19.2 二次根式乘法与除法（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

19.2 二次根式乘法与除法 知识点一 最简二次根式的判断 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质；二次根式的最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子． 【详解】解： A． ，不是最简二次根式，故错误； B． ，不是最简二次根式，故错误； C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式； B、，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 知识点二 化为最简二次根式 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）将化为最简二次根式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式性质，进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）把化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三 已知最简二次根式求参数 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 知识点四 二次根式的乘法 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律，二次根式的乘法运算法则即可求出答案； （）根据平方差公式，二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，乘方运算，解题的关键是正确运用法则对二次根式进行化简．先根据二次根式的乘法，积的算术平方根的性质，二次根式的乘方法则化简二次根式，最后合并同即可． 【详解】解：， ， ， ． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【答案】28 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据乘法分配律进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点五 二次根式的除法 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点六 二次根式的乘除混合运算 1．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：， 解得， 即的取值范围是； ②∵ ， 而， ∴； （2）解：由（1）得， 而， 两式相加得到， 即， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2 二次根式乘法与除法 知识点一 最简二次根式的判断 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 知识点二 化为最简二次根式 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）将化为最简二次根式： ． 3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）把化成最简二次根式为 ． 知识点三 已知最简二次根式求参数 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 知识点四 二次根式的乘法 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）计算：． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 知识点五 二次根式的除法 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 知识点六 二次根式的乘除混合运算 1．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $