第03课 “分数王国”与“小数王国”（导学案）五年级数学寒假自学课（北师大版）

第03课 “分数王国”与“小数王国” 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）结合“分数王国”与“小数王国”的比较情境，理解分数与小数互化的意义，掌握分数与小数互化的基本方法，能正确进行有限小数与分数的互化。 （2）能运用分数与小数互化的方法比较分数和小数的大小，解决简单的实际问题，提升数感和运算能力。 （3）通过分数与小数的联系与转化，感受数学知识的内在关联，体会数学在解决实际问题中的价值。 2.重难点 重点：掌握分数与小数互化的方法，能正确进行有限小数与分数的互化。 难点：分数化小数时除不尽的情况处理（如保留近似值），以及运用互化方法解决比较大小的实际问题。 模块二 预习引导 一、旧知回顾 分数与小数的基础认知： （1）分数的意义与分数与除法的关系：（），如； （2）小数的意义：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……如表示，表示； （3）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；小数的基本性质：小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数大小不变。 二、情境探究：为什么需要“互化”？ 情境问题：“分数王国”的和“小数王国”的，哪个数更大？直接比较这两个数有困难，怎么办？ 思考方向： （1）能否把分数转化成小数再比较？比如，再与比较； （2）能否把小数转化成分数再比较？比如，再与比较； （3）小结：当分数和小数比较大小时，把它们转化成同一种数（都化成分数或都化成小数）会更方便。 三、互化方法探究 （一）分数化小数 观察算式：，，。 发现规律：分数化小数，可以用分子除以分母（依据分数与除法的关系）。 尝试计算： （1）（小数）； （2）（除不尽时，一般保留两位小数）。 （二）小数化分数 观察例子：，（约分），。 发现规律：小数化分数，先根据小数位数确定分母（一位小数→分母是10，两位小数→分母是100，三位小数→分母是1000……），分子是小数部分的数字，最后约成最简分数。 尝试转化： （1）（最简分数）； （2）（最简分数）。 四、实际问题应用 情境分析：下表是“分数王国”和“小数王国”的数字卡片比较大小，请用互化方法解决。 分数王国 小数王国 哪个更大？（填“分数”或“小数”） （） （） （） 方法总结：解决分数与小数互化问题的步骤： ①确定转化方向（化分数还是化小数，根据数字特点选择更简单的方法，如比化分数更简单）； ②按规则转化（分数化小数：分子÷分母；小数化分数：写成分母是10、100……的分数再约分）； ③比较或计算，得出结果。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面数中，最大的是（　　）。 A． B．0.99 C． 【答案】C 【解析】【解答】解：和0.99都小于1，大于1，最大。 故答案为：C。 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。 2．如下图，被挡住的数字是(　　)。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解析】【解答】解：0.6=， 0.7=， ＜＜， 所以， 被挡住的数字是 13。 故答案为：B。 【分析】把0.6和0.7化成分母是20的分数，再比较分子的大小即可。 3．把3，π，3.14从大到小排列是(　　)。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： 从大到小排列是 故答案为：A 【分析】把 3，π 转化成小数，在比较大小即可。 4．从家去图书馆，爸爸用了时，丽丽用了0.4时，（　　）。 A．爸爸走得比较快 B．丽丽走得比较快 C．无法比较 D．他们走得一样快 【答案】A 【解析】【解答】解：时=0.25时，0.25时＜0.4时，所以爸爸用时短、走的快。 故答案为：A。 【分析】本题先将分数变形为小数，然后对比。因为是时间对比，时间短的则速度快。 5．学校举行200米短跑测试，小林用了分钟，小强用了分钟，小刚用了0.56分钟，（　　）的成绩最好。 A．小林 B．小强 C．小刚 【答案】A 【解析】【解答】解：，； 0.6＞0.56＞0.15； 所以小林的成绩最好； 故答案为：A。 【分析】在相同距离内，用的时间越少，速度越快，成绩越好。 6．智能时代机器生产大大提高了效率。工厂要从甲、乙、丙三款机器人中选择一款购买。已知测试同一批任务，甲款机器人用了0.5小时，乙款机器人用了15分钟，丙款机器人用了小时，则工厂会选择（　　）款机器人。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都可以 【答案】C 【解析】【解答】解：15分钟=小时， 0.5= =， =， =， 所以＜＜， 所以工厂会选择丙款机器人。 故答案为：C。 【分析】把15分钟化成小时，再比较0.5、、的大小，值越小，效率越高，据此解答。 二、填空题 7．在横线上填上“>”“<”或“=” 　 　 3.24　 　 　 　 　 　 【答案】>；<；=；= 【解析】【解答】解：>；3.24<； =；=。 故答案为：>；<；=；=。 【分析】同分子分数比大小，分母越大，分数越小； 比较小数和分数的大小，可以把分数化成小数，然后进行比较； 带分数化假分数，分母不变，用整数部分乘分母再加上原来的分子作分子； 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 8．在 ▲ 里填上“>”“<"或“=”。 1.8　 　 　 　 　 　 【答案】>；=；< 【解析】【解答】解：=3÷2=1.5，1.8＞， ==， +=，+＜。 故答案为：＞；=；＜。 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分子和分母都不相同的分数比较大小，可以化为同分母分数比较大小，也可以都化为小数再比较大小。 9．在横线上填“>”“<”或“=”。 0　 　-5.6 　 　0.625 25%　 　2.5 1　 　-2 【答案】>；=；<；> 【解析】【解答】解：0>-5.6 =0.625 25%=0.25<2.5 1>-2 故答案为：>，=，<，>。 【分析】正数>0>负数；分数化为小数：用分子除以分母；百分数化为小数：去掉百分号，小数点向左移动两位；小数比较大小：从高数位向低数位依次比较。 10．1、、0.32、、这五个数中，　 　最大，　 　最小。 【答案】；0.32 【解析】【解答】解：=0.6、=、=0.625，0.32<0.6<0.625<1<，所以最大，0.32最小。 故答案为：；0.32。 【分析】比较小数和分数的大小，先把分数化成小数，然后进行比较，即先用分数的分子除以分母； 比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分越大，这个数就越大，整数部分相同，就比较十分位上的数，然后进行比较即可。 11．在 、0.87、 和0.875中，最大的数是　 　，最小的数是　 　. 【答案】； 【解析】【解答】 =0.625， =1.125， 因为1.125>0.875>0.87>0.625， 所以 >0.875>0.87> 。 最大的是，最小的是。 故答案为： ； 。 【分析】比较分数与小数的大小，先把分数化成小数，然后按照比较小数的大小方法：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……，据此解答。 12．李阿姨平均每秒打0.9个字，黄阿姨平均每秒打个字。 　 　打字快一些。 【答案】李阿姨 【解析】【解答】解：=5÷6≈0.83（个），0.9＞0.83，所以是李阿姨打字快一些。 故答案为：李阿姨。 【分析】分数与小数的比较方法，可以将小数化为为分数再比较，或将分数统一为小数再比较，此题将数据统一为小数更便捷。 13．小华和小芳各做一架航模飞机，小华用了小时，小芳用了0.8小时。　 　做得快一些。 【答案】小芳 【解析】【解答】解：=5÷6≈0.83， 0.83＞0.8； 故答案为：小芳； 【分析】将分数化成小数。就是用分子除以分母，再比较小数大小，用的时间越长就说明速度更慢，据此求解。 14．完成同一项工作，小方用了0.8小时，小王用了 小时，小周用了50分钟。他们三人中，　 　的工作效率最高。 【答案】小方 【解析】【解答】解：=13÷15≈0.867（小时） 50÷60≈0.833（小时） 小时＞50分钟＞0.8小时。 故答案为：小方。 【分析】完成同一项工作，用时最少的工作效率最高，然后把时间比较大小。 三、判断题 15．小数比分数小得多。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：小数与分数不能直接比较，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】分数与小数的比较，可以将数字统一转化为小数（或分数），再按照小数（或分数）的比较大小方法进行比较，不能望文生义，小数不一定小。 16．若比0.4大，则□里可以填9。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：0.4==，所以□里可以填大于10的数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】先把小数化成分母是25的分数，然后根据分数大小的比较方法确定□内可以填的数。 17．动物学校举行了一场运动会，在200米赛跑中，小黄狗用了0.62分，小兔子用了 分，小黄狗跑得快。 (　　) 【答案】正确 【解析】【解答】解：=0.64，0.64＞0.62，所以小黄狗跑得快。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】用分数的分子除以分母把分数化成小数，然后按照小数大小的比较方法比较两只狗用的时间，用时短的就跑得快。 四、计算题 18．比较下面各组数的大小。 和 和0.4 ，和 【答案】解：，因为所以， =，0.4=，因为所以， ，因为所以。 【解析】【分析】异分母分数比较大小，先通分，然后按照同分母分数大小的比较方法比较大小。也可以把分数都化成小数再比较大小。 19．比较下面每组数的大小。 和0.62 和0.85 0.45和 和0.68 【答案】解：=5÷8=0.625＞0.62， ＞0.62； =17÷20=0.85， =0.85； =4÷9≈0.444＜0.45， ＜0.45； =2÷3≈0.667＜0.68， ＜0.68； 【解析】【分析】在比较分数和小数的大小时，最直接的方法是将分数转换为小数，再按照小数比大小的方式进行比较。 20．把下面各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接。 1.65 【答案】解： 因为 所以 【解析】【分析】先把小数1.65化成假分数，再把分数通分为分母为60的分数，即，再根据同分母分数比较大小，分子大的分数就大，据此解答。 21．把、、0.4、按从大到小的顺序排列。 　 　＞　 　＞　 　＞　 　。 【答案】；；；0.4 【解析】【解答】＝0.53 ＝0.5 ＝0.875 0.875＞0.53＞0.5＞0.4 即：＞＞＞0.4 故答案为：，，，0.4。 【分析】先用分子除以分母将分数化为小数即可；再根据小数大小比较的方法进行比较，按照从大到小的顺序排列即可。 22．把0.37、、、、0.35、这6个数按从小到大的顺序排列起来。 【答案】解：因为=9÷25=0.36； =3÷8=0.375； =16÷45=0.355……； 0.35＜0.355……＜0.36＜＜0.37＜0.375； 所以0.35＜＜＜＜0.37＜。 【解析】【分析】根据题意可知，先把分数化成小数，用分子除以分母，然后比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……，据此解答。 五、解答题 23．有三筐同样多的苹果，第一筐卖出 0.375千克，第二筐卖出千克，第三筐卖出千克。哪一筐卖出得最多？ 【答案】解：≈0.43 =0.45 >>0.375 答：第三筐卖出得最多。 【解析】【分析】将后两次的重量转化为小数，再将三次的重量相比较即可得出哪一框卖出的最多 24．小明在100 m跑步训练中，第一次用了分钟，第二次用了分钟，第三次用了0.26分钟。他哪次的成绩最好？ 【答案】解：≈0.27 =0.28 0.26<< 答：他第三次的成绩最好。 【解析】【分析】将前两次的时间化成小数，再将三次相比较即可得出答案 25．小林写语文作业用了27 分钟，写数学作业用了0.475小时，写英语作业用了小时。他写哪科作业用的时间最长？ 【答案】解：27分钟=0.45小时 小时=0.325小时 因为0.475>0.45>0.325，即0.475小时>27分钟>小时 答：他写数学作业用的时间最长。 【解析】【分析】把“27分钟”除以60化成以“小时”为单位，结果取小数；化成小数；再比较小数的大小。 26．一次跳高比赛中，聪聪的成绩是1.85m，明明的成绩是m，童童的成绩是m。请把他们的名字写在相应的领奖台上。 【答案】解：=1.8米 =1.625米 因为1.85>1.8>1.625，所以1.85>>。 答：第一名：聪聪；第二名：明明；第三名 ：童童。 【解析】【分析】把分数化成小数再进行比较，即可得出答案 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03课 “分数王国”与“小数王国” 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）结合“分数王国”与“小数王国”的比较情境，理解分数与小数互化的意义，掌握分数与小数互化的基本方法，能正确进行有限小数与分数的互化。 （2）能运用分数与小数互化的方法比较分数和小数的大小，解决简单的实际问题，提升数感和运算能力。 （3）通过分数与小数的联系与转化，感受数学知识的内在关联，体会数学在解决实际问题中的价值。 2.重难点 重点：掌握分数与小数互化的方法，能正确进行有限小数与分数的互化。 难点：分数化小数时除不尽的情况处理（如保留近似值），以及运用互化方法解决比较大小的实际问题。 模块二 预习引导 一、旧知回顾 分数与小数的基础认知： （1）分数的意义与分数与除法的关系：（），如； （2）小数的意义：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……如表示，表示； （3）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；小数的基本性质：小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数大小不变。 二、情境探究：为什么需要“互化”？ 情境问题：“分数王国”的和“小数王国”的，哪个数更大？直接比较这两个数有困难，怎么办？ 思考方向： （1）能否把分数转化成小数再比较？比如，再与比较； （2）能否把小数转化成分数再比较？比如，再与比较； （3）小结：当分数和小数比较大小时，把它们转化成同一种数（都化成分数或都化成小数）会更方便。 三、互化方法探究 （一）分数化小数 观察算式：，，。 发现规律：分数化小数，可以用分子除以分母（依据分数与除法的关系）。 尝试计算： （1）（小数）； （2）（除不尽时，一般保留两位小数）。 （二）小数化分数 观察例子：，（约分），。 发现规律：小数化分数，先根据小数位数确定分母（一位小数→分母是10，两位小数→分母是100，三位小数→分母是1000……），分子是小数部分的数字，最后约成最简分数。 尝试转化： （1）（最简分数）； （2）（最简分数）。 四、实际问题应用 情境分析：下表是“分数王国”和“小数王国”的数字卡片比较大小，请用互化方法解决。 分数王国 小数王国 哪个更大？（填“分数”或“小数”） （） （） （） 方法总结：解决分数与小数互化问题的步骤： ①确定转化方向（化分数还是化小数，根据数字特点选择更简单的方法，如比化分数更简单）； ②按规则转化（分数化小数：分子÷分母；小数化分数：写成分母是10、100……的分数再约分）； ③比较或计算，得出结果。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面数中，最大的是（　　）。 A． B．0.99 C． 2．如下图，被挡住的数字是(　　)。 A．12 B．13 C．14 D．15 3．把3，π，3.14从大到小排列是(　　)。 A． B． C． D． 4．从家去图书馆，爸爸用了时，丽丽用了0.4时，（　　）。 A．爸爸走得比较快 B．丽丽走得比较快 C．无法比较 D．他们走得一样快 5．学校举行200米短跑测试，小林用了分钟，小强用了分钟，小刚用了0.56分钟，（　　）的成绩最好。 A．小林 B．小强 C．小刚 6．智能时代机器生产大大提高了效率。工厂要从甲、乙、丙三款机器人中选择一款购买。已知测试同一批任务，甲款机器人用了0.5小时，乙款机器人用了15分钟，丙款机器人用了小时，则工厂会选择（　　）款机器人。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都可以 二、填空题 7．在横线上填上“>”“<”或“=” 　 　 3.24　 　 　 　 　 　 8．在 ▲ 里填上“>”“<"或“=”。 1.8　 　 　 　 　 　 9．在横线上填“>”“<”或“=”。 0　 　-5.6 　 　0.625 25%　 　2.5 1　 　-2 10．1、、0.32、、这五个数中，　 　最大，　 　最小。 11．在 、0.87、 和0.875中，最大的数是　 　，最小的数是　 　. 12．李阿姨平均每秒打0.9个字，黄阿姨平均每秒打个字。 　 　打字快一些。 13．小华和小芳各做一架航模飞机，小华用了小时，小芳用了0.8小时。　 　做得快一些。 14．完成同一项工作，小方用了0.8小时，小王用了 小时，小周用了50分钟。他们三人中，　 　的工作效率最高。 三、判断题 15．小数比分数小得多。（　　） 16．若比0.4大，则□里可以填9。（　　） 17．动物学校举行了一场运动会，在200米赛跑中，小黄狗用了0.62分，小兔子用了 分，小黄狗跑得快。 (　　) 四、计算题 18．比较下面各组数的大小。 和 和0.4 ，和 19．比较下面每组数的大小。 和0.62 和0.85 0.45和 和0.68 20．把下面各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接。 1.65 21．把、、0.4、按从大到小的顺序排列。 　 　＞　 　＞　 　＞　 　。 22．把0.37、、、、0.35、这6个数按从小到大的顺序排列起来。 五、解答题 23．有三筐同样多的苹果，第一筐卖出 0.375千克，第二筐卖出千克，第三筐卖出千克。哪一筐卖出得最多？ 24．小明在100 m跑步训练中，第一次用了分钟，第二次用了分钟，第三次用了0.26分钟。他哪次的成绩最好？ 25．小林写语文作业用了27 分钟，写数学作业用了0.475小时，写英语作业用了小时。他写哪科作业用的时间最长？ 26．一次跳高比赛中，聪聪的成绩是1.85m，明明的成绩是m，童童的成绩是m。请把他们的名字写在相应的领奖台上。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 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