专题02 实数和二次根式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学专题知识清单系统整合了“实数与二次根式”核心内容，涵盖平方根、立方根、无理数与实数、二次根式定义性质及运算五大知识模块，构建了从基础概念辨析到运算应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类”双轨模式呈现，5大知识清单梳理定义性质，7类题型搭配例题与变式题分层训练，如通过估算无理数范围培养抽象能力，二次根式化简题强化运算能力。特别设计跨知识点综合题，助力学生形成知识网络，教师可直接用于专题复习或分层教学，提升课堂效率。

专题02 实数与二次根式（5知识&7题型） 【清单01】平方根与算术平方根 ① 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根.正数的平方根为“”. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. ② 算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，零的算数平方根是0. 【清单02】立方根 立方根：如果，那么叫做的立方根. 的立方根为“”. 性质：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数. 【清单03】无理数与实数 ① 无理数：无限不循环小数叫做无理数. ② 实数：有理数和无理数统称为实数. ③ 实数与数轴：实数和数轴上的点是一一对应的. ④ 实数的分类： 【清单04】二次根式定义及性质 ① 二次根式定义：式子叫做二次根式 ② 二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用式子表示为 ；一个非负数求算术平方根再平方等于这个数本身，用式子表示为. 【清单05】二次根式运算 ① 最简二次根式：最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数不含能开的尽的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式. ② 二次根式乘法运算：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根，用式子表示为. ③ 二次根式除法运算：两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根，用式子表示为. ④ 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ⑤ 二次根式加减法运算：先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 【题型一】平方根 【例1】16的平方根为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数，16是正数，因此其平方根为 【详解】∵， ∴ 16的平方根是， 故选：A 【变式1-1】下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 【变式1-2】如果一个正数的一个平方根是5，那么这个正数的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，这个正数的一个平方根是， ∴另一个平方根为． 故答案为：． 【变式1-3】已知一个正数的两个平方根是与，求的值； 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，解一元一次方程，掌握平方根的概念及计算是解题的关键．求一个数的平方根：根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是与， ，解得，； 【例2】若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式2-1】已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出的值，再求出，然后计算的值，最后求其平方根． 【详解】解：和是正数的两个平方根， ， 解得， 则， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 【变式2-2】已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式2-3】（1）已知的两个平方根是与，且的算术平方根是3．求的立方根； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，幂的乘方和同底数幂的除法． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； ， 的立方根是2． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-4】已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，算术平方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，，的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式2-5】一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握正数的平方根是两个互为相反数，是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解，再求，最后计算． 【详解】由题意，正数的两个平方根互为相反数，因此． 化简，得， 解得． 代入平方根表达式：，． ∴． 则． 故答案为：． 【变式2-6】一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a的值，再代入求平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以， 化简得：， 解得：， 代入得两个平方根分别为：和， 故这个正数为． 故答案为：1． 【变式2-7】已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结果可求出这个正数的算术平方根，由此即可求解． 【详解】（1）解：与是正数的两个不相等的平方根， ， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 即的值为． 【例3】求下列各式中的值：． 【答案】 或 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 【变式3-1】已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查平方根、绝对值的概念以及有理数的加法，关键利用异号条件确定组合． 根据 和 求出和的可能值，再结合 确定异号组合，最后计算的值． 【详解】解： ， 或 ， ， 或 ， 又， 和 异号， 当 时，，则 ； 当 时，，则 ， 的值为 或 ， 故选：B． 【变式3-2】解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 【变式3-3】有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式3-4】已知，若，则x的值等于 ． 【答案】86或 【分析】本题考查平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 将7396转化为，再利用平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即x的值等于86或； 故答案为：86或； 【变式3-5】将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长． 【详解】解：棱长为的正方体体积为， 设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为， 由题知长方体实心铜块的高为，故体积为， 则，即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为正数， ∴， 因此，底面正方形的边长为． 故选：B． 【题型二】算术平方根 【例1】16的算术平方根等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根等于4； 故选A． 【变式1-1】下列说法正确的是 （    ） A．若， 则是负数 B．一个数的绝对值一定是正数 C．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 D．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是 【答案】C 【分析】本题考查绝对值、算术平方根等知识，熟记绝对值、算术平方根定义及性质是解决问题的关键． 根据绝对值和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A：由可得，根据绝对值意义可得，选项中的原说法错误，不符合题意； B：一个数的绝对值是非负数，不能保证一定是正数，选项中的原说法错误，不符合题意； C：若一个数小于它的绝对值，即，则，这个数是负数，选项中的原说法正确，符合题意； D：若某数的绝对值和算术平方根都是本身，则该数非负，除了还有，选项中的原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，绝对值，算术平方根．根据绝对值、负整数指数幂意义，算术平方根化简计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，负整数指数幂的运算和零次幂的运算，先计算绝对值和负整数、零指数幂，以及算术平方根，再进行加减计算即可 【详解】解： 【例3】若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 【变式3-1】已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件，根据题意得出的值是解题关键．根据非负数的性质，平方根、绝对值和平方项均非负，其和为零则每个部分均为零，由此求出的值，再根据三角形三边关系判断形状． 【详解】解：∵ ，， ，且， ∴，，， 解得， ∴的三边长分别为， ∵， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【变式3-2】已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【答案】(1)；； (2)，该式子的值不随点的运动而改变． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握实数的性质，非负数的性质，数轴知识． （1）利用非负数的性质计算； （2）利用数轴知识绝对值的定义计算． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，且、满足， ∴ ，，， 则，， 故答案为：；；； （2）∵点在、两点之间运动点不与点、重合， ，，，， ， 该式子的值不随点的运动而改变． 【例4】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式4-1】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 【变式4-2】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 【例5】根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 【变式5-1】阅读材料，完成下列问题． ， ． 的整数部分是2，小数部分是． ， 的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)的整数部分是5，小数部分是 (2)16 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握求无理数整数部分、小数部分的方法是解决问题的关键． （1）阅读材料，理解材料中的计算方法，直接求解即可得到答案； （2）由材料中的方法求出，，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ． 的整数部分是5，小数部分是； （2）解：， ． ． 的整数部分是1，小数部分是， 即，． ． 【变式5-2】把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 【变式5-3】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【变式5-4】已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 【题型三】立方根 【例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】若一个数的立方根等于它本身，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，立方根概念理解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：一个数的立方根等于它本身， 这个数为或或， 故选：D． 【变式1-2】下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的性质判断各选项是否正确即可得出． 【详解】∵的平方根是， ∴ A正确，故该选项不符合题意； ∵ 任何实数都有立方根，是实数，有立方根， ∴ B不正确，故该选项符合题意； ∵ 的算术平方根是， ∴ C正确，故该选项不符合题意； ∵的立方根是， ∴ D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【变式1-4】2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 【例2】已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和求一个数的立方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求出的值，再求出，然后计算，最后求其立方根． 【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴ ， 即， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的立方根为， 故答案为：． 【变式2-1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 根据立方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】实数立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题关键． 【详解】解：实数的立方根是， 故答案为：． 【变式2-3】的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要是利用立方根的定义来求解．先明确立方根的概念，即如果一个数的立方等于，那么叫做的立方根．然后找到哪个数的立方等于．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式2-4】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义和立方根的求法，先算出，再求出倒数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【变式3-1】已知是8的立方根，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求解可得． 【详解】∵是8的立方根， ∴， ∴2的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查立方根与算术平方根，掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键． 【变式3-2】若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【变式3-3】若，则x的立方根是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 【变式3-4】已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 【变式3-5】有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【变式3-6】比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【例4】已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值． 先求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【变式4-1】甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． （1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ； （2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，列代数式，无理数的估算，整式的加减等知识，理解题中游戏规则是解题的关键． （1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解； （2）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： （2）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，， ∵与互为相反数， ∴，则，，， 又∵，，，， 即，，，， ∴， ∵，，，，，，，都是非零整数， 当时，为最小值， ∴这八个数之和的最小值为． 故答案为：． 【题型四】无理数与实数 【例1】下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 【变式1-1】在实数、、、中，是无理数的为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：在实数、、、中，是无理数的为． 故答案为：． 【例2】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式2-1】的倒数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 故答案为：，． 【变式2-2】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】四个互不相等的实数在数轴上的对应点分别为，其中，为整数，． （1）若，则中与距离最小的点为 ； （2）若在、、中，点与点的距离最小，则符合条件的点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． （1）若，，，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A； （2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个． 【详解】解：（1）若，则， ，，， ，B，C中与M距离最小的点为点 故答案为： （2）． ①当时，．，，，此时最小； ②当时，．，，，此时最小； ③当时，．，，，此时最小； 所以符合条件的点C有3个． 故答案为：3． 【变式3-1】如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 【变式3-2】如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 【变式3-3】把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：， ，即， ， ， 则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故答案为：． 【题型五】二次根式定义及性质 【例1】下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【例2】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须是非负数再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 代数式有意义， ∴. 解得：. 【变式2-1】在有理数中，要使二次根式有意义，则不可以取的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即，解得，在给定的有理数、2、 中，只有 不 满足此条件，即可解决． 【详解】解：要使二次根式 有意义，需满足 ，即 ， 在有理数 中，，，但 ，故 不可以取 ； 故答案为 ． 【变式2-2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 【例3】当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 【变式3-1】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式3-2】若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 【变式3-3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【例4】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4-1】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质，，然后计算绝对值即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 【变式4-2】实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式4-3】当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．根据题意得到，据此计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 【变式4-4】已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【变式5-1】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【变式5-2】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 【变式5-3】观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【题型六】二次根式的乘除法 【例1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘时，被开方数相乘，再化简． 【详解】解：． 故答案为． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用二次根式的性质化简是解题的关键． 先根据二次根式的运用法则计算，再根据二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】计算 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和积的乘方，熟知运算法则是关键．利用二次根式的乘法运算和积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 【例2】计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 【变式2-1】 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式2-2】计算： . 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【例3】下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键；因此此题可根据最简二次根式的条件“被开方数不能含有开得尽方的数或因式及被开方数不能含有分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 【变式3-1】下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．的被开方数是整式，且无平方因式，是最简二次根式； B．的被开方数含平方因式，可化为，不是最简二次根式； C．，不是最简二次根式； D．，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：A． 【变式3-2】二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 判断每个二次根式是否满足最简二次根式的条件：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于：被开方数可因式分解为，但无完全平方因式，故为最简二次根式； 对于：被开方数含（因），可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数，分母4是平方数，可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数为分式，含分母，故不是最简二次根式； 综上，只有1个是最简二次根式， 故选：B． 【例4】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化简分母中的根号并有理化； 【详解】解：． 故答案为： ． 【变式4-1】设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 【变式4-2】已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】化简：= ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，由于 ，被开方数 ，平方根有意义．化简时，将根号内的表达式变形，利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：因为 ，所以 ， ∴， ∵，∴， ∴ 故答案为：． 【变式4-4】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【变式4-5】当时，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【例5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握开平方和实数的乘除运算是解题的关键，先利用开平方将式子化简，再利用实数的乘除混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式5-4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方差公式计算即可； （）利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【例6】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式6-1】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【变式6-2】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 【例7】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． ． 当时， 原式． 【变式7-1】先化简，再求值： 其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意计算的准确性． 【详解】解:原式 ∴原式 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式7-3】已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解二元一次方程组，分母有理化． 根据二次根式的非负性、绝对值的非负性列二元一次方程组，求出a、b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即， 解得：， ∴ ． 【题型七】二次根式的加减法 【例1】下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减，只有被开方数相同的二次根式才能合并．将各选项的二次根式进行化简，再判断被开方数是否与的被开方数相同，即可解答． 【详解】解：A、与的被开方数相同，它们能合并； B、，不能与合并； C、，能与合并； D、，能与合并． 故选：B． 【变式1-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 【变式1-2】已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 【变式1-3】二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式1-4】已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 【例2】计算． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的加减、零指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式、零指数幂、绝对值的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算； （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握各运算法则是关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法，再计算减法即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式展开和计算除法，再进行加减运算即可； （3）利用乘法运算律计算，然后化简，再计算加减法即可； （4）先根据完全平方公式展开，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例4】比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握把根号前面的数变成它的平方移到根号内．先把各个根号前面的数变成它的平方移到根号内，然后比较被开方数的大小，从而比较其算术平方根的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式4-1】比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 【变式4-2】比较大小：与． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，直接计算差值不好比较，采用分母有理化法比较倒数即可． 【详解】解：， 同理，， ∵， ∴， ∴． 【例5】已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用已知条件计算代数式的值，通过计算和的值，再利用完全平方公式求，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 先对进行分母有理化得，再利用完全平方公式化简，将的值代入所求的化简后的式子，进行计算求解即可． 【详解】解：对进行分母有理化得： 所求表达式化简得：， 由于，则 因此． 答：的值为：． 【变式5-2】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键． （1）根据题意可得，、，据此进行化简即可； （2）先化简，求出， ①提取公因数化简整式，再利用计算即可； ②利用提取公因式法化简整式，再利用计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为，所以， 所以，即，所以， ① ； ② ． 【变式5-3】已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【变式5-4】已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式5-5】在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． (2)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． (3)已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 【答案】(1)1911或1119 (2)岁，理由见解析 (3)17和64，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． （3）先把，结合，得到为最小的因式，即，解得，即可解答． 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是31岁． （3）解： ， ∵取正整数， ∴， 即， ∴为最小的因式， 即， 解得， ∴ 答：其他两个因式码为17和64． 【例6】高斯记号，，分别称为取整符号和取小符号，即表示不超过的最大整数，表示的非负小数部分．定义：；例如：，． （1） ； ． （2）所有可能取值为 ． （3）对于（，为常数），当时，；当时，，则 ． 【答案】 5 0或1 【分析】本题考查了新定义实数的运算，求代数式的值，理解题干中所给新定义是解此题的关键． （1）根据表示不超过的最大整数，表示的非负小数部分，即可得解； （2）先计算得出，再分情况分别讨论即可得解； （3）由题意可得，，求出，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵表示不超过的最大整数，表示的非负小数部分． ∴，， 故答案为：5，； （2）， 当时，，， 当时，， 当时，，， 综上所述，所有可能取值为0或1， 故答案为：0或1； （3）∵对于（，为常数），当时，；当时，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． (2)补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） (3)计算 (4)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)16 (4)不满足，见解析 【分析】（1）仔细观察等式的特点，写出一个符合规律的等式即可，答案不唯一． （2）根据式子的特点归纳新定义即可； （3）根据新定义解答即可计算； （4）根据定义，计算判断结果是否相等，相等，则满足，反之，不满足． 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，答案如下： ， 故答案为：． （2）解：根据式子的特点，得到， 故答案为：． （3）解： ． （4）解：根据题意，得，， 由， 故， 故新定义的运算不满足交换律． 【变式6-2】对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定． (1)直接写出的值为_____； (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)在条件（2）下，直接写出_____． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据题干的新定义列式计算即可得解； （2）由数轴可得： ，得出，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解； （3）由（2）可得，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解． 本题考查了新定义运算、绝对值的意义、利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-3】已知x，y，k都是实数，若，则称x与y是关于k的“和谐数对”． (1)与______是关于的“和谐数对”；3与______是关于1的“和谐数对”．与______是关于的“和谐数对”． (2)若，判断与是否是关于的“和谐数对”，并说明理由． (3)若p与q是关于的“和谐数对”，且，直接写出的值． 【答案】(1)1，，； (2)与不是关于的“和谐数对”，理由见解析 (3) 【分析】（1）分别设各个数的和谐数，然后根据已知条件中的新定义列出方程，解方程求出答案即可； （2）根据已知条件求出，再求出与的和与积，从而求出它们的商，最后根据新定义进行判断即可； （3）把已知条件中的等式通分得，再根据新定义和完全平方公式求出，最后再次利用完全平方公式求出，从而可求出的值． 本题主要考查了实数的运算，准确理解新定义的含义，熟练掌握分母有理化的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：设2与x是关于的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与1是关于的“和谐数对”； 设3与y是关于1的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与是关于1的“和谐数对”； 设与m是关于的“和谐数对”， ， 整理得， ， 经经验，是原方程的解， 与是关于的“和谐数对”； 故答案为：1，，； （2）解：不是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，与不是关于的“和谐数对”； （3）解：， 通分得， ， 与是关于的“和谐数对”， ，， ，， ，， ， ， 限公2 / 71 限公1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数与二次根式（5知识&7题型） 【清单01】平方根与算术平方根 ① 平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根.正数的平方根为“”. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. ② 算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，零的算数平方根是0. 【清单02】立方根 立方根：如果，那么叫做的立方根. 的立方根为“”. 性质：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数. 【清单03】无理数与实数 ① 无理数：无限不循环小数叫做无理数. ② 实数：有理数和无理数统称为实数. ③ 实数与数轴：实数和数轴上的点是一一对应的. ④ 实数的分类： 【清单04】二次根式定义及性质 ① 二次根式定义：式子叫做二次根式 ② 二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用式子表示为 ；一个非负数求算术平方根再平方等于这个数本身，用式子表示为. 【清单05】二次根式运算 ① 最简二次根式：最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数不含能开的尽的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式. ② 二次根式乘法运算：两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根，用式子表示为. ③ 二次根式除法运算：两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根，用式子表示为. ④ 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. ⑤ 二次根式加减法运算：先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 【题型一】平方根 【例1】16的平方根为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式1-1】下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【变式1-2】如果一个正数的一个平方根是5，那么这个正数的另一个平方根是 ． 【变式1-3】已知一个正数的两个平方根是与，求的值； 【例2】若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D．4或 【变式2-1】已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是 ． 【变式2-2】已知，则的平方根是 ． 【变式2-3】（1）已知的两个平方根是与，且的算术平方根是3．求的立方根； （2）已知，，求的值． 【变式2-4】已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式2-5】一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【变式2-6】一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数是 ． 【变式2-7】已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 【例3】求下列各式中的值：． 【变式3-1】已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【变式3-2】解方程：． 【变式3-3】有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【变式3-4】已知，若，则x的值等于 ． 【变式3-5】将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【题型二】算术平方根 【例1】16的算术平方根等于（   ） A．4 B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是 （    ） A．若， 则是负数 B．一个数的绝对值一定是正数 C．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 D．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是 【例2】计算：； 【变式2-1】计算：． 【例3】若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【变式3-1】已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 【变式3-2】已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【例4】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【变式4-1】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【变式4-2】估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【例5】根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【变式5-1】阅读材料，完成下列问题． ， ． 的整数部分是2，小数部分是． ， 的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式5-2】把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 【变式5-3】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【变式5-4】已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 【题型三】立方根 【例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若一个数的立方根等于它本身，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或1或 【变式1-2】下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【变式1-3】化简： ． 【变式1-4】2是 的立方根； 的立方根是． 【例2】已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【变式2-1】化简： ． 【变式2-2】实数立方根是 ． 【变式2-3】的立方根是 ． 【变式2-4】的倒数是 ． 【例3】已知，则的值为 ． 【变式3-1】已知是8的立方根，则的算术平方根是 ． 【变式3-2】若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【变式3-3】若，则x的立方根是 【变式3-4】已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式3-5】有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【变式3-6】比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 【例4】已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是 ． 【变式4-1】甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． （1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ； （2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ． 【题型四】无理数与实数 【例1】下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【变式1-1】在实数、、、中，是无理数的为 ． 【例2】的相反数是 ． 【变式2-1】的倒数是 ，的相反数是 ． 【变式2-2】 ． 【例3】四个互不相等的实数在数轴上的对应点分别为，其中，为整数，． （1）若，则中与距离最小的点为 ； （2）若在、、中，点与点的距离最小，则符合条件的点有 个． 【变式3-1】如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【变式3-2】如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【变式3-3】把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【题型五】二次根式定义及性质 【例1】下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【例2】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】在有理数中，要使二次根式有意义，则不可以取的值是 ． 【变式2-2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】当时，二次根式的值是 ． 【变式3-1】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【变式3-2】若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【变式3-3】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【例4】计算：． 【变式4-1】 ． 【变式4-2】实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】当时，代数式的值是 ． 【变式4-4】已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【变式5-1】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【变式5-3】观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【题型六】二次根式的乘除法 【例1】计算 ． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算 ． 【例2】计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2-1】 ． 【变式2-2】计算： . 【例3】下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例4】化简的结果是 ． 【变式4-1】设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【变式4-2】已知，化简 ． 【变式4-3】化简：= ． 【变式4-4】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【变式4-5】当时，化简： ． 【例5】计算：． 【变式5-1】计算： 【变式5-2】计算：． 【变式5-3】计算： 【变式5-4】计算： (1) (2) 【例6】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式6-1】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【变式6-2】若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【例7】先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】先化简，再求值： 其中． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】已知、满足，求的值． 【题型七】二次根式的加减法 【例1】下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【变式1-2】已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是 ． 【变式1-3】二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【变式1-4】已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【例2】计算． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【例3】计算： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【例4】比较大小： （填“”，“”或“”）． 【变式4-1】比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 【变式4-2】比较大小：与． 【例5】已知，，则的值是 ． 【变式5-1】已知，求的值． 【变式5-2】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【变式5-3】已知，，则的值为 ． 【变式5-4】已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【变式5-5】在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． (2)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． (3)已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 【例6】高斯记号，，分别称为取整符号和取小符号，即表示不超过的最大整数，表示的非负小数部分．定义：；例如：，． （1） ； ． （2）所有可能取值为 ． （3）对于（，为常数），当时，；当时，，则 ． 【变式6-1】我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． (2)补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） (3)计算 (4)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【变式6-2】对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定． (1)直接写出的值为_____； (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)在条件（2）下，直接写出_____． 【变式6-3】已知x，y，k都是实数，若，则称x与y是关于k的“和谐数对”． (1)与______是关于的“和谐数对”；3与______是关于1的“和谐数对”．与______是关于的“和谐数对”． (2)若，判断与是否是关于的“和谐数对”，并说明理由． (3)若p与q是关于的“和谐数对”，且，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $