精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高二上学期期末模拟考试数学试题

广安加德学校2024—2025 学年度上期高2023级期末模拟考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分． 1. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C D. 2. 已知向量，，且，那么x等于（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 6. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线过左焦点且交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 10. 已知为曲线上一动点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 到直线的距离的最小值为 C. 最小值为6 D. 存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 11. 如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的内切圆半径是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是______． 13. 某公司为了调查员工健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为______． 14. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上. （1）求圆C的标准方程 （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 16. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 17. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点M； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 19. 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点． （i）求证：为定值； （ii）设面积为S，求S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024—2025 学年度上期高2023级期末模拟考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分． 1. 下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角为钝角，得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】由题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率不存在；直线的斜率； 由倾斜角为钝角，得直线的斜率， 故选：B. 2. 已知向量，，且，那么x等于（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据向量数量积的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为向量，，且，所以，即，解得， 故选：D 3. 与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误. 故选：C. 4. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则， 所以，解得； 故选：D 5. 已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以. 故选：B 6. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设为等腰直角三角形，进而有圆心到直线距离为2，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由题设，若为直角三角形，即，显然为等腰直角三角形， 由圆的圆心，半径为， 所以到直线的距离，可得. 故选：B 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,， 设，， 则,,， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则，当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 8. 椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线过左焦点且交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 , ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：举反例分析判断；对于D：根据空间向量共面的推论判断. 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 10. 已知为曲线上一动点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 到直线的距离的最小值为 C. 的最小值为6 D. 存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简曲线为，利用抛物线的定义及距离公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线，化简可得， 则曲线为抛物线的右班部分，如图所示， 因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值， 最小值为，所以B正确； 对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为， 则， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以D正确. 故选：BCD. 11. 如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的内切圆半径是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D. 【详解】由，可知， 不妨设到渐近线的距离为2，即，故A对； 所以， 设，又， 所以，即，故B对； 因为，所以点M在以线段为直径的圆上，且圆的方程额， 因为点M在双曲线的右支上，不妨设M在第二象限，设， 由， 所以, 直线的方程为，设, 由，消元得， 所以， 所以， 又，所以的内切圆半径为，故C错； 由，所以在直角中，，故D对； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 13. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 故答案为： 14. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设，椭圆的方程：，椭圆方程：，， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 又原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上. （1）求圆C的标准方程 （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1） ；（2）和 【解析】 【分析】(1)由圆心既在直线上又在直线上，所以条直线的交点即为圆心．（2）分别讨论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可． 【详解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为． 因为圆C半径为1，所以圆的方程为：． （2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即．运用距离公式，解得．方程为． 综上所述切线方程为：和． 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．属于中等题． 16. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）2 （2）平均数71，中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得参数，进而求出不高于的总人数，利用频率的定义，可得答案； （2）利用频率分布直方图的性质，结合平均数和中位数的计算方法，可得答案； （3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽（人）； 【小问2详解】 平均数． 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则． 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，， 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 17. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点M； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）；． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出定点坐标； （2）设直线的方程为，表示出、，再由面积公式及基本不等式求出面积的最小值，从而求出的值，即可求出直线方程. 【小问1详解】 由，可得， 令，解得，所以直线过定点． 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，， 令，得；令，得； 所以面积 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为4． 此时直线的方程为． 18. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定、性质定理得，等腰三角形性质得，最后根据线面垂直的判定证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 小问1详解】 由题设， 所以， 由PA⊥平面ABCD，面，则， 又均在面内，所以面， 由面，则， 因为，且E为PC中点，则， 由均在面内，所以AE⊥平面PBC； 【小问2详解】 由（1），且四边形ABCD为平行四边形，则， 又PA⊥平面ABCD，故可构建如图所示的空间直角坐标系， 所以， 由，则， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 若平面ABE和平面PBE夹角为，则. 19. 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点． （i）求证：为定值； （ii）设面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据通径以及焦点即可求解， （2）（i）根据中点坐标公式可得的坐标，进而根据坐标关系以及斜率公式可证，即可根据弦长公式求解， （ii）根据点斜式得直线的方程，进而可得其恒过定点，即可利用面积之比以及面积的表达式得，由对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在椭圆C中，令，可得，故有，而，，解得，，，故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设l：，将l与C联立可得：． 设，，则，． 则，，，． ①当l与x轴垂直时，，此时，故； ②当l与x轴不垂直时，也有． 综上，．故， 而，故． （ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：． 令，解得． 恒过定点．设到MN与AB的距离分别为与，的面积为，则． 故 ． 令，则， 因为在上单调递增，故，则． 综上所述，S的取值范围为． 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $