第八单元 数学广角——数与形（1种类型20道）期末专项训练-2025-2026学年六年级上册数学（人教版）

第八单元 数学广角——数与形 （1种类型20道） 目录 题型一、归纳递推 1 题型一、归纳递推 1．与1＋表示相同结果的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，以此类推。 【详解】先看算式的前半部分1＋3＋5＋7＋9＝52，后半部分5＋3＋1＝32，则与1＋表示相同结果的算式是52＋32。 故答案为：C 2．，第8个点阵中，点的个数是（    ）。 A．15 B．29 C．32 D．25 【答案】B 【分析】第1个点阵有1个点，第2个点阵在四个方向各增加1个点，总数为1＋4×1＝5，第3个点阵在四个方向各增加2个点，总数为1＋4×2＝9，从而找到点阵排列规律，第一个点阵有1个点，后续每个点阵在上下左右四个方向增加的点数与序号相关。例如，第n个点阵在四个方向各增加（n－1）个点，从而总数为1 ＋ 4（n－1）＝ 4n－3。据此解答。 【详解】当n＝8时； 4n－3 ＝4×8－3 ＝32－3 ＝29（个） 故答案为：B 【点睛】本题需通过观察点阵排列规律，确定每个点阵增加的点数与序号的关系，进而推导出公式，然后代入计算。 3．如图是用火柴棍摆成的3个不同的正方形，按照这个规律，摆第5个图形需要（    ）根火柴棍。 A．25 B．55 C．50 D．60 【答案】D 【分析】根据图示可知：第1幅图火柴棍根数：4根 第2幅图火柴棍根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1） 第3幅图火柴棍根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1） … 第n幅图火柴棍根数：2n（n＋1），据此解答。 【详解】第n幅图火柴棍根数：2n（n＋1）。 当n＝5时， 2n（n＋1） ＝2×5×（5＋1） ＝2×5×6 ＝10×6 ＝60（根） 摆第五个图形需要60根火柴棍。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查了图形变化类问题，找到第n幅图火柴棍根数的规律2n（n＋1）是解题的关键。 4．《庄子.天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意是一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一总有一半留下，永远也取不完。照这样的方法，第5天截取的木棒长度是（    ）尺。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知第一天截取木棒的一半，即尺；第二天截取前一天剩下长度的一半，前一天剩下尺，所以第二天截取尺；第三天截取前一天剩下长度的一半，前一天剩下尺，所以第三天截取尺；以此类推，每天截取的长度是前一天的。所以第n天截取的长度为尺。当n＝5时，第5天截取的长度为尺。 【详解】每天截取的长度是前一天的，第n天截取的长度为尺。 当n＝5： （尺） 第5天截取的木棒长度是尺。 故答案为：B 5．如图：照这样接着画下去，第5个图形最外圈有( )个小正方形。 【答案】24 【分析】根据题意，第n个图形是边长为（n＋2）的正方形（第①个边长3、第②个边长4、第③个边长5），最外圈小正方形数量＝大正方形总数－内部小正方形总数，内部小正方形边长为（n＋2）－2＝n，据此用公式计算第5个图形的数量，据此解答。 【详解】第5个图形边长：5＋2＝7 内部正方形边长：7－2＝5 最外圈数量： 7×7－5×5 ＝49－25 ＝24（个） 第5个图形最外圈有24个小正方形。 6．如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 【答案】 26 10 【分析】先观察不同数量桌子对应坐人的情况，1张桌子，数图中座位，可坐6人；2张桌子连在一起，数图中座位，可坐10人；3张桌子，数图中座位，可坐14人，观察座位数，每增加一个桌子：10－6＝4（人），14－10＝4（人）增加4人的座位，那么桌子两端的2人是固定的，1张桌子新增4人也就是4×1人，2张桌子连一起新增8人也就是4×2人，那么n张桌子连一起新增4×n人，n张桌子连一起总人数是（2＋4×n）人。 【详解】2＋4×6 ＝2＋24 ＝26（人） 因此，照这样6张桌子连在一起可以坐26人。 （42－2）÷4 ＝40÷4 ＝10（张） 因此，最少需要10张桌子连在一起。 7．小蜜蜂利用六边形结构建造的蜂巢，是工程学和数学效率的完美示例。按照如下方式建造的蜂巢，第6个图形有( )条边。 6条边          11条边              16条边 【答案】31 【分析】先观察图形的边数规律：第一个图形有6条边，第二个图形有11条边，第三个图形有16条边。相邻两个图形的边数差值为5。也就是第二个图形比第一个多5，第三个图形比第一个多2个5，第四个图形比第一个多3个5，第n个图形比第一个多个5，可得第n个图形的边数为，即：第n个图形的边数为。 【详解】根据分析： 求第6个图形有几条边，即。 （条） 小蜜蜂利用六边形结构建造的蜂巢，是工程学和数学效率的完美示例。按照如下方式建造的蜂巢，第6个图形有31条边。 【点睛】这种图形题的解题关键是先找到每次增加的固定数量，再根据序号算出需要增加的次数，最后用初始数量加上“增加次数每次增加的数量”，就能快速得出结果。 8．如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以拼成3个三角形……照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼( )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 【答案】 21 33 （n－1）÷2 【分析】如图，拼一个三角形需要3根火柴，拼2个三角形需要2×2＋1＝4＋1＝5（根）火柴，拼成3个三角形需要2×3＋1＝6＋1＝7（根），……那么拼10个三角形需要（2×10＋1）根。据此可知，用三角形的个数乘2再加上1根，就是需要的火柴棒的个数。那么用火柴的根数减去1，算出结果再除以2，就是拼出三角形的个数。据此用字母表示三角形的个数。 【详解】2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（根） （67－1）÷2 ＝66÷2 ＝33（个） 根据分析，照这样下去，拼10个三角形需要21根火柴，67根火柴可以拼33个三角形，n根火柴可以拼（n－1）÷2个三角形。 9．学校举行班际篮球赛，六年级有8个班参加比赛，每两个班之间要进行一场篮球比赛。每个班要比赛( )场，8个班一共要比赛( )场。 【答案】 7 28 【分析】8个班进行篮球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，所以每个班都要和其他7个班进行一场比赛，则所有8个班参赛的场数为7×8＝56（场），由于比赛是在两个班之间进行的，要去掉重复计算的情况，用56除以2即可。 【详解】根据分析： 8－1＝7（场） 即每个班要比赛7场。 8×7÷2 ＝56÷2 ＝28（场） 学校举行班际篮球赛，六年级有8个班参加比赛，每两个班之间要进行一场篮球比赛。每个班要比赛7场，8个班一共要比赛28场。 10．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 【答案】 16 3n＋1 【分析】摆1个正方形需要4根小棒，可表示为3×1＋1＝4根。摆2个正方形需要7根小棒，可表示为3×2＋1＝7根。由此可推出规律：摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝5时，代入3n＋1可得：3×5＋1＝15＋1＝16根。 【详解】摆1个正方形： 3×1＋1 ＝3＋1 ＝4（根） 摆2个正方形： 3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（根） 摆n个正方形：3n＋1（根） 当n＝5： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 摆5个需要16根小棒，摆n个需要（3n＋1）根小棒。 11．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。 【答案】23 【分析】第1个图案：黑色纸片有1张，白色纸片有4张。 第2个图案：黑色纸片有2张，白色纸片有4＋3×（2－1）＝4＋3×1＝4＋3＝7张。 第3个图案：黑色纸片有3张，白色纸片有4＋3×（3－1）＝4＋3×2＝4＋6＝10张。 由此可推出，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。已知白色纸片有70张，即3n＋1＝70，然后计算解答即可。 【详解】由分析可知，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。 3n＋1＝70 3n＝70－1 3n＝69 n＝69÷3 n＝23 所以这个图案中有黑色纸片23张。 12．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体水块。 【答案】 12 3n 【分析】第1个模型：通过观察可知有3个正方体木块。第2个模型：有6个正方体木块。第3个模型：有9个正方体木块。可以发现，第1个模型：3＝3×1；第2个模型：6＝3×2；第3个模型：9＝3×3。规律为：第n个模型需要3n个正方体木块。那么第4个模型需要的正方体木块数量为3×4＝12个。 【详解】第1个模型：3＝3×1（个） 第2个模型：6＝3×2（个） 第3个模型：9＝3×3（个） 第4个模型：3×4＝12（个） 第n个模型需要3n个正方体木块。 第4个模型需要12个正方体木块；第n个模型需要3n个正方体木块。 13．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm。照这样计算，( )个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是( )cm。 【答案】 8 3n＋7/7＋3n 【分析】已知3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，那么（5－3）个杯子叠起来的高度是（22－16）cm，用（22－16）÷（5－3）＝3cm，求出每多叠一个杯子增加的高度为3cm； 从图中可知，3个杯子叠起来时高16cm，有2个重叠部分高2×3＝6cm，则一个杯子的高度为16－6＝10cm； 由3个杯子叠起来有2个重叠部分，5个杯子叠起来有4个重叠部分，可得出：n个杯子叠起来有（n－1）个重叠部分，那么n个杯子叠起来的高度＝一个杯子的高度＋（n－1）×3，据此得出规律，并按规律求解。 【详解】每多叠一个杯子增加的高度为： （22－16）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（cm） 一个杯子的高度为： 16－2×3 ＝16－6 ＝10（cm） n个杯子叠起来的高度是： 10＋（n－1）×3＝10＋3n－3＝（3n＋7）cm 叠起来高31cm的杯子数量： 3n＋7＝31 解：3n＋7－7＝31－7 3n＝24 3n÷3＝24÷3 n＝8 照这样计算，（8）个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是（3n＋7）cm。 14．观察下列图形的构图情况，按照此规律，第5幅图形中的个数是( )，第100幅图形中的个数是( )，第n幅图形中的个数是( )。 【答案】 16个 301个 个/个 【分析】观察可知规律，第1幅图形中的个数是：，第2幅图形中的个数是：，第3幅图形中的个数是：第n幅图形中的个数是：，据此解答。 【详解】第5幅： （个） 第100幅： （个） 第n幅：（个）或（个） 第5幅图形中的个数是16个，第100幅图形中的个数是301个，第n幅图形中的个数是个或个。 15．数一数，填一填，做一做。 （1）图中各有多少个和？填一填。 序号 ① ② ③ ④ （2）照这样接着画下去，第6个图形中有多少个？请你试着算一算。 【答案】（1）表见详解 （2）21个 【分析】 ①图有1个， ②图有1＋2＝3（个）， ③图有1＋2＋3＝6（个）， ④图有1＋2＋3＋4＝10（个），…… 由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 ①图有1＋2＝3（个）△， ②图有1＋2＋3＝6（个）△， ③图有1＋2＋3＋4＝10（个）△， ④图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△，…… 由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 据此解答。 【详解】 （1）的个数： ①图：1个； ②图：1＋2＝3（个）； ③图：1＋2＋3＝6（个）； ④图：1＋2＋3＋4＝10（个）； △的个数： ①图：1＋2＝3（个）； ②图：1＋2＋3＝6（个）； ③图：1＋2＋3＋4＝10（个）； ④图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）； 序号 ① ② ③ ④ 3 6 10 15 1 3 6 10 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 答：第6个图形中有21个。 16．下面图形中各有多少个三角形？有什么规律？ 【答案】1个；3个；6个；10个；规律：第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形（规律答案不唯一） 【分析】观察发现图①有1个三角形，图②有（1＋2）个三角形，图③有（1＋2＋3）个三角形，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，那么图n有（1＋2＋3＋4＋……＋n）个三角形；据此解答。 【详解】图①：1个 图②：1＋2＝3（个） 图③：1＋2＋3＝6（个） 图④：1＋2＋3＋4＝10（个） 图n：1＋2＋3＋4＋……＋n（个） 答：图①有1个三角形，图②有3个三角形，图③有6个三角形，图④有10个三角形，规律是第n个图形就有（1＋2＋……＋n）个三角形。（规律答案不唯一） 17．光明小学六年级有6个班进行足球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，一共要比赛多少场？到请你先画一画，再解决问题。 【答案】15场 【分析】由于每个班都要和另外的5个班赛一场，一共要赛：6×5＝30（场）﹔又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：30÷2＝15（场）﹔据此画图解答即可。 【详解】作图如下： 6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 答：一共要比赛15场。 18．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？ 【答案】144米；32米 【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。 【详解】井深为： （48－16）÷（4－3） ＝32÷1 ＝32（米） 绳长为： （32＋16）×3 ＝48×3 ＝144（米） 答：绳长为144米，井深为32米。 【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。 19．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（    ） 前3个奇数的和：（    ） 前4个奇数的和：（    ） 前5个奇数的和：（    ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 【答案】4；9；16；25 （1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。 （2）前n个奇数的和为n2；7396 【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律； （1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答； （2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。 【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25） （1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。 （2）前n个奇数的和的规律为：n2 当n＝86，86×86＝7396 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。 20．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【分析】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【点睛】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——数与形 （1种类型20道） 目录 题型一、归纳递推 1 题型一、归纳递推 1．与1＋表示相同结果的算式是（    ）。 A． B． C． D． 2．，第8个点阵中，点的个数是（    ）。 A．15 B．29 C．32 D．25 3．如图是用火柴棍摆成的3个不同的正方形，按照这个规律，摆第5个图形需要（    ）根火柴棍。 A．25 B．55 C．50 D．60 4．《庄子.天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意是一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一总有一半留下，永远也取不完。照这样的方法，第5天截取的木棒长度是（    ）尺。 A． B． C． D． 5．如图：照这样接着画下去，第5个图形最外圈有( )个小正方形。 6．如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 7．小蜜蜂利用六边形结构建造的蜂巢，是工程学和数学效率的完美示例。按照如下方式建造的蜂巢，第6个图形有( )条边。 6条边          11条边              16条边 8．如图所示，用3根火柴可以拼成1个三角形，5根火柴可以拼成2个三角形，7根火柴可以拼成3个三角形……照这样下去，拼10个三角形需要( )根火柴，67根火柴可以拼( )个三角形，n根火柴可以拼( )个三角形。 9．学校举行班际篮球赛，六年级有8个班参加比赛，每两个班之间要进行一场篮球比赛。每个班要比赛( )场，8个班一共要比赛( )场。 10．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 11．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。 12．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体水块。 13．如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm。照这样计算，( )个杯子叠起来高31cm，n个杯子叠起来的高度是( )cm。 14．观察下列图形的构图情况，按照此规律，第5幅图形中的个数是( )，第100幅图形中的个数是( )，第n幅图形中的个数是( )。 15．数一数，填一填，做一做。 （1）图中各有多少个和？填一填。 序号 ① ② ③ ④ （2）照这样接着画下去，第6个图形中有多少个？请你试着算一算。 16．下面图形中各有多少个三角形？有什么规律？ 17．光明小学六年级有6个班进行足球比赛，每两个班之间要进行一场比赛，一共要比赛多少场？到请你先画一画，再解决问题。 18．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？ 19．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（    ） 前3个奇数的和：（    ） 前4个奇数的和：（    ） 前5个奇数的和：（    ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 20．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $