5.3实际问题与一元一次方程【十三大考点+十三大题型】《考点•题型•技巧》讲练突破-2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的实际应用核心知识点，梳理了从方程解法到实际问题建模的脉络，通过工程、行程、销售等13类常见问题类型归纳及例题、变式训练构建学习支架。 资料以真实情境例题（如地铁修建、健身器材生产）培养模型意识，结合几何、动点问题发展几何直观与推理能力，融入古代数学问题体现文化，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升数学应用能力。

5.3实际问题与一元一次方程 【考点归纳】 【知识归纳】 实际问题的常见类型： 【题型探究】 题型一：工程问题 【例1】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】55 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程，然后求解即可. 设此月人均定额为x件，甲组人均工作量为，乙组人均工作量为，根据甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：设此月人均定额为x件， 解得：． 答：此月人均定额是件． 【变式2】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 题型二：配套问题 【例2】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板， 由题意得：， ， ， 解得：， （名）． 答：20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套． 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A，B，C星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 【答案】 安排生产A部件的工人10名，生产B部件的工人15名。 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（配套问题），解题的关键是根据“1个A部件配2个B部件”的配套关系，建立B部件数量是A部件数量2倍的等量关系． 设生产A部件的工人数，用总人数表示生产B部件的工人数；分别表示出A、B部件的日产量，根据配套关系列方程求解． 【详解】解：设安排生产部件的工人为名，则生产部件的工人为名． 每日生产部件个，生产部件个． 由配套关系得：， ， ， ∴． 则． 答：应安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名． 【变式2】．（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 题型三：行程问题 【例3】．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为，七年级（2）班的学生组成后队，速度为．前队出发后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 由题意可知两队相差的距离为4千米，设后队追上前队需要，列方程即可解答． 【详解】解：设后队追上前队需要， 由题意，得， 解得， 所以后队追上前队需要． 【变式1】．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两人相遇时，x为1 (3)当甲、乙两人相距时，x的值为或 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，行程问题、相遇问题和分段行程的分析．分阶段分析路程关系：相遇时用“路程和总距离”列方程；相遇后根据“路程差间距”列方程是解题关键． （1）根据公式“路程速度时间”列式即可； （2）根据公式“两人路程和总距离”和（1）的计算结果列方程即可； （3）首先计算甲、乙与相遇点的距离，再分乙未追上甲和乙超过甲两种情况分类讨论． 【详解】（1）解：根据题意， 甲骑行的时间为，乙骑行的时间为， 甲的平均速度是，乙的平均速度是， 甲骑行的路程为，乙骑行的路程为， 答：，． （2）设：根据题意， 当两人相遇时，甲、乙路程之和为， ， 解得， 当两人相遇时，骑行时间为1h． 答：当甲、乙两人相遇时，为1． （3）解：两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口， ∴甲与相遇点的距离为， 乙与相遇点的距离为， ①当乙未追上甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得； ②当乙超过甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得． 综上所述，x的值为或． 答：当甲、乙两人相距时，x的值为或． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽六安·月考）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为，这段时间内列车的平均速度为， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． 题型四：销售盈亏 【例4】．（25-26七年级上·全国·期末）某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 2.4 2 零售价/（元/千克） 3.6 2.8 他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 【答案】王大叔当天批发了黄瓜25千克，茄子15千克，卖完这些黄瓜和茄子共赚了42元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 设王大叔当天批发了黄瓜x千克，则茄子千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，茄子批发价是2元，共花了90元，列出方程，求出x的值，即可求出黄瓜和茄子各多少千克； 根据黄瓜和茄子的千克数，再求出每千克黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，则茄子千克， 根据题意，得， 解得，， （元）， 答：王大叔当天批发了黄瓜25千克，茄子15千克，卖完这些黄瓜和茄子共赚了42元． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【答案】(1)， (2)60，100 (3)打折数为9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利润问题的基本公式及方程的解法． （1）根据题意设每个A品牌飞机模型的进价为x元，因为B品牌飞机模型比A品牌每个贵40元，所以每个B品牌飞机模型的进价即为元，然后根据购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元列出方程：； （2）根据（1）列出的方程解此方程即可； （3）设B品牌飞机模型打a折，根据进价提高后标价，再打a折出售，仍获利35元可先算出标价，然后打a折即为标价乘以，再根据售价−进价=利润，列出方程解这个方程即可求出a的值，从而得出打折数． 【详解】（1）解：∵每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元， ∴每个B品牌飞机模型进价为元， 则根据题意列出方程为：， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知：，解得， ∴， 故答案为：60，100． （3）解：设B品牌飞机模型打a折， 由题意可得：， 解得， 即B品牌飞机模型打9折． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【答案】(1)40； (2)购进A种商品40件 (3)690元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，求出的值； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品40件． （3）解：设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：； ,舍去， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 题型五：比赛积分 【例5】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【答案】(1) (2) 没有可能 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据得分规则列出代数式，再通过方程求解并判断合理性． （1）根据答对得分减去不答或答错扣分，列出含的代数式； （2）根据得分列方程，求解后判断其是否为整数且不超过总题数． 【详解】（1）解：答对道题，则不答或答错道题，得分是分． 故答案为：． （2）解：假设能拿到100分，则 （不是整数） 需为整数， 小明不可能拿到100分． 答：小明没有可能拿到100分． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【答案】(1) (2)94 (3)他已作答了6道题 【分析】（1）从参赛者的得分可以求出答对一题和答错一题的得分和为分，由此可以用含的式子表示答错一题的得分； （2）从参赛者的得分入手，根据答对的得分+加上答错的得分=分建立方程求出其解，然后再求即可； （3）设参赛者已作答了道题，根据参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分列方程计算即可． 【详解】（1）解：由参赛者的得分情况可知：答对一题和答错一题的得分和为：（分）， 设答对1道题得分，则答错1道题的得分为分 ． （2）解：由参赛者的得分情况，得， 解得，则， 所以答对1道题得5分，答错1道题扣1分， 所以． （3）解：设参赛者已作答了道题． 根据题意，得，解得． 故他已作答了6道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 题型六：方案选择 【例6】．（25-26七年级上·全国·期末）五一假期期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景点游玩，下面是购票时，小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，哪种方式买票更省钱？并说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了12个成人，6个学生 (2)购买16张团体票，2张学生票更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）利用总价单价数量，求出各购票方式所需费用． （1）设小明他们一共去了个成人，则去了个学生，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出去的成人数，再将其代入中即可求出去的学生数； （2）利用总价单价数量，可求出购买16张团体票、2张学生票所需费用以及购买18张团体票所需费用，将其与525比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了个成人，则去了个学生， 依题意得：， 解得：， ． 答：小明他们一共去了12个成人，6个学生． （2）解：购买16张团体票，2张学生票更省钱，理由如下： 购买16张团体票，2张学生票所需费用为（元； 购买18张团体票所需费用为（元． ， 购买16张团体票，2张学生票更省钱． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 【答案】(1)，3x (2)当时，方式二更合算；当时，方式一更合算 (3)选择方式一借阅次数比较多 【分析】本题考查了代数式表示实际问题、代数式求值、一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意、建立模型、代入比较求解． （1）从借阅10次，20次方式一、方式二总费用与次数的关系即可得到表示的； （2）根据求代数式的值的方法，求出两种付费方式的费用，再比较即可； （3）根据不同借阅计费方式列出方程，求出次数， 再比较即可 【详解】（1）由表格数据可知（费用单位为：元）： 借阅10次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 借阅20次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 故借阅次，方式一的总费用为, 方式二的总费用为. 故答案为：； （2）当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式二更合算； 当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式一更合算； （3）若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100 元， 则 方式一：, 解得， 方式二：， 解得 因为为正整数， 所以取, 因为, 所以若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，选择方式一借阅次数比较多． 【变式2】．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）为使学生熟练掌握1~2项体育运动技能，学校决定购置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部．甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支持教育事业，给出如下优惠活动方案： 优惠方式   商场 类别 篮球 足球 标价（单位：元） 甲商场 每件商品优惠方式 篮球按标价的9折出售 足球按标价的8折出售 例：买一只篮球，只需付款元 乙商场 若所购商品不超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的9折出售；若所购商品超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售． (1)学校购买篮球只，足球只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为_____元； (2)学校计划购买篮球、足球共只． ①若其中篮球购买了只（正整数），则按甲商场优惠方式购买付款金额为_____元（用含的代数式表示）； ②若其中篮球购买了只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由． 【答案】(1)． (2)①②选择乙商场购买，理由见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、有理数的混合运算的应用、整式的四则混合运算等知识点，正确列式是解题的关键． （1）根据“单价数量=总价”列式计算即可； （2）①表示出篮球和足球的数量，根据“单价数量=总价”列式化简即可；②根据①中的式子，计算出总费用，选择合适的购买方案即可． 【详解】（1）甲场付款金额为元． 故答案为． （2）①篮球、足球共只，篮球购买了x只， 足球购买了只， 甲商场付款金额为元； 故答案为． ②当时，甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元， 购买篮球和足球的总费用不超过元， ，， 选择乙商场购买． 题型七：数字问题 【例7】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个三位正整数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，如果，那么我们把这个三位正整数叫做均衡数． 例如：三位正整数，因为，所以是均衡数． (1)若三位数__46是均衡数，则这个数的百位数字是________，最大的均衡数是________； (2)已知一个均衡数的百位、十位上的数字分别为a、2，用含a的代数式表示这个三位数________； (3)已知一个三位正整数的十位上的数字是3，若这个正整数是均衡数，求证：这个正整数一定能被9整除； (4)均衡数一定能被________整除． 【答案】(1)2，999 (2)（，且为正整数） (3)见解析 (4)3 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，列代数式，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这个数的百位数字是为，结合均衡数的定义进行列式计算，得三位数246是均衡数，根据最大的均衡数的特征进行分析，即可作答． （2）理解均衡数的定义，进行列式化简，得出用含a的代数式表示这个三位数，即可作答． （3）理解均衡数的定义，进行列式化简，这个三位正整数为，分析出是正整数，即一定能被9整除； （4）设均衡数为， 则，即均衡数为，结合a、b、c都是大于且小于等于的正整数，故一定能被3整除，即可作答． 【详解】（1）解：设这个数的百位数字是为 依题意，得， 解得， ∴三位数是均衡数， ∵要求最大的均衡数， ∴百位上的数为，十位数为， 设个位数字为 则， ∴； ∴最大的均衡数是； （2）解：∵一个均衡数的百位、十位上的数字分别为a、2， ∴个位上的数字， ∴个位上的数字， ∴， 即用含a的代数式表示这个三位数为（，且为正整数）； （3）解：设一个三位正整数的百位数为，，且为正整数， ∵这个三位正整数的十位上的数字是3，且这个正整数是均衡数， ∴这个三位正整数的个位上的数字是， 则这个三位正整数为 ∵一个三位正整数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，， ∴， ∴，为正整数， ∴是正整数， 即一定能被9整除； ∴这个正整数一定能被9整除 （4）解：设均衡数为，其中a、b、c都是大于且小于等于的正整数， 则， 即均衡数为， ∵a、b、c都是大于等于且小于等于的正整数，且不为0， ∴是正整数， ∴一定能被3整除， 即均衡数一定能被3整除． 【变式1】．（25-26七年级上·河南南阳·月考）根据表格，回答问题 0 1 2 8 6 4 2 2 5 (1)【初步感知】______，______； (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少______．类似的，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就减小4，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1，8 (2)2；x的值每增加1时，的值就增加3． (3) 【分析】本题考查了代数式的值、数字规律、解一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．． （1）把分别代入式子和求解即可； （2）观察表格中数值的变化规律即可解答； （3）根据x的值每增加1，代数式的值就减小5，可设这个式子为，又由当时，代数式的值为，据此列方程可求得n的值，从而得到所求代数式． 【详解】（1）解：当时，，． ∴，． 故答案为：0，8． （2）解：根据表中的值为8，6，4，2，0，可得x每增加1，的值就减少2； 根据表中的值为，，2，5，8，可得x每增加1，的值就增加3． 故答案为：2；x的值每增加1时，的值就增加3． （3）解：∵x的值每增加1，代数式的值就减小4， ∴设这个式子为， ∵当时，代数式的值为， ∴，解得：， ∴这个代数式为． 【变式2】．（25-26七年级上·甘肃定西·月考）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，即，所以，于是得． (1)将写成分数形式为 ； (2)请你根据以上方法，将写成分数形式，并写出推导过程． 【答案】(1) (2)，推导过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程在将循环小数化为分数中的应用，解题的关键是理解题意． （1）仿照题中解法，设，则，得到，解方程即可求得答案； （2）设，则，得到，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 即写成分数形式为， 故答案为：． （2）设，则， ，即， ， ． 题型八：和差倍分问题 【例8】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 【变式2】．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型九：电费和水费问题 【例9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【详解】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【答案】(1)， (2)小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【分析】本题考查一次函数的表达式、一元一次方程的应用，用方程表示“花费一样多”这一等量关系是解题关键． （1）根据“总花费=月租费+流量费”，直接列含的代数式； （2）根据“两种套餐花费一样”，列一元一次方程并求解． 【详解】（1）解：根据题意，按第一种套餐， 小李每月流量费用为元， 月租费50元， 每月需花费：元； 按第二种套餐， 每月需花费：元． 答：，． （2）解：由题意可得，若两种套餐花费一样多， 则， 解得． 答：小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 题型十：日历问题 【例10】．（25-26七年级上·山东济宁·月考）下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 【答案】(1)15号，16号，21号，22号 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是利用平行四边形框出4个数的关系解题． （1）设其中的一天为x，则其他3天可分别表示为，，，然后根据它们的和为74，求解即可； （2）由（1）得出4天之和为，即．求出y做判断即可． 【详解】（1）解：设第一行左边的数为x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天分别表示为，，， 根据题意得， 解得：， 所以，，， 所以这四天分别是15号，16号，21号，22号； （2）解：不可能．理由如下： 设第一行左边的数为y，则，解得， 因为y表示天数，必须是正整数， 所以框出的4个数的和不可能是25． 【变式1】．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【答案】(1)9，16， (2)不同意，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可； （2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可； （3）根据各数之间的关系表示出，然后整理整式即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 若，则 ， ； 若，则 ； 故答案为：9，16，； （2）解：不同意，理由如下： 根据题意得，， 解得， 26位于月历的最右边，与的位置不符， ∴5个数字之和不可能为116； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，0 (3)不能，理由见解析 (4)是定值，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可； （4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题． 【详解】（1）解：设，则，，， ，， ． 故答案为：=． （2）由（1）得，， ． 故答案为：，0． （3）由（1）得，，，，， ， 整理得：，解得． 8在月历表中第二行最后一个数， 无法框出九方格． ∴不能； （4）由（1）得，，，，， ． ∴代数式的值是定值，它的值为． 题型十一：古代问题 【例11】．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【答案】有24个牧童，50个杏． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设牧童有人，根据两种分法中杏的总数不变这一等量，列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设牧童有人，根据题意，得 ， 解得， 所以． 答：有24个牧童，50个杏． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 【变式2】．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 题型十二：几何问题 【例12】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 【答案】(1)，14 (2)或3 (3)15， 【分析】本题考查一元一次方程的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．用到的知识点为：两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数． （1）根据可得和的值，即可得到和的长度，结合，可得和的长度，即可得到点和点表示的数； （2）分别表示出点和点表示的数，根据，列方程求解即可得到的值； （3）易得重叠的最大面积为较小的长方形的面积，画出小长方形完全进入大长方形一开始的情况和即将结束时的情况，可得重叠面积为最大面积时两个长方形运动的路程和，根据相向而行，除以速度和即为持续的时间． 【详解】（1）解：∵，且 ∴． 解得：，． ，． ∵， ． ． ∴点表示的数是，点表示的数是14． 故答案为：，14； （2）解：秒后点表示的数为：，点表示的数为：． ∵， ． 或． 解得：或3． （3）解：当长方形全部进入到长方形中时，重合的面积最大，为长方形的面积：； 由图可得：当长方形全部在长方形中时，运动的路程为5， ∵两个长方形相向而行， ∴持续的时间为：． 故答案为：15，． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；秒；②当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，长方形面积，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键在于理清长方形运动情况，根据其运动情况建立方程． （1）利用数轴上两点之间的距离得到长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解，即可解题； （2）设点P在数轴上表示的数为，结合建立方程求解，即可解题； （3）①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，利用长方形面积公式即可求出S的最大值，由运动过程可知，当与重合时，面积S开始有最大值，当与重合时，面积S结束最大值，据此建立方程讨论求解，即可解题； ②根据S是长方形面积一半，分两种情况：当在之间时，当在之间时，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 是两个完全相同的长方形， ， 长方形的面积是； 故答案为：； （2）解：点P在线段上，且， 设点P在数轴上表示的数为， 则， 解得； 故答案为：； （3）解：①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，S的最大值是； 当与重合时，面积S开始有最大值， 长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动， 此时，有， 解得， 当与重合时，面积S结束最大值， 此时，有， 解得， 持续时间是（秒）， 故答案为：；秒； ②S是长方形面积一半， 当在之间时， 有， 解得， 当在之间时， 有， 解得， 当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒． 题型十三：动点问题 【例13】．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)若的值是一个定值，m的值为 【分析】本题主要考查数轴的特点，两点之间的距离，理解题意，掌握数轴上两点之间距离的计算是关键． （1）根据相反数，最大负整数，多项式的次数的概念计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，结合题意即可求解； （3）根据题意，分别表示出运动后的点表示的数，根据距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和，且， ∴的最小值为， 当时，， 当时，，且， 当时，， ∴的最大值为7； （3）解：假设t秒，点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，则运动后表示的数为， 点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，则点F运动后表示数为，点G运动后表示数为， ∴， ∴， 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 综上所述，若的值是一个定值，m的值为． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数； (2)若，求的值． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，当一个点到达C点，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【答案】(1) (2)6或10 (3)当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2 (4)当t为或秒时，P，Q之间的距离为4 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去解决问题． （1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （4）分两种情况，找出关于t的一元一次方程． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数． 答：数轴上点B表示的数为． （2）∵， ∴或， ∴或． 答：x的值为6或10． （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t， 依题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2． （4）P到达C点时间：（秒）， Q到达C点时间：（秒）． 点P表示的数为，点Q表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 答：当t为秒或秒时，P，Q之间的距离为4． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值：，，． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到点的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解． （2）点M对应的数为，点N对应的数为．线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为：，列出方程，即可求解； （3）点对应数，点对应数．再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． 故答案为：，，； （2）解：存在， 点M对应的数为，点N对应的数为． 线段的中点E对应的数为：， 线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为： 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的大值，右端点为中的最小值， 当时，重叠长度为，令其为1得． 当时，． 当时，重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据总人数不变列出方程． 【详解】设有x辆车，则： ∵ 每4人乘一车，剩余1辆车， ∴ 总人数为； ∵ 每2人乘一车，剩余8人无车， ∴ 总人数为； ∴ ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设一个小长方形的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设一个小长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 解得， 则， ∴一个小长方形的长为，宽为， ∴一个小长方形的面积为． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）某商品进价为a元，售价为b元，现打8折销售，仍可获利，则下列等式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的销售问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，打8折后的售价为元，获利意味着打折后的售价是进价a的倍，因此建立等式，即可解答． 【详解】解：∵打8折销售，售价为元， 又∵仍可获利，即打折后售价是进价a的倍， ∴． 故选A． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解“盈”和“不足”的含义是关键． 根据物品价格相等列方程即可． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为． ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，所以T字框内四个数的和为，逐一代入建立方程求解即可判断． 【详解】解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，， ∴T字框内四个数的和为． 令框住的四个数的和为22，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为70，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的四个数的和为182，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为206，则，解得，此时框不住完整的四个数，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：由图及题意可列方程为； 故选D． 7．（25-26七年级上·福建三明·期中）老师将幻方游戏修改成了“幻圆”游戏，规则为：把1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，一元一次方程的应用．由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 二、填空题 8．（25-26七年级上·江苏南京·月考）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余辆车没人坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，然后即可求解； 【详解】解：根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程为： ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南周口·月考）某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3倍，两种棋都会下的有5人，两种棋都不会下的有10人，则会下围棋的有 人． 【答案】10 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设会下围棋的人数为x人，则会下象棋的人数为人．结合至少会一种棋的人数为总人数减去都不会的人数，列出方程求解． 【详解】解：设会下围棋的有x人，则会下象棋的有人．只会下围棋的人数为人，只会下象棋的人数为人． ∴至少会一种棋的人数为． ∴， 解得． 故答案为：10 10．（25-26七年级上·广西崇左·月考）初一年级共45名学生参与科技节活动，活动中要制作纸飞机模型，每人每小时可做12个机身或30个机翼，一个飞机模型需要1个机身配2个机翼．为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配 名学生做机身， 名学生做机翼；在刚好配套的情况下， 每小时能够做出 套． 【答案】 25 20 300 【分析】本题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的分配问题；准确找出题中隐含的等量关系、正确列出方程是解题的关键． 设出未知数，根据等量关系：制作的机翼总数机身总数，列出方程求解即可解决问题． 【详解】解：设应该分配x名学生做机身，则有名学生做机翼， 由题意得：， 解得， ，每小时能够做出的套数为（套）； 故答案为：25，20，300. 11．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键．设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是， 故答案为∶ ． 12．（25-26七年级上·四川达州·月考）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义： 若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”．如果点D在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点D为点A，B的“m和距离点”，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，设点表示的数为，分两种情况：当点在线段上时（不与A，B重合），当点在线段的延长线上时（不与A，B重合），分别结合列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设点表示的数为， ∵， ∴当点在线段上时（不与A，B重合），此时，， 故， 解得：， 此时； 当点在线段的延长线上时（不与A，B重合），此时，， 故， 解得：， 此时； 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·期中）实际应用题：某中学春游，原租 45 座客车，有 15 人无座；租相同数量 60 座客车，多 1 辆车且坐满．45 座日租 220 元，60 座日租 300 元． (1)求学生人数和原计划租 45 座车的辆数 (2)租同一种客车，使每人有座，哪种更合算？ 【答案】(1)学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆 (2)租 4 辆 60 座客车更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算每种方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）解：因 5 辆45 座客车坐 225 人，剩 15 人需再租 1 辆 需租车辆数：（辆）， 总租金：（元） 60 座客车，需租车辆数：（辆） 总租金：（元） ， 答：租 4 辆 60 座客车更合算． 14．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）小明看到两个超市在“双十二”的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 全场折 乙超市促销信息栏 不超过元，不给予优惠．超过元而不大于元，打9折． 超过元，元（含）的部分优惠．超过元的部分打8折． 设购物标价总额为元． (1)用含x的代数式分别表示在甲、乙超市购物的实际花费； (2)请你分析小明去哪家超市购买更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，去甲超市购买更省钱；当时，去甲、乙超市花费相同；当时，去乙超市购买更省钱 【分析】本题考查了列代数式，，销售盈亏(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题中的数量关系列出相应代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，分、、、、、这几种情形，分别求解即可． 【详解】（1）解：在甲超市购物的实际花费为：； 在乙超市购物的实际花费为： 当时，为； 当时，为； 当时， 为. （2）当时​，由，甲超市更省钱． 当时​，由，甲超市更省钱． 当时，令，解得：． 当时，，甲超市更省钱； 当时，，两家超市花费相同； 当时，，乙超市更省钱． 综上所述：当时，去甲超市购买更省钱； 当时，去甲、乙超市花费相同； 当时，去乙超市购买更省钱． 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)80，120 (2)购进甲种商品62件，购进乙种商品22件 (3)小明此次购买了8件或9件乙商品 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据售价为96元及“销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元”可进行求解； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据题意得：，然后进行求解即可； （3）设小明此次购买了m件，由题意可分①若购买商品超过400元，但不超过800元，②若购买商品超过800元，进而分类列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲商品每件进价为（元），乙商品每件进价为（元）； 故答案为80，120； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得， 所以， 答：购进甲种商品62件，购进乙种商品22件． （3）解：设小明此次购买了m件， 显然购买乙商品超过了400元； ①若购买商品超过400元，但不超过800元， 由题意可得：， 解得； ②若购买商品超过800元， 由题意得：， 解得：； 答：小明此次购买了8件或9件乙商品． 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 17．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且满足：，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时，另一动点也从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动至点后，立刻以原来的速度返回到点停止，设点运动时间为秒．（） (1)___________，___________； (2)点在数轴上表示的数为___________（用含的代数式表示）； (3)当、两点重合时，求的值； (4)当、两点之间的距离为6时，直接写出的值． 【答案】(1)，10 (2) (3)2秒或8秒 (4)3秒或或秒 【分析】此题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得b、c的值； （2）加上点P运动的路程，即可求解； （3）分二种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，分别求出结果即可； （4）分三种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的右侧，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的左侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得：， 故答案为：，10； （2）由题意得点P运动的路程为， ∴点P在数轴上表示的数为； 故答案为：； （3）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为， ， 解得； 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为， ， 解得 综上可知，当、两点重合时，的值为2秒或8秒； （4）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ， 解得：， 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 当点Q在点P的右侧时， ， 解得：， 当点Q在点P的左侧时， ， 解得：； 综上分析可知，当P、Q两点之间的距离为6时，t的值为3秒或或秒． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）如图1所示，点，在数轴上对应的数分别是，，其中、满足，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)填空：______，______． (2)点运动多少秒后，？ (3)阅读材料并解决问题： 点，是数轴上两点，若点满足（为常数），则称为、的“倍点”，此时，为、的“快乐时间”．例如：当与重合，与重合时，若，则表示3．此时，，，因此，为、的“27倍点”，是、的“快乐时间” 如图2，已知点，在数轴上，点表示的是数为，点表示的数为9．按如下规律操作：将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；…，依此规律得到点，，，，…，，，…（为正整数） ①若线段上存在点、的“8倍点”，那么的所有可能值的和为______； ②若点为、的“12倍点”，求此时的“快乐时间”． 【答案】(1)6；10 (2)或 (3)①6；②6或或 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）运动t秒后，点P表示的数为，则可建立方程，解方程即可得到答案； （3）①根据题意可推出表示的数为；表示的数为；根据定义线段上存在一点P满足，设点P表示的数为p，则，解方程可得，则数10一定在线段上，据此可确定满足题意的m的值，再把所有的m的值求和即可； ②根据定义可得，令，根据得到对应的方程，解方程可得t的值；当时， 可证明，，则，即当时，一定不成立，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒后，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，解得； 当时，则，此时不成立； 综上所述，当或时，； （3）解：①由题意得，表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 以此类推可知，表示的数为； 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …… 以此类推可知，表示的数为； ∵线段上存在点、的“8倍点”， ∴线段上存在一点P满足， 设点P表示的数为p， ∴， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 当时，则，解得（舍去）； 综上所述，， ∴数10一定在线段上， 当时，表示的数为0，表示的数为10，此时满足题意； ∵表示的数为，且m为正整数， ∴， ∴此时， ∴， ∴， ∵， ∴此时符合题意的m的值只能为2和3， 综上所述，符合题意的m的值为1，2，3， ∴m的所有可能值的和为； ②∵点为、的“12倍点”， ∴ 当时，则， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，则， ∴， ∵表示数轴上表示数的点到表示数2的点和到表示数11的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴， ∴此种情况不成立； 当时，， 同理可得当时，有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 当时，则，解得； 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 当时，， ∵m每增加1，的值是原来的2倍，且， ∴随着m的增大时，的值增大， ∴， ∵， ∴同理可知，当点P在线段上，有最小值，最小值为线段的长， ∴当时，， ∴， ∴当时，一定不成立； 综上所述，t的值为6或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程 【考点归纳】 【知识归纳】 实际问题的常见类型： 【题型探究】 题型一：工程问题 【例1】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【变式2】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 题型二：配套问题 【例2】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A，B，C星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 【变式2】．（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 题型三：行程问题 【例3】．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为，七年级（2）班的学生组成后队，速度为．前队出发后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？ 【变式1】．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽六安·月考）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是求高铁列车的平均速度为多少？ 题型四：销售盈亏 【例4】．（25-26七年级上·全国·期末）某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 2.4 2 零售价/（元/千克） 3.6 2.8 他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 【变式1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 题型五：比赛积分 【例5】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 题型六：方案选择 【例6】．（25-26七年级上·全国·期末）五一假期期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景点游玩，下面是购票时，小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，哪种方式买票更省钱？并说明理由． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 【变式2】．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）为使学生熟练掌握1~2项体育运动技能，学校决定购置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部．甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支持教育事业，给出如下优惠活动方案： 优惠方式   商场 类别 篮球 足球 标价（单位：元） 甲商场 每件商品优惠方式 篮球按标价的9折出售 足球按标价的8折出售 例：买一只篮球，只需付款元 乙商场 若所购商品不超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的9折出售；若所购商品超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售． (1)学校购买篮球只，足球只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为_____元； (2)学校计划购买篮球、足球共只． ①若其中篮球购买了只（正整数），则按甲商场优惠方式购买付款金额为_____元（用含的代数式表示）； ②若其中篮球购买了只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由． 题型七：数字问题 【例7】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个三位正整数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，如果，那么我们把这个三位正整数叫做均衡数． 例如：三位正整数，因为，所以是均衡数． (1)若三位数__46是均衡数，则这个数的百位数字是________，最大的均衡数是________； (2)已知一个均衡数的百位、十位上的数字分别为a、2，用含a的代数式表示这个三位数________； (3)已知一个三位正整数的十位上的数字是3，若这个正整数是均衡数，求证：这个正整数一定能被9整除； (4)均衡数一定能被________整除． 【变式1】．（25-26七年级上·河南南阳·月考）根据表格，回答问题 0 1 2 8 6 4 2 2 5 (1)【初步感知】______，______； (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少______．类似的，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就减小4，且当时，代数式的值为． 【变式2】．（25-26七年级上·甘肃定西·月考）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由可知，，所以，即，所以，于是得． (1)将写成分数形式为 ； (2)请你根据以上方法，将写成分数形式，并写出推导过程． 题型八：和差倍分问题 【例8】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【变式2】．（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 题型九：电费和水费问题 【例9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 题型十：日历问题 【例10】．（25-26七年级上·山东济宁·月考）下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 【变式1】．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 题型十一：古代问题 【例11】．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【变式2】．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 题型十二：几何问题 【例12】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 题型十三：动点问题 【例13】．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数； (2)若，求的值． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，当一个点到达C点，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值：，，． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到点的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）某商品进价为a元，售价为b元，现打8折销售，仍可获利，则下列等式正确的是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·福建三明·期中）老师将幻方游戏修改成了“幻圆”游戏，规则为：把1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．4或 二、填空题 8．（25-26七年级上·江苏南京·月考）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余辆车没人坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程 ． 9．（25-26七年级上·河南周口·月考）某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3倍，两种棋都会下的有5人，两种棋都不会下的有10人，则会下围棋的有 人． 10．（25-26七年级上·广西崇左·月考）初一年级共45名学生参与科技节活动，活动中要制作纸飞机模型，每人每小时可做12个机身或30个机翼，一个飞机模型需要1个机身配2个机翼．为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配 名学生做机身， 名学生做机翼；在刚好配套的情况下， 每小时能够做出 套． 11．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是 ． 12．（25-26七年级上·四川达州·月考）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义： 若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”．如果点D在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点D为点A，B的“m和距离点”，则m的值为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·期中）实际应用题：某中学春游，原租 45 座客车，有 15 人无座；租相同数量 60 座客车，多 1 辆车且坐满．45 座日租 220 元，60 座日租 300 元． (1)求学生人数和原计划租 45 座车的辆数 (2)租同一种客车，使每人有座，哪种更合算？ 14．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）小明看到两个超市在“双十二”的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 全场折 乙超市促销信息栏 不超过元，不给予优惠．超过元而不大于元，打9折． 超过元，元（含）的部分优惠．超过元的部分打8折． 设购物标价总额为元． (1)用含x的代数式分别表示在甲、乙超市购物的实际花费； (2)请你分析小明去哪家超市购买更省钱？ 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 17．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且满足：，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时，另一动点也从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动至点后，立刻以原来的速度返回到点停止，设点运动时间为秒．（） (1)___________，___________； (2)点在数轴上表示的数为___________（用含的代数式表示）； (3)当、两点重合时，求的值； (4)当、两点之间的距离为6时，直接写出的值． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）如图1所示，点，在数轴上对应的数分别是，，其中、满足，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)填空：______，______． (2)点运动多少秒后，？ (3)阅读材料并解决问题： 点，是数轴上两点，若点满足（为常数），则称为、的“倍点”，此时，为、的“快乐时间”．例如：当与重合，与重合时，若，则表示3．此时，，，因此，为、的“27倍点”，是、的“快乐时间” 如图2，已知点，在数轴上，点表示的是数为，点表示的数为9．按如下规律操作：将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；将点表示的数加1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将点表示的数加1，对应数轴上得到点；…，依此规律得到点，，，，…，，，…（为正整数） ①若线段上存在点、的“8倍点”，那么的所有可能值的和为______； ②若点为、的“12倍点”，求此时的“快乐时间”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $