19.1 二次根式及其性质（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

19.1 二次根式及其性质 知识点一 二次根式的定义 1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西玉林·月考）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 知识点三 求二次根式的参数 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 3．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 知识点四 二次根式有意义的条件 1．（2024·湖南·模拟预测）请写出一个使有意义的a的值 ． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式有意义时，x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 知识点五 二次根式的化简 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： ； ． 2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ． 3．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ． 4．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）化简 ． 1．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 3．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 二次根式及其性质 知识点一 二次根式的定义 1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 4．（24-25八年级下·广西玉林·月考）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 知识点二 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点三 求二次根式的参数 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 知识点四 二次根式有意义的条件 1．（2024·湖南·模拟预测）请写出一个使有意义的a的值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负，要使有意义，需满足被开方数，从而确定a的取值范围，再从中选取符合条件的数即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， ∴（答案不唯一，只要符合即可）， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式有意义时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 知识点五 二次根式的化简 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了利用二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质：和，即可得到结果． 【详解】解：；． 故答案为：2；． 2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根， 【详解】解：． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质及应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据二次根式的性质求解即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．先分析的正负情况，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 1．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区间”的定义是解题的关键． （1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $