期末复习专题01 有理数的有关概念10大考点(知识梳理+题型精讲) 2025-2026学年人教版七年级数学上册

期末复习专题01 有理数的有关概念（10大考点） 【知识点1：有理数】 1.可以写成分数形式的数称为有理数。凡能写成 qp(p, q为整数且p≠0)形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。 划重点：①0即不是正数，也不是负数； ②-a不一定是负数，+a也不一定是正数； ③π不是有理数； 2.有理数的两种分类方式： 3.对等关系 【知识点 2：相反数】 1.只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0。 2.a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b; 3.相反数的和为0←→a+b=0←→ a、b互为相反数。 4.相反数的商为-1。相反数的绝对值相等。 【知识点3：绝对值】 1.正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 2.绝对值可表示为： 4.|a|是重要的非负数，即||a|≥0; 【知识点4：有理数比大小】 1.正数永远比0大，负数永远比0小； 2.正数大于一切负数； 3.两个负数比较，绝对值大的反而小； 4.数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 5.-1, - 2, +1, +4, - 0.5, 以上数据表示与标准质量的差, 绝对值越小，越接近标准。 【知识点5 ：数轴】 （1）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【知识点 6：倒数】 1.定义：乘积为1的两个数互为倒数； 0没有倒数； 2.①若 ab=1，则a、b互为倒数； ②若 ab=-1，则a、b互为负倒数。 3.等于本身的数： ①倒数等于本身的数： 1， -1 ②相反数等于本身的数： 0 ③平方等于本身的数： 0， 1 ④绝对值等于本身的数：正数和0 ⑤立方等于本身的数： 0， 1，-1 【考点1】正数和负数 典例1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．（25-26七年级上·福建莆田·期中）如果“水位上升2米”记为米，那么水位下降3米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式1-2．（25-26七年级上·河南南阳·月考）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念，如果将盈利500元记作元，那么元表示（（    ） A．支出200元 B．支出元 C．亏损200元 D．亏损元 变式1-3．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若表示向东走，则表示的是（   ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【考点2】有理数 典例2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 变式2-1．（25-26七年级上·山东济南·期中）在，，0，，，，7中，正有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2-2．（25-26七年级上·四川广安·期中）在数，，中，非负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2-3．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3】“0”的 意义 典例3．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 变式3-1．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 变式3-2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 变式3-3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【考点4】数轴 典例4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 变式4-2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【考点5】相反数 典例5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列各对数：与，与，与，与，与中，互为相反数的有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 变式5-2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，在数轴上有A、B、C、D、E五个点，若其中有两点表示的数互为相反数，则这两点是（    ） A．点A和点E B．点A和点D C．点B和点C D．点B和点D 变式5-3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，点，在数轴上表示的数分别是，．若，互为相反数，且，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【考点6】绝对值 典例6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式6-1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）2025年2月14日，哈尔滨亚冬会女子冰球比赛，中国队获得铜牌．如图，检测5个冰球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，哪个球最接近标准（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 变式6-3．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【考点7】绝对值的非负性 典例7．（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 变式7-1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 变式7-2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 变式7-3．（19-20七年级上·湖北孝感·期中）若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 【考点8】有理数的分类综合问题 典例8．（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 变式8-1．（25-26七年级上·湖南永州·期中）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，， 非负分数集合{                …}； 整数集合{                    …}； 正有理数集合{                …}； 非正整数集合{                …} 变式8-2．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合｛ ……｝ 负有理数集合｛ ……｝ 非负数集合｛ ……｝ 变式8-3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）把下列各数分别填入表示它所在的数集的圈里． ，，0，，，，8，，． 【考点9】绝对值与相反数综合问题 典例9．（25-26七年级上·广西南宁·期中）按要求解答下列问题：已知有理数：，，，， (1)互为相反数的一组是：___________； (2)把上面各数表示在数轴上，并用“<”把以上各数连接起来． 变式9-1．（25-26七年级上·青海西宁·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示以下各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来： 变式9-2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 变式9-3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）点为数轴的原点，点，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为4，线段的长为线段长的2.5倍，点在数轴上，为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)点表示的数为______；若点到点，的距离相等，则的值为______； (2)若线段，求线段的长； (3)若从点开始出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两个点的中点． 【考点10】数轴有关综合问题 典例10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 变式10-1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 变式10-2．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 变式10-3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题01有理数的有关概念（10大考点） 【知识点1：有理数】 1.可以写成分数形式的数称为有理数。凡能写成 qp(p, q为整数且p≠0)形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。 划重点：①0即不是正数，也不是负数； ②-a不一定是负数，+a也不一定是正数； ③π不是有理数； 2.有理数的两种分类方式： 3.对等关系 【知识点 2：相反数】 1.只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0。 2.a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b; 3.相反数的和为0←→a+b=0←→ a、b互为相反数。 4.相反数的商为-1。相反数的绝对值相等。 【知识点3：绝对值】 1.正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 2.绝对值可表示为： 4.|a|是重要的非负数，即||a|≥0; 【知识点4：有理数比大小】 1.正数永远比0大，负数永远比0小； 2.正数大于一切负数； 3.两个负数比较，绝对值大的反而小； 4.数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 5.-1, - 2, +1, +4, - 0.5, 以上数据表示与标准质量的差, 绝对值越小，越接近标准。 【知识点5 ：数轴】 （1）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【知识点 6：倒数】 1.定义：乘积为1的两个数互为倒数； 0没有倒数； 2.①若 ab=1，则a、b互为倒数； ②若 ab=-1，则a、b互为负倒数。 3.等于本身的数： ①倒数等于本身的数： 1， -1 ②相反数等于本身的数： 0 ③平方等于本身的数： 0， 1 ④绝对值等于本身的数：正数和0 ⑤立方等于本身的数： 0， 1，-1 【考点1】正数和负数 典例1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数；逐一判断所给数是否大于0，统计正数的个数． 【详解】解：逐一判断：（非正数），（正数），既不是正数也不是负数，（非正数），（正数），故正数有2个． 故选：B． 变式1-1．（25-26七年级上·福建莆田·期中）如果“水位上升2米”记为米，那么水位下降3米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正负数的意义，水位上升记为正数，则水位下降应记为负数． 【详解】∵水位上升2米记为米， ∴水位下降应记为负数． ∵下降3米， ∴记作米． 故选：B． 变式1-2．（25-26七年级上·河南南阳·月考）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念，如果将盈利500元记作元，那么元表示（（    ） A．支出200元 B．支出元 C．亏损200元 D．亏损元 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的实际意义（相反意义的量），解题的关键是明确正负数所表示的相反意义的概念． 先根据题意确定正数对应的概念（盈利），再推出负数对应的相反概念（亏损），从而判断元的含义． 【详解】解：盈利500元记作+500元， 负数表示亏损． 元表示亏损200元． 故选C． 变式1-3．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若表示向东走，则表示的是（   ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用． 根据正负数表示相反意义的量，向东为正，则向西为负． 【详解】解：∵表示向东走， ∴表示向西走． 故选：B． 【考点2】有理数 典例2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．根据定义，逐个判断每个数是否是有理数即可得到答案． 【详解】解：在，，，，，，，，中，有理数有，，，，，，，，共8个， 故选：C． 变式2-1．（25-26七年级上·山东济南·期中）在，，0，，，，7中，正有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．正有理数是指大于零的数．根据正有理数包括正整数和正分数求解即可． 【详解】解：在，，0，，，，7中，正有理数有，，7，共3个． 故选：B． 变式2-2．（25-26七年级上·四川广安·期中）在数，，中，非负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】非负整数包括0和正整数，需计算每个数的值再判断． 本题主要考查非负整数的概念，绝对值化简，多重符号化简，理解并掌握以上知识是关键． 【详解】解：∵ ，不是非负整数； ∵ ，是正整数，是非负整数； ∵ ，不是非负整数； ∵ ，不是整数，不是非负整数； ∵ ，是非负整数； ∵ ，是正整数，是非负整数； ∵ ，不是整数，不是非负整数； ∴ 非负整数有，共3个， 故选：B． 变式2-3．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类． 根据有理数的定义和性质逐项判断． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【考点3】“0”的 意义 典例3．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 变式3-1．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，“0”的意义，0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确； ∴ 正确的有①⑤，共2个， 故选：B． 变式3-2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 【答案】D 【分析】本题考查0的意义．充分理解0的意义是解题关键． 根据0的意义和所表示的实际意义逐项判断即可． 【详解】A、0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意； B、0是最小的自然数，正确，不符合题意； C、是零上温度和零下温度的分界线点，正确，不符合题意； D、海拔是人为规定的基准高度，通常指平均海平面的高度，它是一个具体的海拔高度，而不是没有海拔，故该说法错误，符合题意； 故选：D． 变式3-3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【考点4】数轴 典例4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小关系，根据数轴得到被墨水遮盖的数在之间，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的数在之间， ∵， ∴被墨水遮盖的数可能是； 故选：D． 变式4-1．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间的距离右边的数左边的数，是解题的关键．根据数轴上两点距离公式计算即可，注意分两种情况讨论． 【详解】解：数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为， 当点A在点B的左侧时，则点B表示的数为， 当点A在点B的右侧时，则点B表示的数为． 故选：C． 变式4-2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解； 根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 变式4-3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 【考点5】相反数 典例5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． 先化简符号，再利用相反数的定义求解即可得到答案． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：C． 变式5-1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列各对数：与，与，与，与，与中，互为相反数的有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可得． 【详解】解：，则与不是相反数； ，，则与不是相反数； ，，则与互为相反数； ，，则与不是相反数； 与互为相反数； 所以互为相反数的有2对， 故选：A． 变式5-2．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，在数轴上有A、B、C、D、E五个点，若其中有两点表示的数互为相反数，则这两点是（    ） A．点A和点E B．点A和点D C．点B和点C D．点B和点D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和相反数，理解题意是解决本题的关键． 先表示出各点的大致位置，再结合相反数的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，点A在处，点B在和之间，点C在0和1之间，点D在1和2之间处，点E在3处， ∵其中有两点表示的数互为相反数， ∴点B和点D互为相反数， 故选D． 变式5-3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，点，在数轴上表示的数分别是，．若，互为相反数，且，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的知识，熟练掌握相反数的概念是关键．根据相反数的定义即可求解． 【详解】解∶由A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是4，点A在点B的左边，得 点A、B表示的数是，2． 故选∶A． 【考点6】绝对值 典例6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，准确识图，判断出、两个数之间的距离小于3是解题的关键． 根据数轴判断出、两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 变式6-1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）2025年2月14日，哈尔滨亚冬会女子冰球比赛，中国队获得铜牌．如图，检测5个冰球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，哪个球最接近标准（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义和绝对值，掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义，先求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即为最接近标准的． 【详解】解：，，，， ， 从质量的角度看，最接近标准的是． 故选：D． 变式6-2．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 变式6-3．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，在数轴上找原点，绝对值的几何意义，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 根据题意设相邻两点之前的距离为，分别分析原点在不同位置时、、的取值范围，再结合来判断各个选项即可求解． 【详解】解：设， 若原点在上，则，，， 与不符， 原点不可能在上，故C、D选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，与不符， 原点不可能在上，且较接近点，故A选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，可能与相符， 原点可能在上，且较接近点，故B选项符合题意； 故选：B 【考点7】绝对值的非负性 典例7．（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质和绝对值的非负性．熟练掌握非负数的性质和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ， ∴ ． 故选A． 变式7-1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 变式7-2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 变式7-3．（19-20七年级上·湖北孝感·期中）若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据任意一个数的绝对值是非负数求解即可． 【详解】解：若为任意有理数，则， ∴， 即若为任意有理数，则一定是负数或0， 故选：D． 【考点8】有理数的分类综合问题 典例8．（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．先化简多重符号，再根据有理数的分类填写即可． 【详解】解： 正有理数集合：； 非负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：． 变式8-1．（25-26七年级上·湖南永州·期中）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，， 非负分数集合{                …}； 整数集合{                    …}； 正有理数集合{                …}； 非正整数集合{                …} 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负分数集合包括正分数；整数集合包括正整数、、负整数；正有理数集合包括正分数和正整数；非正整数集合包括负整数和． 【详解】解：非负分数集合：，，，； 整数集合：，，，； 正有理数集合：，，，，； 非正整数集合：，，． 变式8-2．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合｛ ……｝ 负有理数集合｛ ……｝ 非负数集合｛ ……｝ 【答案】①③⑨，①⑤⑥⑦⑧，②③④⑨ 【分析】本题考查了有理数的分类，带“非”字的有理数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据所给的数，逐一分析，再将它们的序号分别填入相应的大括号里． 【详解】解：整数集合｛①③⑨……｝ 负有理数集合｛①⑤⑥⑦⑧……｝ 非负数集合｛②③④⑨……｝ 故答案为：①③⑨，①⑤⑥⑦⑧，②③④⑨； 变式8-3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）把下列各数分别填入表示它所在的数集的圈里． ，，0，，，，8，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义．分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可． 【详解】解：如图： 【考点9】绝对值与相反数综合问题 典例9．（25-26七年级上·广西南宁·期中）按要求解答下列问题：已知有理数：，，，， (1)互为相反数的一组是：___________； (2)把上面各数表示在数轴上，并用“<”把以上各数连接起来． 【答案】(1)，； (2)画图见解析，． 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，解题关键在于画出数轴． （1）先化简双重符号，求解绝对值得，，再利用相反数的定义可得答案； （2）先在数轴上表示各有理数，再利用数轴右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， 即互为相反数的一组数是：， ； （2）如图，在数轴上表示各数如下： ． 变式9-1．（25-26七年级上·青海西宁·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示以下各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来： 【答案】(1)数轴见解析；4 (2)2或6 (3)数轴见解析； 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，为原点，可知点所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：点表示的数为或． 即点C表示的数为：2或6； 故答案为：2或6； （3）解：，， 在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知：． 变式9-2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  x  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点 x  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 变式9-3．（25-26七年级上·河北衡水·期中）点为数轴的原点，点，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为4，线段的长为线段长的2.5倍，点在数轴上，为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)点表示的数为______；若点到点，的距离相等，则的值为______； (2)若线段，求线段的长； (3)若从点开始出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两个点的中点． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上点表示的数，两点间的距离的求法，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义解决两点间的距离问题是解题的关键． （1）由题意可得，求出，进而求出，即可得到点表示的数；再根据点到点，的距离相等，可得点为的中点，即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解； （3）分为为的中点，为的中点，为的中点，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为4， ∴， ∵线段的长为线段长的2.5倍， ∴ ∵点在原点的左侧 ， ∴点表示的数为， ∵点到点，的距离相等， ∴为的中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵点表示的数为4，线段， ∴点表示的数为或， ∴或； （3）解：当为的中点时，， 运动时间（秒）， 当为的中点时，， 运动时间（秒）， 当为的中点时，不存在， ∴当为或10时，，和中恰好有一个点为其余两个点的中点． 【考点10】数轴有关综合问题 典例10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)P点表示的数为或 【分析】这道题考查了数轴的折叠变换及数轴上点的距离计算，解题关键是先确定折叠的对称中心，再结合数轴上点的位置关系和距离公式分析计算． (1) 先确定折叠对称中心：由和5重合，得对称中心为2，进而求关于2对称的点即可． (2)由 之间的距离为，得两点到对称中心距离为8，结合位置即可． (3) 分在左、间、右三种情况，按距离比列方程求解． 【详解】（1） 由折叠知，表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点与点重合， 点与点关于表示数的点对称， 两点之间距离为， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为，． （3）点P到与的距离比为， 设P表示的数为x，则： ， 即：， 情况1：当时，，解得， 情况2：当时，，解得， 情况3：，，解得（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 变式10-1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 变式10-2．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 变式10-3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】(1)5 (2)木棒的右端点与点的距离为或 (3)爷爷现在的年龄是70岁 【分析】本题考查了数轴，解题关键是能用数形结合的思想借助数轴直观求解． （1）根据数轴，观察木棒的平移，求解即可； （2）木棒左端点可在C点左边或者右边，分情况讨论，得出左端点对应的数之后，加上木棒的长度即为右端点对应的数，最后求木棒的右端点与点A的距离即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当B点移动到A点时，此时A点对应的数为，小红比爷爷一样大时看作当A点移动到B点时，此时B点对应的数为，所以可知爷爷与小红的年龄差为，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由题意得：木棒的长为， 故答案为：； （2）解：点C表示的数为， 当木棒的左端点在点C右边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 当木棒的左端点在点C左边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 综上所述，木棒的右端点与点A的距离为或； （3）解：由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为125， “木棒模型”示意图如图所示： 所以爷爷比小红大（岁）， 则爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是70岁． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $