专题06 三角函数（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为三角函数。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题06 三角函数 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 三角函数 1.理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 A A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难. 2. 掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 A 3. 理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 C 4. 掌握同角三角函数的基本关系式（两个），能运用这些公式进行化简和求值运算 D 5. 掌握4组诱导公式：能运用诱导公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式 D 6. 掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质，了解余弦函数的图象和性质，掌握已知三角函数值求指定区间内的角度（一般指定区间为(-,]及）． C 7. 掌握两角和与差的正弦、余弦及正切公式，能运用这些公式化简三角函数式，证明较简单的三角恒等式． D 8. 理解二倍角公式并能进行简单应用． D 9. 理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 7 特殊角的三角函数值 3 （1）题型：选择题、填空题与解答题 （2）分值：三角函数每年必考，2023-2024年分值在19分，其中2025年达到22分。 （3）内容：考点涉及到三角函数求值、两角和差公式、二倍角公式、最小正周期以及正余弦定理解三角形等。 选择题 8 象限角判断 3 填空题 12 两角和与差的正弦公式 4 填空题 18 两角和与差的三角函数公式 4 解答题 24 解三角形（正弦定理以及两角和的正弦公式求三角形的一条边） 8 2024 选择题 8 利用正弦定理或余弦定理求解三角形中的边 3 填空题 13 三角函数恒等式 4 解答题 19 三角函数的化简求值 6 解答题 22 正弦定理的应用（利用正弦定理求解角） 6 2023 选择题 6 诱导公式及特殊角的三角函数值 3 填空题 15 正弦定理的应用 4 填空题 17 三角函数的最小正周期 4 解答题 24 解三角形（1.求角的大小；2.求三角形的周长） 8 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试依然至少有4道题考查三角函数，题型涵盖单项选择题、填空题与解答题。三年平均分值约20分，是十分重要的考点。具体考点可能涉及如下内容： · 象限角、终边相同的角 · 诱导公式与特殊角的三角函数值 · 三角函数定义与同角三角函数之间的关系 · 正余弦及正切三角函数的性质 · 两角和差公式与二倍角公式 · 正余弦定理解三角形 四、知识梳理 （一）角的概念 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ . (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2. 三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 ，k∈Z上递增； 在 ，k∈Z上递减 在上递增； 在 上递减 最值 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． （五）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. （二）解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝2Rsin A ，b＝2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝，sin B＝，sin C＝　 ③a：b：c＝sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝　 cos B＝　 cos C＝　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 五、10分钟小测验 1.是第（    ）象限角． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】弧度的概念、确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的概念和弧度制的表示可判断结果. 【详解】因为， 所以是第二象限角． 故选：B 2.已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数的定义及可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，， ． 故选：D. 3.已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的平方关系以及角的范围求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：A. 4.计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】； 故选：A. 5.，的图像不过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】代入验证即可. 【详解】当时，，故，的图像过点，故A不符合； 当时，，故，的图像过点，故B符合，C不符合； 当时，，故，的图像过点，故D不符合. 故选：B. 6.已知，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由余弦（型）函数的最值或值域求参数的值 【分析】根据余弦函数的值域列不等式求解即可. 【详解】因为， 由，可得， 解得，所以实数a的取值范围是， 故选：C. 7.已知，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据题意，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：D. 8.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（   ） A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据三角函数图像的平移规律求解即可. 【详解】选项A中，把函数的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数的图像，正确， 选项B中，把函数的图像上所有的点向右平行移动1个单位，便得函数的图像，错误， 选项C中，把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 选项D中，把函数的图像上所有的点向右平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 故选：A. 9.计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由可将原式转化为，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 10.在中，，那么等于（   ） A．49 B． C．13 D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得． ． 故选：B. 六、经典例题解析 （一）任意角与弧度制 【考试题型1】象限角与终边相同的角 【例1】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）设，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由正弦值和余弦值的符号即可判断角所在象限. 【详解】因为，所以角是第一或第二象限角或y轴正半轴， 因为，所以角是第一或第四象限角或x轴正半轴， 综上，所以角为第一象限角. 故选:A. 【例2】（2025届·浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟）下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据题意写出终边相同角的集合，将选项中的角代进去验证即可得解. 【详解】设与角终边相同为， 则与角终边相同的角的集合为， ，解得，故错误； ，解得，故错误； ，解得，故正确； ，解得，故错误； 故选：. 【考试题型2】角度制与弧度制 【例3】（2025届·山西省朔州市怀仁市云洲职业中学高三第四次模拟）将弧度化为角度是 【答案】 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据，可将弧度化为角度. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【例4】（2023届·重庆市职教高考研究联合体高等职业教育分类考试第二次模拟）将化成弧度表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度化为弧度 【分析】将角度制化为弧度制计算即可解得. 【详解】由题，讲角度制化为弧度制， ， 故选：C （二）任意角的三角函数 【考试题型3】三角函数的定义 【例5】（2025届·浙江省中职单独考试温州市高三二模）若点在角的终边上，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为点在角的终边上， 所以，即， 故选：A. 【考试题型4】特殊角的三角函数值 【例6】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：A. （三）诱导公式与同角三角函数关系 【考试题型5】诱导公式 【例7】（山西省2023年对口升学考试数学真题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式一 【分析】由诱导公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 【考试题型6】同角三角函数关系 【例8】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三最后六次实战考试）如果 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简易得答案. 【详解】∵ ， 所以. 故选：B. （四）三角恒等变换（高频考点） 【考试题型7】两角和差公式 【例9】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据正切的和角公式即可计算． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 【例10】（2025届·河北省职教高考研究联合体高三第六次联合考试）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先将和，等式两边同时平方，再使其相加并由同角三角函数的平方关系和两角和的余弦公式化简求值即可. 【详解】已知，两边平方得， 由，两边平方得， 两边同时相加，得， 即， 则 即，解得， 故答案为：. 【考试题型8】二倍角公式 【例11】（2025届·山西省中等职业学校高三第三次对口升学模拟联考）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式和正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】. 故选：A. 【例12】（2026届·广东中职高考“3+证书”职教学校联合考试（二模） ）若， 则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. （五）三角函数图象与性质 【考试题型9】三角函数图象 【例13】（2022年·四川省普通高等学校高职教育单独招生文化考试（中职类））函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】利用正弦函数的性质结合特殊点即可得解. 【详解】设，则，排除AC； 又，且，排除D. 故选：B. 【考试题型10】三角函数性质（高频考点） 【例14】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）函数的最小正周期 . 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，再根据三角函数的周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：. 【例15】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式把函数的解析式化为，从而求得它的最小正周期． 【详解】∵函数， ∴函数的最小正周期为. 故答案为：． 【例16】（2022届·山西省太原文赢教育培训学校对口升学高三下学期数学终极考前模拟）的最小正周期 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式和辅助角公式将三角函数式的变为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期. 【详解】, 所以最小正周期为. 故答案为：. （六）解三角形 【考试题型11】正弦定理（高频考点） 【例17】（2024年·山西省对口升学考试数学试题）在中，已知，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理，，即， 解得：. 故答案为：. 【例18】（2023届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】已知三角函数值求角、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理求出值即可得解. 【详解】在中，，，， 由正弦函数可知，解得， 因为，所以或， 故选：. 【考试题型12】余弦定理 【例19】（2024年·山西省对口升学考试数学试题）在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 【例20】（2021届·山西省太原市太原文赢教育培训学校对口升学高三第一次模拟）在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求边长即可. 【详解】已知，，， 根据余弦定理， 可得， 即， 解得，（舍去）. 所以. 故选：B. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角函数定义与弧度制 核心内容 公式/规则 易错警示 任意角定义 终边相同的角： 象限角注意的奇偶影响 弧度制转换 特殊角换算必记（如） 三角函数定义 ，；； 时不存在 口诀：“一全二正弦，三切四余弦”（象限正负口诀），“角度化弧度，当 ” 2. 同角关系式：平方关系 ，（注意象限符号） 3.诱导公式“奇变偶不变” 角度形式 化简规则 示例 奇变（），偶不变， 符号看象限（为锐角） 4. 三大函数图象与性质 函数 图象特征 定义域 值域 周期 单调区间（增→减） “波浪线”，原点中心对称 [−1,1] 单调递增，单调递减 “波浪线”，轴对称 [−1,1] 单调递增， 单调递减 5.图象变换“三步法” 变换类型 操作规则 相位平移 ：左加右减 周期变换 压缩 振幅伸缩 口诀：“左加右减针对，周期只跟走；振幅管高低，相位ϕ定左右” （二）、解题策略与技巧 1.三角函数定义与弧度制 象限判断：遇到角先确定其所在象限。 弧度制应用：在涉及弧长、扇形面积公式时，角度必须化为弧度。 2.同角关系求值“三定原则” 定象限 定符号 定公式 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 弧度制漏单位 求误为 看见数字先辨弧度/角度 诱导公式符号错 误为正号 奇变偶不变，符号看象限 忽略定义域 求​定义域 分母 图象平移方向反 误为向左移 提系数： （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 特殊角三角函数值速记：手形记忆法（左手五指对应，分母为2，分子为） 2、真题演练方向： 近三年高考题中三角函数定义、同角关系式、诱导公式、三角函数最值、周期、单调性、奇偶性问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $