第08讲 圆+圆的对称性（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第08讲 圆+圆的对称性（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆 知识点02：圆的有关概念 知识点03：点与圆的位置关系 知识点04：圆的对称性 知识点05：圆心角、弧、弦之间的关系 知识点06：圆心角、弧、弦之间关系的推论 典例分析 （举三反三） 考点1：圆的有关概念 考点2：确定点与圆的位置关系 考点3：圆心角、弧、弦之间的关系应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】圆 1. 圆的定义 (1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. (2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合. 2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”. 3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等.(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上. 【知识点02】圆的有关概念 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、半圆、劣弧、优弧、 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 【知识点03】点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有： 点和圆的位置关系 特点 等级关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内d＜r 【知识点04】圆的对称性 1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 2. 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 3. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质就是圆的旋转不变性. 【知识点05】圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 如图3-2-2，∠ AOB=∠ A′OB′ AB = A′B′，AB=A′B′. 【知识点06】圆心角、弧、弦之间关系的推论 1. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展) 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等. 【题型一】圆的有关概念 【典例1-1】下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①直径是弦，说法正确； ②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误． 综上，正确的只是①， 故选：D． 【典例1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也．”据此解答即可． 【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆， 故选：． 【典例1-3】（21-22九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，连接，先根据等边对等角，从而得到，再利用等腰三角形的定义和三角形外角的性质得到的度数即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 半径不是弦，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1-3】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二】确定点与圆的位置关系 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A．点M在圆上 B．点M在圆外 C．点M在圆内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握知识点是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：的半径为，点M到圆心O的距离， ∴， ∴点M在圆外． 故选B． 【典例2-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）圆的半径为，若，则点在 ．（填圆内或圆上或圆外） 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可得到答案． 【详解】解：∵圆的半径为，若， 则， ∴ 点在圆内， 故答案为：圆内． 【典例2-3】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查直线与圆的位置关系、斜率的几何意义，解题思路是将转化为直线斜率，通过求过原点与圆相切的直线斜率得最大值；考查的知识点是直线与圆的相切性质、斜率的几何意义，用到的思想是转化思想，方法是几何意义转化法，技巧是将代数问题几何化，解题关键是理解的几何意义并利用直线与圆相切的性质，易错点是忽略斜率的几何意义导致思路受阻． 【详解】解：设过原点的直线方程为， 由题意得：即， 解得，即，最大值为1， 故答案为． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ∵半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：∵使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 【题型三】圆心角、弧、弦之间的关系应用 【典例3-1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 【典例3-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【典例3-3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：∵， ， ． 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴．          ∵， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴．           ∵， ∴．           ∴．         ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是（   ） A．在同圆或等圆中，等弧对等弦 B．三点确定一个圆 C．半径是弦 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质． A涉及弧与弦的关系，B涉及确定圆的条件，C涉及半径与弦的定义，D涉及垂径定理的表述，根据圆的基本性质判断正误即可． 【详解】解：A：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，∴所对的弦也相等，故A正确； B：只有当三点不共线时才能确定一个圆，共线时不能确定，故B错误； C：半径是连接圆心和圆上一点的线段，而弦是连接圆上两点的线段，半径只有一个端点在圆上，半径不是弦，故C错误； D：直径也是弦，平分直径的直径不一定垂直于这条直径，故D错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（   ） A．点在上 B．点在上 C．点在内 D．点在内 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与点和圆的位置关系，涉及知识点：勾股定理（直角三角形边长计算）、点与圆的位置判断（点到圆心的距离与半径比较）．解题方法是先由勾股定理求出的长，再分别比较点到圆心的距离与半径的大小；解题关键是准确计算点到圆心的距离，易错点是混淆点与圆位置关系的判定条件． 【详解】在中，由勾股定理得：． 点到的距离是，因，故点在内； 点到的距离是，因，故点在外． 故选C． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知的半径为5，点P在上，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆中的弦，圆中最长的弦是直径，理解直径的性质是解题的关键．圆中最长的弦是直径，以此回答即可． 【详解】∵是中最长的弦， 是的直径， 的直径为8cm， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系判定．熟练掌握点与圆的位置关系判定是解题的关键． 根据圆的面积公式求出半径，再比较点P到圆心O的距离与半径的大小，确定位置关系． 【详解】由的面积是，得，解得． ∵， ∴点在外． 故答案为圆外． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，先根据勾股定理算出，再结合点与圆的位置关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内， ∴， 即， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ， ． 15．（24-25九年级上·广东汕头·月考）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，先根据半径相等得，再运用三角形内角和得，故，然后由得，即可作答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 16．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【答案】(1)点A在内； (2)点A在外； (3)点A在上． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； 【详解】（1）解：连接，如图： ∵在中，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在内； （2）解：∵在中，，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在外； （3）解：∵在中，，，点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在上． 17．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 18．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，为直径，与交于点E，，过O点作，交于点F． (1)求证：平分； (2)若的半径为6，，求的长； (3)设，的面积为，的面积为，的面积为．若，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由 证明它们所对的圆心角相等，再结合等腰三角形的性质，内角和定理可得答案； （2）如图，过作于 则 证明 再利用勾股定理建立方程组 可得： 结合相似三角形的性质可得 从而可得答案； （3）如图，过作于 由，证明 结合可得 证明 即 设 则 由可得： 再证明 可得 从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． （2）如图，过作于 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 而 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）如图，过作于 ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 即 设 则 由可得： ∵ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是圆心角与弧，弦之间的关系，圆的基本性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的确定图中的相似三角形，利用勾股定理构建方程都是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 圆+圆的对称性（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆 知识点02：圆的有关概念 知识点03：点与圆的位置关系 知识点04：圆的对称性 知识点05：圆心角、弧、弦之间的关系 知识点06：圆心角、弧、弦之间关系的推论 典例分析 （举三反三） 考点1：圆的有关概念 考点2：确定点与圆的位置关系 考点3：圆心角、弧、弦之间的关系应用 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】圆 1. 圆的定义 (1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. (2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合. 2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”. 3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等.(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上. 【知识点02】圆的有关概念 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、半圆、劣弧、优弧、 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 【知识点03】点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有： 点和圆的位置关系 特点 等级关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内d＜r 【知识点04】圆的对称性 1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 2. 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 3. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质就是圆的旋转不变性. 【知识点05】圆心角、弧、弦之间的关系 1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 如图3-2-2，∠ AOB=∠ A′OB′ AB = A′B′，AB=A′B′. 【知识点06】圆心角、弧、弦之间关系的推论 1. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展) 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等. 【题型一】圆的有关概念 【典例1-1】下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【典例1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【典例1-3】（21-22九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【变式1-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【题型二】确定点与圆的位置关系 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A．点M在圆上 B．点M在圆外 C．点M在圆内 D．无法确定 【典例2-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）圆的半径为，若，则点在 ．（填圆内或圆上或圆外） 【典例2-3】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【题型三】圆心角、弧、弦之间的关系应用 【典例3-1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ． 【典例3-3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是（   ） A．在同圆或等圆中，等弧对等弦 B．三点确定一个圆 C．半径是弦 D．平分弦的直径垂直于弦 2．（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（   ） A．点在上 B．点在上 C．点在内 D．点在内 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 二、填空题 7．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知的半径为5，点P在上，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为 ． 9．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 14．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，．求的度数． 15．（24-25九年级上·广东汕头·月考）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 16．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 17．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 18．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，为直径，与交于点E，，过O点作，交于点F． (1)求证：平分； (2)若的半径为6，，求的长； (3)设，的面积为，的面积为，的面积为．若，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $