第7讲 比(专项提升训练）五年级数学寒假专项提升（青岛五四版）

第7讲 比 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：比的意义 1、 定义：两个数相除又叫作两个数的比，例如：3÷5可以写成3:5，读作“3比5”，其中，3是比的前项，5是比的后项，“:”是比号。 2、 比与除法、分数的关系： 比号相当于除号，比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数，分数的分母；比值相当于除法的商，分数的值。 比、除法、分数三者可以相互转化，如a:b=a÷b=a/b（b≠0） 3、比的后项不能为0，因为除数不能为0，分母也不能为0，所以比的后项同样不能为0。 知识点02：比的基本性质 1、 性质：比的前项和后项同时乘或除以同样的数（0除外），比值不变， 2、 应用： （1） 化简比：通过约分将比化为最简形式； （2） 求比值：用比的前项除以后项得到数值结果。 3、 化简比的方法： 整数比：找前项和后项的最大公因数，前项、后项同时除以最大公因数。 分数比：找前项和后项分母的最小公倍数，前项、后项同时乘最小公倍数，再化成最简整数比。 小数比：把小数转化成整数，再化简整数比。 知识点03：比的类型 1、 同类量的比： 2、 非同类量的比：如路程与时间的比，工作总量与时间的比 知识点04：按比例分配 1、 定义：将一个数量按照一定的比分配给不同的部分。 2、 步骤： （1） 确定总分数； （2） 计算各部分占总分数的几分之几； （3） 用乘法求出各部分的数量。 知识点05：连比问题 1、 定义：将三个或三个以上的量用比的形式表示。 2、 步骤： （1） 找到中间量， （2） 求出中间量的最小公倍数； （3） 根据比的基本性质调整各比，使中间量相同。 （4） 合并为连比。 知识点06：比在生活中的应用 1、 人体比例；如头长与身高的比，臂长与腿长的比等 2、 调制饮料；按照一定的比调制相关饮料 3、 其他应用：如按比例分配任务、计算工作效率等。 易错点剖析 1、如图，《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2。问：图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是（    ），小正方形的面积是大正方形面积的。 【答案】1∶1； 【分析】设定直角边长度： 已知直角三角形两条直角边长度比是1∶2 。为了方便计算，我们可以给较短直角边赋予一个具体的数值（设数的目的是将比例关系转化为具体可算的量）。不妨设较短直角边的长度为a（这里a是一个任意正数，为了计算简单，后续也可直接代入具体数值，比如a＝1 ），根据比例关系，较长直角边的长度就是2a 。 分析小正方形边长的构成： 观察弦图的拼接方式（4个相同直角三角形拼接），小正方形的边长是由直角三角形的较长直角边与较短直角边的差值决定的。因为在拼接时，较长直角边和较短直角边的差会形成小正方形的边，所以小正方形的边长＝较长直角边长度－较短直角边长度。 推导大正方形面积的计算方式： 通过弦图的组成部分计算，大正方形由4个完全相同的直角三角形和中间的小正方形组成，因此大正方形面积＝4个直角三角形的面积和＋小正方形的面积。 【详解】求小正方形边长与短直角边的比： 设直角三角形短直角边为a，因直角边比1∶2，则长直角边为2a。 由弦图拼接知，小正方形边长＝长直角边－短直角边，即2a－a＝a 。 所以小正方形边长与短直角边的比为a∶a＝1∶1 。 求小正方形面积与大正方形面积的占比： 取a＝1（简化计算），则短直角边1、长直角边2，小正方形边长1。 小正方形面积：1×1＝1 。 直角三角形面积：1×2÷2＝2÷2＝1，4个三角形面积和为4×1＝4 。 大正方形面积：4＋1＝5 。 占比：小正方形面积是大正方形面积的 。 图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是1∶1，小正方形的面积是大正方形面积的。 【点睛】用设数法简化比例，借弦图组成算面积，分步推导比例关系，体现化抽象为具体的思想。 2、美术室陈列着一尊断臂维纳斯石膏像，这尊断臂维纳斯石膏像的上半身和下半身成黄金比例（比值约0.618）。玲玲量得石膏像的下半身长100cm，刚好到达“黄金分割点”，这尊断臂维纳斯石膏像身高是( )cm。 【答案】161.8 【分析】由题意得： 这尊断臂维纳斯石膏像的上半身和下半身成黄金比例（比值约0.618），又已知玲玲量得石膏像的下半身长100cm，用比值乘石膏像下半身的长，计算出石膏像上半身的长，再加上石膏像下半身的长即可解答。 【详解】0.618×100＋100 ＝61.8＋100 ＝161.8（cm） 这尊断臂维纳斯石膏像身高是161.8cm。 【点睛】前项∶后项＝比值，其中，前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，故有：前项＝后项×比值。本题正是应用这个关系来解题的。 3、商高是最早发现“勾股定理”的人。他提出了“勾三股四弦五”的说法，即：一个直角三角形的短直角边（勾）长是3（股）长是4，那么斜边（弦），也就是“勾∶股∶弦＝3∶4∶5”。用一根长72厘米的铁丝可围成这样一个直角三角形，这个直角三角形的弦长( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 30 216 【分析】由勾∶股∶弦＝3∶4∶5知，把这个直角三角形的周长看作单位“1”，则勾占这个三角形的，股占这个三角形的，弦占这个三角形的，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，分别用72×、72×、72×求出三条边的长度，再根据三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入求出三角形的面积即可。 【详解】勾：72× ＝72× ＝18（厘米） 股：72× ＝72× ＝24（厘米） 弦：72× ＝72× ＝30（厘米） 面积：18×24÷2＝216（平方厘米） 这个直角三角形的弦长30厘米，面积是216平方厘米。 【点睛】本题主要考查了三角形的周长和面积，比的应用，解答本题的关键是把这个直角三角形的周长看作单位“1”，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算解答。 4、莆田木雕《清明上河图》创造了吉尼斯世界纪录，该作品雕刻有人物550多人，车轿20多乘，船只20多艘，屋舍楼榭更是不计其数。这个“世界最长木雕”作品长约12.3米，宽2.401米，高与长的比是10∶41，高比长少多少米？ 【答案】9.3米 【分析】根据题意得：作品长约12.3米，高与长的比是10∶41，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），可得出高是多少；再与长相比较即可得出答案。 【详解】高与长的比是10∶41，已知长是12.3米，则比的后项为12.3，12.3÷41＝0.3，要保持比值不变，则前项也要乘0.3。即高为：（米）； 高比长少的米数为：（米） 答：高比长少9.3米。 5、《九章算术》第三章“衰分”：今有大夫、不更、簪褱、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问：各得几何？ 译释：现有大夫、不更、簪裹（zān niǎo）、上造、公士5人，共猎得五只鹿。想按爵位的高低分配，问：各分到多少只鹿？（大夫、不更、簪裹、上造、公士的分配比是5∶4∶3∶2∶1） 解答： 【答案】大夫分到只鹿，不更分到只鹿，簪褭分到1只鹿，上造分到只鹿，公士分到只鹿 【分析】由题意可知，共有五只鹿，按5∶4∶3∶2∶1分配给5人，则大夫分配的只数占总只数的，不更分配的只数占总只数的，簪裹分配的只数占总只数的，上造分配的只数占总只数的，公士分配的只数占总只数的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此求出各分到多少只鹿。 【详解】大夫： ＝5× ＝（只） 不更： ＝5× ＝（只） 簪褭： ＝5× ＝1（只） 上造   ＝5× ＝（只） 公士： ＝5× ＝（只） 答：大夫分到只鹿，不更分到只鹿，簪褭分到1只鹿，上造分到只鹿，公士分到只鹿。 6、《算法统宗》记载这样一道数学题：今有鳏寡孤独四贫民共给米240石，其鳏者四分，寡者五分，孤者七分，独者九分，问四民各该若干？意思是240石米，按照4∶5∶7∶9的比例分给鳏、寡、孤、独四个贫民。请同学们算一算四贫民中寡可得多少石米？ 【答案】48石 【分析】按照4∶5∶7∶9的比例分给鳏、寡、孤、独四个贫民，首先根据已知条件可知：四贫民中寡可分得总数的，接下来利用乘法的意义，按照求一个数的几分之几是多少的方法，即可求出四贫民中寡可得多少石米。 【详解】240× ＝240× ＝48（石） 答：四贫民中寡可得48石米。 【点睛】此题主要考查按比例分配的应用题的解答方法，解题关键是根据已知条件用分数方法解答。 7、我国有悠久的青铜器铸造史，先秦古籍《考工记》中记载“六分其金而锡居一，谓之钟鼎之齐”，大意是：制作青铜鼎需使用铜与锡两种成分，且铜与锡的质量比约是6∶1。如图，某青铜鼎的质量是6.3千克，其中含铜和锡各多少千克？ 【答案】铜5.4千克；锡0.9千克 【分析】已知某青铜鼎的质量是6.3千克，制作青铜鼎中铜与锡的质量比约是6∶1，即铜的质量占青铜鼎的质量的，锡的质量占青铜鼎的质量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出铜和锡的质量。 【详解】铜的质量： 6.3× ＝6.3× ＝5.4（千克） 锡的质量： 6.3× ＝6.3× ＝0.9（千克） 答：含铜5.4千克，锡0.9千克。 强化练习 一、填空题 1．把化成最简整数比是( )。 2．一辆汽车3小时行了180千米，路程和时间的比是( )，这个比的比值表示( )。照这样的速度，再行驶2小时，一共能行( )千米。 3．把5克糖溶解在30克水中，糖和糖水的质量最简整数比是( )，按照这一比例调制112克糖水，需要( )克水。 4．（    ）（填小数）。 5．在100克水中加入10克盐，盐和盐水的比是( )。 6．把4∶5的前项加上16，要使比值不变，比的后项应( )；把8∶28的后项减去14，要使比值不变，比的前项应( )。 7．一个比的比值是，后项是，前项是( )。 8．某班有男生24人，男生人数的与女生人数的相等，这个班有女生( )人，男生人数与女生人数的最简整数比是( )。 9．升∶400毫升化为最简整数比是( )，比值是( )。 10．一道减法算式中，减数的 正好等于被减数的 ，那么减数与差的最简整数比是 ． 二、判断题 11．从甲城到乙城，货车需要行驶5小时，客车需要行驶6小时，货车与客车的速度比是5∶6。( ) 12．比的前项和后项都乘或减一个不为0的数，比值不变。 ( ) 13．甲数是乙数的，则乙数与甲数的比是1∶8。     ( ) 14．在400克盐水中，含盐80克，盐与水的比是1∶5。( ) 15．比的前项乘2，比的后项除以2，比值扩大4倍。( ) 16．如果公鸡的只数占母鸡只数的，那么公鸡与母鸡的只数比是4：3 。( ) 17．一本书已读的页数与未读页数的比是5∶7，已经读完这本书的。( ) 18．如果小明体重的和小红体重的相等，那么小明和小红体重的比是5∶6。( ) 19．甲数是乙数的，甲数与乙数的比是3∶1。( ) 20．甲数是乙数的，乙数与甲数的比是1∶5。( ) 三、选择题 21．把2克红砂糖完全溶解于100克水中，红砂糖与糖水的质量比是（    ）。 A．2∶100 B．1∶50 C．1∶51 22．一个三角形的3个内角的度数比是1∶1∶2，这是一个（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．锐角 23．六年级一班有男生28人，女生27人．则男生与女生人数的比是（ ） A．27:55 B．28:27 C．27:28 D．28:55 24．小红和小明放学步行回家，已知小红走的路程比小明少，而小明用的时间比小红多，那么小红与小明步行回家的速度比是（ ） A．3：5 B．5：3 C．4：5 D．1：3 25．把的前项增加8，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．乘3 B．增加8 C．乘4 D．增加21 26．六年级一班有男生28人，女生27人．则女生与男生人数的比是（ ） A．27:55     B．28:27     C．27:28 D．28:55 27．一杯盐水，盐的质量是水的质量的，盐和盐水的质量比是（　　）。 A．1∶19 B．1∶20 C．1∶18 28．妈妈用24元买了6千克苹果，总价与数量的比的比值是（     ）。 A．24：6 B． C．4：1 D．4 29．若x＝y，（x、y均不为0），则x∶y＝（    ）。 A．9∶8 B．8∶9 C．72∶1 D．1∶72 30．某工厂从甲车间调出的人给乙车间，甲、乙两车间的人数正好相等，原来甲、乙两车间的人数比是（    ）。 A．10∶9 B．5∶4 C．11∶10 四、计算题 31．下面哪些比的比值相等？ 16∶20 2： 6.4∶0.8 ：0.5      ：    4.2：2.8       ： 五、解答题 32．学校在经典诵读活动中购回一批新书，共480本，现打算按年级人数分给四、五、六年级，其中四年级有38人，五年级有40人，六年级有42人，六年级分得新书多少本？ 33．小爱同学在期末测试中，语文、数学、英语成绩的比是，三科平均分为90分。她的语文、数学、英语成绩分别是多少？ 34．甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时相遇。已知两地相距180千米，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？ 35．甲乙两列火车从相距900千米的两地同时相向开出，经过5小时正好相遇。已知甲乙两列火车的速度之比是4∶5，两列火车每小时各行多少千米？ 36．李叔叔和王叔叔分别从相距480千米的两地同时开车出发，相对而行，3.2小时后两车相遇，李叔叔和王叔叔开车速度比是7∶8，李叔叔驾车每小时行驶多少千米？ 37．在“黄金比”之美设计大赛中，李阳设计了一个周长是50厘米的长方形贺卡，长与宽的比是3∶2。制作这样一张贺卡需要多少平方厘米的卡纸？ 38．一本书，甲看完需10天，乙看完需15天。 （1）写出甲、乙看书的时间比，并化简。 （2）写出甲、乙看书的速度比并化简。 39．某制药厂要配制一种注射液，药物浓缩液与蒸馏水的比是1∶19。如果要配制5000升这样的注射液，需要浓缩液和蒸馏水各多少升？ 40．六年级一班举行元旦庆祝会，唱歌的有16人，演小品的人数比唱歌的多2人。唱歌的人数比跳舞的少。 （1）演小品的有多少人？ （2）跳舞的有多少人？ （3）唱歌的同学中。演唱校园歌曲和通俗歌曲的人数比是3∶1。唱这两类歌曲的各有多少人？ 41．育才小学三、四、五年级学生参加冬季越野赛的一共有360人，其中三年级学生占了总人数，四、五年级参赛人数的比是2∶3，五年级参加越野赛的有多少人？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 比 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：比的意义 1、 定义：两个数相除又叫作两个数的比，例如：3÷5可以写成3:5，读作“3比5”，其中，3是比的前项，5是比的后项，“:”是比号。 2、 比与除法、分数的关系： 比号相当于除号，比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数，分数的分母；比值相当于除法的商，分数的值。 比、除法、分数三者可以相互转化，如a:b=a÷b=a/b（b≠0） 3、比的后项不能为0，因为除数不能为0，分母也不能为0，所以比的后项同样不能为0。 知识点02：比的基本性质 1、 性质：比的前项和后项同时乘或除以同样的数（0除外），比值不变， 2、 应用： （1） 化简比：通过约分将比化为最简形式； （2） 求比值：用比的前项除以后项得到数值结果。 3、 化简比的方法： 整数比：找前项和后项的最大公因数，前项、后项同时除以最大公因数。 分数比：找前项和后项分母的最小公倍数，前项、后项同时乘最小公倍数，再化成最简整数比。 小数比：把小数转化成整数，再化简整数比。 知识点03：比的类型 1、 同类量的比： 2、 非同类量的比：如路程与时间的比，工作总量与时间的比 知识点04：按比例分配 1、 定义：将一个数量按照一定的比分配给不同的部分。 2、 步骤： （1） 确定总分数； （2） 计算各部分占总分数的几分之几； （3） 用乘法求出各部分的数量。 知识点05：连比问题 1、 定义：将三个或三个以上的量用比的形式表示。 2、 步骤： （1） 找到中间量， （2） 求出中间量的最小公倍数； （3） 根据比的基本性质调整各比，使中间量相同。 （4） 合并为连比。 知识点06：比在生活中的应用 1、 人体比例；如头长与身高的比，臂长与腿长的比等 2、 调制饮料；按照一定的比调制相关饮料 3、 其他应用：如按比例分配任务、计算工作效率等。 易错点剖析 1、如图，《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2。问：图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是（    ），小正方形的面积是大正方形面积的。 【答案】1∶1； 【分析】设定直角边长度： 已知直角三角形两条直角边长度比是1∶2 。为了方便计算，我们可以给较短直角边赋予一个具体的数值（设数的目的是将比例关系转化为具体可算的量）。不妨设较短直角边的长度为a（这里a是一个任意正数，为了计算简单，后续也可直接代入具体数值，比如a＝1 ），根据比例关系，较长直角边的长度就是2a 。 分析小正方形边长的构成： 观察弦图的拼接方式（4个相同直角三角形拼接），小正方形的边长是由直角三角形的较长直角边与较短直角边的差值决定的。因为在拼接时，较长直角边和较短直角边的差会形成小正方形的边，所以小正方形的边长＝较长直角边长度－较短直角边长度。 推导大正方形面积的计算方式： 通过弦图的组成部分计算，大正方形由4个完全相同的直角三角形和中间的小正方形组成，因此大正方形面积＝4个直角三角形的面积和＋小正方形的面积。 【详解】求小正方形边长与短直角边的比： 设直角三角形短直角边为a，因直角边比1∶2，则长直角边为2a。 由弦图拼接知，小正方形边长＝长直角边－短直角边，即2a－a＝a 。 所以小正方形边长与短直角边的比为a∶a＝1∶1 。 求小正方形面积与大正方形面积的占比： 取a＝1（简化计算），则短直角边1、长直角边2，小正方形边长1。 小正方形面积：1×1＝1 。 直角三角形面积：1×2÷2＝2÷2＝1，4个三角形面积和为4×1＝4 。 大正方形面积：4＋1＝5 。 占比：小正方形面积是大正方形面积的 。 图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是1∶1，小正方形的面积是大正方形面积的。 【点睛】用设数法简化比例，借弦图组成算面积，分步推导比例关系，体现化抽象为具体的思想。 2、美术室陈列着一尊断臂维纳斯石膏像，这尊断臂维纳斯石膏像的上半身和下半身成黄金比例（比值约0.618）。玲玲量得石膏像的下半身长100cm，刚好到达“黄金分割点”，这尊断臂维纳斯石膏像身高是( )cm。 【答案】161.8 【分析】由题意得： 这尊断臂维纳斯石膏像的上半身和下半身成黄金比例（比值约0.618），又已知玲玲量得石膏像的下半身长100cm，用比值乘石膏像下半身的长，计算出石膏像上半身的长，再加上石膏像下半身的长即可解答。 【详解】0.618×100＋100 ＝61.8＋100 ＝161.8（cm） 这尊断臂维纳斯石膏像身高是161.8cm。 【点睛】前项∶后项＝比值，其中，前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，故有：前项＝后项×比值。本题正是应用这个关系来解题的。 3、商高是最早发现“勾股定理”的人。他提出了“勾三股四弦五”的说法，即：一个直角三角形的短直角边（勾）长是3（股）长是4，那么斜边（弦），也就是“勾∶股∶弦＝3∶4∶5”。用一根长72厘米的铁丝可围成这样一个直角三角形，这个直角三角形的弦长( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 30 216 【分析】由勾∶股∶弦＝3∶4∶5知，把这个直角三角形的周长看作单位“1”，则勾占这个三角形的，股占这个三角形的，弦占这个三角形的，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，分别用72×、72×、72×求出三条边的长度，再根据三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入求出三角形的面积即可。 【详解】勾：72× ＝72× ＝18（厘米） 股：72× ＝72× ＝24（厘米） 弦：72× ＝72× ＝30（厘米） 面积：18×24÷2＝216（平方厘米） 这个直角三角形的弦长30厘米，面积是216平方厘米。 【点睛】本题主要考查了三角形的周长和面积，比的应用，解答本题的关键是把这个直角三角形的周长看作单位“1”，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算解答。 4、莆田木雕《清明上河图》创造了吉尼斯世界纪录，该作品雕刻有人物550多人，车轿20多乘，船只20多艘，屋舍楼榭更是不计其数。这个“世界最长木雕”作品长约12.3米，宽2.401米，高与长的比是10∶41，高比长少多少米？ 【答案】9.3米 【分析】根据题意得：作品长约12.3米，高与长的比是10∶41，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），可得出高是多少；再与长相比较即可得出答案。 【详解】高与长的比是10∶41，已知长是12.3米，则比的后项为12.3，12.3÷41＝0.3，要保持比值不变，则前项也要乘0.3。即高为：（米）； 高比长少的米数为：（米） 答：高比长少9.3米。 5、《九章算术》第三章“衰分”：今有大夫、不更、簪褱、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问：各得几何？ 译释：现有大夫、不更、簪裹（zān niǎo）、上造、公士5人，共猎得五只鹿。想按爵位的高低分配，问：各分到多少只鹿？（大夫、不更、簪裹、上造、公士的分配比是5∶4∶3∶2∶1） 解答： 【答案】大夫分到只鹿，不更分到只鹿，簪褭分到1只鹿，上造分到只鹿，公士分到只鹿 【分析】由题意可知，共有五只鹿，按5∶4∶3∶2∶1分配给5人，则大夫分配的只数占总只数的，不更分配的只数占总只数的，簪裹分配的只数占总只数的，上造分配的只数占总只数的，公士分配的只数占总只数的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此求出各分到多少只鹿。 【详解】大夫： ＝5× ＝（只） 不更： ＝5× ＝（只） 簪褭： ＝5× ＝1（只） 上造   ＝5× ＝（只） 公士： ＝5× ＝（只） 答：大夫分到只鹿，不更分到只鹿，簪褭分到1只鹿，上造分到只鹿，公士分到只鹿。 6、《算法统宗》记载这样一道数学题：今有鳏寡孤独四贫民共给米240石，其鳏者四分，寡者五分，孤者七分，独者九分，问四民各该若干？意思是240石米，按照4∶5∶7∶9的比例分给鳏、寡、孤、独四个贫民。请同学们算一算四贫民中寡可得多少石米？ 【答案】48石 【分析】按照4∶5∶7∶9的比例分给鳏、寡、孤、独四个贫民，首先根据已知条件可知：四贫民中寡可分得总数的，接下来利用乘法的意义，按照求一个数的几分之几是多少的方法，即可求出四贫民中寡可得多少石米。 【详解】240× ＝240× ＝48（石） 答：四贫民中寡可得48石米。 【点睛】此题主要考查按比例分配的应用题的解答方法，解题关键是根据已知条件用分数方法解答。 7、我国有悠久的青铜器铸造史，先秦古籍《考工记》中记载“六分其金而锡居一，谓之钟鼎之齐”，大意是：制作青铜鼎需使用铜与锡两种成分，且铜与锡的质量比约是6∶1。如图，某青铜鼎的质量是6.3千克，其中含铜和锡各多少千克？ 【答案】铜5.4千克；锡0.9千克 【分析】已知某青铜鼎的质量是6.3千克，制作青铜鼎中铜与锡的质量比约是6∶1，即铜的质量占青铜鼎的质量的，锡的质量占青铜鼎的质量的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出铜和锡的质量。 【详解】铜的质量： 6.3× ＝6.3× ＝5.4（千克） 锡的质量： 6.3× ＝6.3× ＝0.9（千克） 答：含铜5.4千克，锡0.9千克。 强化练习 一、填空题 1．把化成最简整数比是( )。 【答案】 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比的大小不变，的前项和后项同时除以50，即可得出答案。 【详解】最简整数比为： 。 【点睛】本题主要考查的是比的基本性质，解题的关键是熟记比的基本性质并加以运用。 2．一辆汽车3小时行了180千米，路程和时间的比是( )，这个比的比值表示( )。照这样的速度，再行驶2小时，一共能行( )千米。 【答案】 速度 300 【分析】根据题意，写出路程和时间的比，运用比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，可得出最简比，据此可得出答案。 【详解】这辆汽车的路程和时间比是：，这个比值表示的是这辆汽车的速度。以这样的速度再行驶2小时，一共行的路程为： （千米）。 【点睛】本题主要考查的是行程问题及比的化简、比值，解题的关键是熟练运用路程、速度、时间的关系及比的性质，进而得出答案。 3．把5克糖溶解在30克水中，糖和糖水的质量最简整数比是( )，按照这一比例调制112克糖水，需要( )克水。 【答案】 1∶7 96 【分析】糖的质量加水的质量就是糖水总质量，求最简整数比就约去最大公因数即可；算出需要的糖的质量，再用糖水总质量减去糖的质量就是水的质量。 【详解】5∶（5＋30）＝5∶35＝1∶7 112÷7＝16（克） 112－16＝96（克） 【点睛】本题考查化简比和比的应用。 4．（    ）（填小数）。 【答案】24；14；16；0.875 【分析】根据分数与比的关系，，根据比的基本性质，求出，根据分数的基本性质，求出，，。 【详解】 【点睛】此题解题的关键是掌握分数与比之间的关系以及分数与小数之间的互化。 5．在100克水中加入10克盐，盐和盐水的比是( )。 【答案】1∶11 【分析】此题中在100克水中加入10克盐，那么盐水的质量是100＋10，然后将盐与盐水的质量写成比的形式，化简即可。 【详解】100＋10＝110（克） 盐∶盐水＝10∶110＝1∶11 【点睛】此题主要考查学生对比的理解与应用。 6．把4∶5的前项加上16，要使比值不变，比的后项应( )；把8∶28的后项减去14，要使比值不变，比的前项应( )。 【答案】 加上20 减去4（答案不唯一） 【分析】根据比的前项加上前项的几倍，后项就加上后项的几倍，比值不变；第二个比，用后项除以减去14后的得数，求出缩小的倍数，前项也缩小相同的倍数，再与前项求差即可。 【详解】16÷4×5＝20；28÷（28－14）＝28÷14＝2，8－8÷2＝8－4＝4 把4∶5的前项加上16，要使比值不变，比的后项应加上20；把8∶28的后项减去14，要使比值不变，比的前项应减去4。 【点睛】关键还是得理解比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 7．一个比的比值是，后项是，前项是( )。 【答案】 【分析】两数相比所得的值叫做比值。即前项除以后项的商就是比值。后项和比值已知，求前项，可用比值乘后项求得。 【详解】前项÷后项＝比值，所以前项＝比值×后项，前项＝＝ 【点睛】此题的关键是利用求比值的方法，即可得出结果。 8．某班有男生24人，男生人数的与女生人数的相等，这个班有女生( )人，男生人数与女生人数的最简整数比是( )。 【答案】 16 3∶2 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，先求出男生人数的，再用求出的人数÷对应的女生人数的分率＝女生人数；根据比的意义，写出男女生人数比，化简即可。 【详解】24×÷＝16（人） 24∶16＝3∶2 【点睛】关键是理解分数乘除法和比的意义，两数相除又叫两个数的比。 9．升∶400毫升化为最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 3∶2 【分析】根据1升＝1000毫升转化单位，再根据化简整数比的方法化简计算即可。 【详解】升∶400毫升＝（×1000）毫升∶400毫升＝600∶400＝（600÷200）∶（400÷200）＝3∶2＝ 【点睛】掌握化简比并求比值的方法是解答题目的关键。 10．一道减法算式中，减数的 正好等于被减数的 ，那么减数与差的最简整数比是 ． 【答案】7：5 【分析】由题意可得：减数× =被减数× ，逆运用比例的基本性质，即可求出被减数和减数的比，也就能求出差，从而求出减数与差的比．求出被减数和减数的比，是解答本题的关键． 【详解】因为减数×=被减数×， 则被减数：减数=：=12：7， 把被减数看作12份，则减数是7份，差是5份， 所以减数：差=7：5； 故答案为7：5． 二、判断题 11．从甲城到乙城，货车需要行驶5小时，客车需要行驶6小时，货车与客车的速度比是5∶6。( ) 【答案】× 【分析】把从甲城到乙城的路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出货车和客车的速度，进而根据题意解答即可。 【详解】设甲城到乙城的距离为单位“1”， 则货车与客车的速度比为∶＝6∶5； 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查比的应用。 12．比的前项和后项都乘或减一个不为0的数，比值不变。 ( ) 【答案】× 【分析】比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 【详解】比的前项和后项都乘或减一个不为0的数，比值是变化的，原题说法错误。 故答案为：× 13．甲数是乙数的，则乙数与甲数的比是1∶8。     ( ) 【答案】× 【分析】因为甲数是乙数的，把乙数看作单位“1”，则甲是，由此写出乙数与甲数的比，再化简即可。 【详解】1∶＝8∶1，所以乙数与甲数的比是8∶1而不是1∶8，原题说法错误。 故答案为：× 14．在400克盐水中，含盐80克，盐与水的比是1∶5。( ) 【答案】× 【分析】从“400克盐水”可知，盐与水的和是400克。已知盐有80克，那么水有400－80＝320克。根据比的意义即可写出盐与水的质量比，再化成最简整数比。据此解答。 【详解】80∶（400－80） ＝80∶320 ＝1∶4 盐与水的比是1∶4。 故答案为：× 15．比的前项乘2，比的后项除以2，比值扩大4倍。( ) 【答案】√ 【分析】根据比的性质“比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变”，可知比的前项乘2，后项除以2，比值变了，扩大了4倍；此题也可以举例子进行验证。 【详解】如比：6∶2＝3 比的前项乘2，由6变成12，后项除以2，由2变成1，则比变为：12∶1＝12，比值扩大了：12÷3＝4倍 所以比的前项乘2，后项除以2，比值扩大4倍，原题说法正确 故答案为：√ 【点睛】此题考查比的性质的运用：只有比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变；否则比值会改变。 16．如果公鸡的只数占母鸡只数的，那么公鸡与母鸡的只数比是4：3 。( ) 【答案】× 【分析】从“公鸡的只数占母鸡只数的”可知：以母鸡只数为单位“1”，将母鸡只数平均分成4份，公鸡的只数相当于这样的3份。因此公鸡与母鸡的只数比是3∶4。 【详解】根据分析可知：公鸡有3份，母鸡有4份，那么公鸡与母鸡的只数比是3∶4。 故答案为：× 17．一本书已读的页数与未读页数的比是5∶7，已经读完这本书的。( ) 【答案】× 【分析】通过已读的页数与未读页数的比，总页数是5＋7，求已读页数占这本书的几分之几，用已读页数÷总页数。 【详解】5÷（5＋7）＝5÷12＝，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】关键是理解比的意义，求一个数占另一个数的几分之几用除法。 18．如果小明体重的和小红体重的相等，那么小明和小红体重的比是5∶6。( ) 【答案】× 【分析】根据乘法的意义，将小明体重的和小红体重的相等写成乘法算式，再转化出比即可。 【详解】小明体重×＝小红体重× 小明体重∶小红体重＝∶＝6∶5 故答案为：× 【点睛】两数相除又叫两个数的比。 19．甲数是乙数的，甲数与乙数的比是3∶1。( ) 【答案】× 【分析】乙数是单位“1”，甲数就是，写出甲数与乙数的比并化简即可。 【详解】乙数是1，甲数与乙数的比是：：1＝1：3 故答案为：× 20．甲数是乙数的，乙数与甲数的比是1∶5。( ) 【答案】× 【分析】已知甲数是乙数的，若甲数为1份，则乙数为5份，因此乙数与甲数的比是5∶1。 【详解】根据分析可知，甲数是乙数的，乙数与甲数的比是5∶1，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 21．把2克红砂糖完全溶解于100克水中，红砂糖与糖水的质量比是（    ）。 A．2∶100 B．1∶50 C．1∶51 【答案】C 【分析】由比的意义可知，红砂糖的质量∶糖水的质量＝红砂糖的质量∶（红砂糖的质量＋水的质量），据此解答。 【详解】红砂糖与糖水的质量比表示为：2∶（2＋100）＝2∶102＝1∶51 故答案为：C 【点睛】根据比的意义确定比的前项和比的后项是解答题目的关键。 22．一个三角形的3个内角的度数比是1∶1∶2，这是一个（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．锐角 【答案】A 【分析】三角形内角和180°，内角和÷总份数×最大份数＝最大角的度数；根据比的意义，这个三角形有两个角相等，一个角是内角和的一半，两角相等的三角形是等腰三角形，直角三角形的直角是内角和一半，据此分析。 【详解】1＋1＋2＝4 180°×＝90° 有一个角是直角的三角形叫直角三角形，所以这是一个直角三角形。 故答案为：A 【点睛】此题是考查了三角形内角和与直角三角形的定义。 23．六年级一班有男生28人，女生27人．则男生与女生人数的比是（ ） A．27:55 B．28:27 C．27:28 D．28:55 【答案】B 【详解】男生与女生人数的比是28∶27 故答案为：B 24．小红和小明放学步行回家，已知小红走的路程比小明少，而小明用的时间比小红多，那么小红与小明步行回家的速度比是（ ） A．3：5 B．5：3 C．4：5 D．1：3 【答案】C 【分析】本题可把小明的行程和时间当成“1”，则小红走的路程为1－，小红用的时间为1÷（1＋），从而根据速度=路程÷时间求出他们回家的速度是多少． 【详解】小红走的路程是小明的1－＝， 小明用的时间是小红的1＋， 小红用的时间为1÷（1＋）。 ＝1÷ ＝ 小红与小明步行回家的速度比是： （）：（1÷1） ＝：1 ＝4：5 答：小红与小明步行回家的速度比是4：5。 故答案为：C 25．把的前项增加8，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．乘3 B．增加8 C．乘4 D．增加21 【答案】A 【分析】4∶7的前项增加8，可知比的前项由4变成12，相当于前项乘3； 根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由7变成21，也可以认为是后项加上21－7＝14，据此选择。 【详解】4∶7的前项增加8，可知比的前项由4变成12，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3。 故选：A 【点睛】解答此题应注意前项增加8，而不是增加到8。 26．六年级一班有男生28人，女生27人．则女生与男生人数的比是（ ） A．27:55     B．28:27     C．27:28 D．28:55 【答案】C 【详解】【解答】27∶28 故答案为：C 【分析】比中的各部分名称分别是前项、比号、后项和比值。 27．一杯盐水，盐的质量是水的质量的，盐和盐水的质量比是（　　）。 A．1∶19 B．1∶20 C．1∶18 【答案】B 【分析】根据分数找出各自的份数，然后再根据盐水的质量＝盐的质量＋水的质量，求出盐水的份数。已知“盐的质量是水的质量的”，则盐占了1份，水占了19份；据此可求出盐水的份数，然后再写出盐和盐水的质量比，即用盐的份数比盐水的份数，据此解答即可。 【详解】盐水：1＋19＝20（份） 盐和盐水的质量比是：1∶20 一杯盐水，盐的质量是水的质量的，盐和盐水的质量比是1∶20。 故答案为：B 28．妈妈用24元买了6千克苹果，总价与数量的比的比值是（     ）。 A．24：6 B． C．4：1 D．4 【答案】D 【分析】总价是24元，数量是6千克，总价与数量的比也就24与6的比，然后求出它们的比值即可解答。 【详解】24∶6＝24÷6＝4 妈妈用24元买了6千克苹果，总价与数量的比的比值是4。 故答案为：D 29．若x＝y，（x、y均不为0），则x∶y＝（    ）。 A．9∶8 B．8∶9 C．72∶1 D．1∶72 【答案】A 【分析】假设x＝y＝1，分别计算出x和y，再写出它们之间的比即可。 【详解】假设x＝y＝1； 则x＝9，y＝8； x∶y＝9∶8； 故答案为：A。 【点睛】本题采用了假设法，题目具体化，分别计算出x和y的值，再进一步解答。 30．某工厂从甲车间调出的人给乙车间，甲、乙两车间的人数正好相等，原来甲、乙两车间的人数比是（    ）。 A．10∶9 B．5∶4 C．11∶10 【答案】B 【分析】把原来甲车间的人数看作单位“1”，由“从甲车间调总人数的调到乙车间后，两车间的人数就一样多”，说明甲车间人数比乙车间人数多甲车间人数的（×2），则乙车间的人数是甲车间人数的（1－×2）；进而用原来甲车间的人数和乙车间的人数相比即可。 【详解】1∶（1－×2） ＝1∶ ＝（1×5）∶（×5） ＝5∶4 所以原来甲、乙两车间的人数比是5∶4。 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键：判断出单位“1”，转化为同一单位“1”下求比，注意应化为最简整数比。 四、计算题 31．下面哪些比的比值相等？ 16∶20 2： 6.4∶0.8 ：0.5     ：    4.2：2.8       ： 【答案】16：20和：的比值相等，6.4：0.8和2：的比值相等，：0.5和：的比值相等 【详解】16：20＝16÷20＝0.8，2：＝2÷＝8，6.4：0.8＝6.4÷0.8＝8 ：0.5＝÷0.5＝，：＝÷＝0.8，4.2：2.8＝4.2÷2.8＝1.5，：＝÷＝ 【点睛】先根据求比值的方法，分别求出每个比的比值，然后再进行解答即可。 五、解答题 32．学校在经典诵读活动中购回一批新书，共480本，现打算按年级人数分给四、五、六年级，其中四年级有38人，五年级有40人，六年级有42人，六年级分得新书多少本？ 【答案】168本 【分析】根据题意，三个年级的人数比就是三个年级分得新书的本书比，已知新书总本书按比例分配即可得出六年级分得新书的本书。 【详解】480× ＝480× ＝168（本） 答：六年级分得新书168本。 【点睛】理解题目条件，按年级人数分书，即三个年级的人数比就是三个年级分得新书的本书比是解题关键。 33．小爱同学在期末测试中，语文、数学、英语成绩的比是，三科平均分为90分。她的语文、数学、英语成绩分别是多少？ 【答案】语文90分；数学100分；英语80分 【分析】先根据平均分计算出三科的总分，再根据比的应用计算出每科的成绩。 【详解】90×3＝270（分） 语文：270×＝90（分） 数学：270×＝100（分） 英语：270×＝80（分） 答：她的语文成绩是90分，数学成绩是100分，英语成绩是80分。 【点睛】掌握按比例分配问题的解决方法是解答题目的关键。 34．甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时相遇。已知两地相距180千米，甲、乙的速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】甲车54千米/时，乙车36千米/时 【分析】根据甲乙的速度比，将甲乙的速度用未知数x分别表示出来。甲乙两车相遇时，两车的路程和恰好等于两地的距离180千米。据此列方程解方程，从而利用乘法求出甲乙的速度。 【详解】解：设甲车的速度为3x千米/时，那么乙车的速度为2x千米/时。 2×（3x＋2x）＝180 10x＝180 x＝180÷10 x＝18 甲车：3×18＝54（千米/时） 乙车：2×18＝36（千米/时） 答：甲车的速度为54千米/时，乙车的速度为36千米/时。 【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时，两车的路程和恰好等于两地的距离。 35．甲乙两列火车从相距900千米的两地同时相向开出，经过5小时正好相遇。已知甲乙两列火车的速度之比是4∶5，两列火车每小时各行多少千米？ 【答案】甲每小时行80千米；乙每小时行100千米 【分析】根据“速度和＝总路程÷相遇时间”求出甲乙两列火车的总速度，甲列火车占两车速度和的，乙列火车占两车速度和的，最后用分数乘法求出两列火车的速度，据此解答。 【详解】900÷5× ＝900÷5× ＝180× ＝80（千米） 900÷5× ＝900÷5× ＝180× ＝100（千米） 答：甲列火车每小时行80千米，乙列火车每小时行100千米。 【点睛】本题主要考查比的应用，求出两列火车各占速度和的分率是解答题目的关键。 36．李叔叔和王叔叔分别从相距480千米的两地同时开车出发，相对而行，3.2小时后两车相遇，李叔叔和王叔叔开车速度比是7∶8，李叔叔驾车每小时行驶多少千米？ 【答案】70千米 【分析】先根据总路程和相遇时间计算出李叔叔和王叔叔的速度和，再根据比的应用计算出李叔叔驾车的速度。 【详解】（480÷3.2）× ＝150× ＝70（千米） 答：李叔叔驾车每小时行驶70千米。 【点睛】本题考查了比的知识在实际生活中的应用。 37．在“黄金比”之美设计大赛中，李阳设计了一个周长是50厘米的长方形贺卡，长与宽的比是3∶2。制作这样一张贺卡需要多少平方厘米的卡纸？ 【答案】150平方厘米 【分析】先根据长方形的周长计算出长与宽的和，再利用按比例分配计算出长方形的长和宽，最后根据“长方形的面积＝长×宽”即可求得。 【详解】50÷2＝25（厘米） 长：（厘米）    宽：（厘米）    面积：15×10＝150（平方厘米） 答：制作这样一张贺卡需要150平方厘米的卡纸。 【点睛】分析题意计算出长方形贺卡的长和宽是解答题目的关键。 38．一本书，甲看完需10天，乙看完需15天。 （1）写出甲、乙看书的时间比，并化简。 （2）写出甲、乙看书的速度比并化简。 【答案】（1）2∶3 （2）3∶2 【分析】化简比和求比值都要依据比的基本性质．化简比可以把比的形式写成除法的形式，也可以把比的形式写成分数的形式；然后再化简，得出的结是最简整数比。 【详解】（1）10∶15＝2∶3 （2）15∶10＝3∶2 39．某制药厂要配制一种注射液，药物浓缩液与蒸馏水的比是1∶19。如果要配制5000升这样的注射液，需要浓缩液和蒸馏水各多少升？ 【答案】250升、4750升 【分析】用注射液总体积÷总份数，求出一份数，一份数分别乘浓缩液和蒸馏水的对应份数即可。 【详解】5000÷（1＋19） ＝5000÷20 ＝250（升） 250×1＝250（升） 250×19＝4750（升） 答：需要浓缩液和蒸馏水各250升、4750升。 【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。 40．六年级一班举行元旦庆祝会，唱歌的有16人，演小品的人数比唱歌的多2人。唱歌的人数比跳舞的少。 （1）演小品的有多少人？ （2）跳舞的有多少人？ （3）唱歌的同学中。演唱校园歌曲和通俗歌曲的人数比是3∶1。唱这两类歌曲的各有多少人？ 【答案】（1）10人 （2）24人 （3）校园歌曲：12人，通俗歌曲：4人 【分析】（1）把唱歌人数看成单位“1”，根据演小品的人数比唱歌的多2人，列数量关系式：演小品的人数＝唱歌人数×＋2，即求出演小品人数； （2）根据唱歌的人数比跳舞的少，又把跳舞人数看成单位“1”，求单位“1”用除法； （3）已知唱歌人数16人，又知演唱校园歌曲和通俗歌曲的人数比是3∶1，按比分配求出各自的人数。 【详解】（1） ＝8＋2 ＝10（人） 答：演小品的有10人。 （2） ＝16÷ ＝24（人） 答：跳舞的有24人。 （3）校园歌曲： ＝16× ＝12（人） 通俗歌曲：16－12＝4（人） 答：校园歌曲有12人，通俗歌曲有4人。 【点睛】解答此题关键是找单位“1”，单位“1”已知用乘法，未知用除法。 41．育才小学三、四、五年级学生参加冬季越野赛的一共有360人，其中三年级学生占了总人数，四、五年级参赛人数的比是2∶3，五年级参加越野赛的有多少人？ 【答案】162人 【分析】先利用求一个数的几分之几是多少，用乘法，求出三年级学生的人数；用育才小学三、四、五年级学生总人数减去三年级学生的人数，得出四、五年级的学生人数，把四年级的学生人数看作2份，五年级的学生人数看作3份，所以四、五年级学生人数的总份数看作（2＋3）份，然后求出五年级的学生人数占四、五年级的学生总人数的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，求出五年级参加越野赛的有多少人。 【详解】360－360× ＝360－90 ＝270（人） 270× ＝270× ＝162（人） 答：五年级参加越野赛的有162人。 【点睛】此题主要考查按比例分配的应用题的解答方法，解题关键是把比转化为分数，用分数方法解答。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $