.2个　　　　　　B.3个 C.4个　　　　　　D.5个 3. 下列命题：①的算术平方根是2；②因为是二元一次方程2x＋y＝1的解，所以点(2，－3)一定在直线y＝2x＋1上；③点(－2，b)(b≠0)一定在第三象限，④y＝kx＋b(k、b为常数)是一次函数.其中真命题的个数是( B ). A.0　　　　　　B.1 C.2　　　　　　D.3 4. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，下列选项中，正确的是( C ). A.∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α B.∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α C.∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α D.互为邻补角的两个角 5. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，判断其真假性. ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点?③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角； ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角. 答案：①②不是命题；③④⑤⑥是命题，③④⑥是真命题，⑤是假命题. 6. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 . 7. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?如果是命题，将其改写为“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论. (1)同号两数的和一定不是负数； (2)若x＝2，则1－5x＝0； (3)延长线段AB至C，使B是AC的中点； (4)互为倒数的两个数的积为1. 答案： (1)是命题.改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数. 条件：两个数同号，结论：这两个数的和一定不是负数. (2)是命题.改写：如果x＝2，则1－5x＝0.条件：x＝2，结论：1－5x＝0. (3)不是命题. (4)是命题.改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 条件：两个数互为倒数，结论：这两个数的积为1. 考点5: 公理、定理、证明 1. 公理、定理、证明的定义： 名称 概念 作用 公理 公认的真命题 作为判断其他命题真假的依据 定理 经过证明的真命题 证明 演绎推理的过程 判断命题真假 2. 证明的过程：根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据. 3. 公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据. 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明；定理是经过证明的真命题(并不是所有的真命题都是定理). →并不是所有的真命题都是定理，但定理一定是真命题. · ①证明的依据：证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些基本事实、定理、定义等作为推理论证的依据. ②证明的基本格式：“因为……，所以……”或“∵……，∴……”. ③每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 练习2. 1. 下列叙述错误的是( B ). A.所有的命题都有条件和结论 B.所有的命题都是定理 C.所有的定理都是命题 D.所有的公理都是真命题 2. 在证明过程中可以作为推理依据的是( B ). A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 3. 下列命题中，属于定理的是( D ). A. 有理数一定是整数 B. 同位角相等，两直线平行 C. 一个角的余角不等于它本身 D. 等角的补角相等 4. 证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 解：已知：如图，b⊥a，c⊥a.求证：b∥c. 证明：因为b⊥a，c⊥a， 所以∠1＝∠2＝90°， 所以b∥c. 巩固练习： 1. 下列句子中,不是命题的是( C ). A.明天会下雨 B.两直线平行，同旁内角互补 C.三角形的内角和是180度吗 D.同角的余角相等 2. 下列命题是真命题的是( B ). A．不相交的两条直线叫做平行线 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 3. 下列命题是真命题的是( B ). A.在平面直角坐标系中，点P(－3，0)在y轴上 B.若＋＝0，则x＋y＝13 C.同旁内角互补 D.在一次函数y＝－2x＋3中，y随着x的增大而增大 4. 下列命题是真命题的是( D ). A. 如果a2＝b2，那么a＝b B. 一年有365天 C. 0没有相反数 D. 在一个三角形中，最多有一个钝角 5. 能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( C ). A. 　　　　　　B. C. 　　　　　　D. 6. 判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为( A ). A. －2　　　　B.－　　　　C.0　　　　 D. 7. 能说明命题“对于任意实数a，都有a2＞0”是假命题的反例为( C ). A．a＝－2 B．a＝－1 C．a＝0 D．a＝1 8. 下列命题是假命题的有( D ). ①若a2＝b2，则a＝b； ②一个角的余角大于这个角； ③若a，b是有理数，则|a＋b|＝|a|＋|b|； ④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 写出命题“两直线平行，同位角相等”的结论部分： 同位角相等 .  10. 把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果……那么……”的形式是　如果在等式两边加同一个数,那么结果仍然是等式　.  11. 能说明命题“若a＋b＞0，则a＞0，b＞0”是假命题的一个反例可以是： a＝－2，b＝3(答案不唯一) ⁠. 12. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，BE∥CF，现有如下3个选项：①AE∥DF；②AB＝CD；③BE＝CF.从其中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题.并说明理由. 条件：　①　，　②　，结论　③　.(只需填写序号) (答案不唯一) 13. 命题“若a是自然数，则代数式(5a＋2)(5a＋1)＋3的值是5的倍数”是真命题还是假命题?如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明. 解：是真命题.证明如下：(5a＋2)(5a＋1)＋3＝25a2＋15a＋5＝5(5a2＋3a＋1). ∵a是自然数，∴5a2＋3a＋1是自然数，(5a＋2)(5a＋1)＋3的值是5的倍数. 14. 证明命题“三角形一条边上的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题.. 已知：如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是 BC边上的中线(已知)， ∴BD＝CD(三角形中线的定义) ∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F(已知)， ∴∠DEB＝∠CFD＝90°(垂直的定义). 在△BDE与△CDF中，∠BED＝∠CFD(已证)，∠BDE＝∠CDF(对顶角的性质)，BD＝CD(已证)， ∴△BDE≌△CDF(AAS) ∴BE＝CF(全等三角形的性质)。 ∴命题“三角形一条边上的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题. 15. 证明命题“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题.(请补全图形、填空并证明) 已知：如图，　△ABC≌△A'B'C ，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线. 求证：　AD＝A'D'  . 证明： 答案：补全图形如下： 证明：∵△ABC≌△A'B'C'， ∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'. ∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线, ∴∠BAD＝∠BAC，∠B'A'D'＝∠B'A'C'， ∴∠BAD＝∠B'A'D'， ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)， ∴AD＝A'D'. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $