专题 5.2 认识函数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.2 认识函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础篇 1 【知识点一】函数的概念 1 【★题型1】函数的辨析 1 【要点归纳】 3 【知识点二】函数值 3 【★题型2】函数值 3 【要点归纳】 4 【知识点三】自变量取值范围的确定 4 【★题型3】求自变量的取值范围 4 【要点归纳】 6 【知识点四】函数的图象 6 【题型4】画函数图象 6 【要点归纳】 8 （二）培优篇 8 【★★题型5】从函数图象中获取信息 8 【★★题型6】函数图象与动点问题 11 二．同步练习​ 14 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 14 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 23 一.知识梳理与题型分类精析 题型前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础篇 【知识点一】函数的概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量，，并且对于的每一个确定的值， 有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数，叫作自变量。 【★题型1】函数的辨析 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【答案】 时间和路程 路程 时间 时间 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中，变量有时间和路程，我们可以把路程看成是时间的函数，时间叫做自变量． 故答案为：时间和路程，路程，时间，时间． 【变式1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题关键是掌握函数的定义． 根据函数的定义，逐项进行判断即可． 解：A.该选项不能表示y是x的函数，不符合题意； B. 该选项不能表示y是x的函数，不符合题意； C. 该选项能表示y是x的函数，符合题意； D. 该选项不能表示y是x的函数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【要点归纳】 函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【知识点二】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【★题型2】函数值 【例题2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数 （1）求当，时，函数的值； （2）求当取什么值时，函数的值为0． 【答案】（1）当时，函数的值为；当时，函数的值为7；（2） 【分析】本题考查了求函数值、自变量的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别代入和到函数表达式，求出对应的的值即可解答； （2）代入，求出对应的的值即可解答． 解：（1）解：当时，； 当时，； ∴当时，函数的值为；当时，函数的值为7； （2）解：当时，， 解得， 即当取时，函数的值为0． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【答案】86 【分析】本题考查了函数值，此题是通过代入法求得s的值，属于基础题．把代入关系式求得相应的s的值即可． 解：把代入关系式，得 ， 故答案为：86 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查函数值的代入计算和函数自变量与函数值的对应关系这两个知识点． （）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可； （）对应的自变量值代入函数表达式中计算即可． 解：（1）解：， ； （2）解： ． 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【知识点三】自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围。 【★题型3】求自变量的取值范围 【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）为任意实数；（2）；（3） 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 解：（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 根据分式分母不等于零可得答案． 解：由题意，得， 解得． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 【要点归纳】 确定自变量的取值范围的方法：包括代数意义和生产生活中的实际意义。 【知识点四】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【题型4】画函数图象 【例题4】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【答案】D 【分析】本题考查了描点法画函数图像． 根据描点法画函数图像的作法判断即可． 解：描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来． 各步均正确． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·福建三明·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … （1）列表，补全表格：______，______； （2）描点并画出该函数的图象； （3）观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】（1）3，2；（2）见分析；（3）1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 解：（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 【要点归纳】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线。列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 （二）培优篇 【★★题型5】从函数图象中获取信息 【例题5】（浙教版八上作业题159页第5题改编）下图是某水库的库容曲线图，其中x表示水库的平均水深（m），表示水库的库容（万）．根据图象回答下面的问题： （1）这个函数反映了哪两个变量之间的关系？ （2）填表： 5 10 15 20 25 V（万） （3）当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定吗？ （4）库容V可以看成平均水深x的函数吗？ （5）求当时的函数值，并说明它的实际意义． 【答案】（1）水库的库容与平均水深之间的关系．；（2）10，40，75，150，250；（3）确定；（4）是；（5）当时的函数值为，表示的意义是：当水库的平均水深为18m时，水库的库容是125万． 【分析】（1）观察水库的库容曲线图，理解横、纵坐标代表的实际意义，就可解答问题； （2）从图象可以读出来即可； （3）抓住函数的概念，就可以判断出来； （4）抓住函数的概念，就可以判断出来； （5）从图象可以读出来，还要结合横、纵坐标代表的实际意义，即可解答． 解：（1）根据图像可知，这个函数反映了水库的库容与平均水深之间的关系． （2）根据图像可知， 5 10 15 20 25 V（万） 10 40 75 150 250 故答案为：10，40，75，150，250； （3）根据图像可知，当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定； （4）根据函数图像及函数定义可知，库容V可以看成平均水深x的函数； （5）根据图像可知，当时的函数值为， 表示的意义是：当水库的平均水深为18m时，水库的库容是125万． 【点拨】本题考查的是由图象反映的信息来解决的题目，解此类题的关键是理解点的横坐标和纵坐标的实际意义，明确点的坐标与点的对应关系，培养观察能力和分析问题的能力，体现了数形结合的思想，将“数”和“形”结合在一起研究、探索，从而解决问题．函数的三种表示形式是：列表法、图象法、解析法．本题考查的是图象法． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图像获取信息． 根据函数图像逐一判断即可． 解：由图象可得， 图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系，说法正确，故选项A不合题意； 安安在时的体温为，说法正确，故选项B不合题意； 图中的自变量是时间x，它的取值范围是，原说法错误，故选项C符合题意； 安安的体温可以看成一天中的时间的函数，说法正确，故选项D不合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息． 根据函数图象逐一判断即可． 解：由函数图象可知：①甲先出发10分钟，乙才出发，故不正确； ②甲的速度是米/分钟，正确； ③乙出发时，甲在乙前面米，正确； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，正确． 故答案为：②③④． 【★★题型6】函数图象与动点问题 【例题6】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） （2）当时， ； （3）求的长以及梯形的面积； （4）当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】（1）x，y；（2）16；（3）的长为8，梯形的面积为26；（4）3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 解：（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点拨】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、垂线段最短的性质及三角形面积的计算，解题的关键是从图象中获取的长度、到的距离，结合勾股定理求出的线段长度，进而计算三角形面积． 从图象得的最小值为4（即到的高）；用勾股定理求，结合图象得的长度，再用三角形面积公式计算． 解：由图象可知，点沿运动时,的最大值为5，故； 当在上运动时,的最小值为4（垂线段最短），即到的距离为4； 在中，； 结合图象得； 故的面积，选项A符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． 按照几个关键位置，如点，点，并结合函数图象，可得的值及的值，再根据长方形的对边相等，可得的值，最后按照三角形的面积公式计算，得出的面积． 解：动点从点出发，沿、、运动至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变， 而由图象可知，时，开始不变，说明， 时，接着变化，说明， 的面积为： 故答案为：；． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义，对于每个自变量x的值，必须有唯一的y值与之对应，根据函数的定义逐项判断即可． 解：选项A：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项B：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项C：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项D：中，当时，，此时一个的值对应两个的值，不满足函数定义中值的唯一性，因此不是的函数． 故选：D 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不能为零，确定自变量的取值范围． 解：函数中，分母为．因为分式的分母不能为零，所以．因此，自变量的取值范围是“所有实数，且不等于0”， 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为（），与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 6．（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键． 乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停跑，图象由三条折线组成；最后乌龟先到达终点． 解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河南开封·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式的自变量取值范围及分式有意义条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义条件分母不为0．根据分式的有意义条件直接求解即可得到答案． 解：由题意可得，函数中自变量x的取值范围是， ， 解得：， 故答案为：； 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系，由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； 解：由题意可得：， ． 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 【答案】20 【分析】本题考查函数的应用，当时，代入关系式求出对应t的值即可． 解：当时，得， 解得， ∴此时温度． 故答案为：20． 10．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便．某单车公司第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加，设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确地列出函数关系式． 设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，根据“第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加”，即可求解． 解：根据题意得：y与x之间的函数关系式为． 故答案为： 11．（2024·湖北·模拟预测）甲、乙两辆汽车从地同时出发沿同一线路去地，后，乙汽车停留了，此时甲汽车正好到达地，它们所行的路程之和（单位：）与所用的时间（单位：）的函数关系图象如图所示，则乙汽车行驶的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是数形结合．先根据图形求出甲、乙汽车的速度之和、甲汽车的速度，进而求出乙汽车的速度，即可求解． 解：甲、乙汽车的速度之和为， 甲汽车的速度为， 乙汽车的速度为， 乙汽车行驶的路程为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象． 依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积． 解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）． ∵， ∴（）． 的面积为（），周长为（）． 故答案为：，． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西延安·期末）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 … 温度（） 20 14 8 2 … 根据上表，解决下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）计算出距离地面8千米的高空温度是多少？ 【答案】（1）；（2）距离地面8千米的高空温度是 【分析】本题考查函数关系式，结合表格数据求得函数关系式是解题的关键． （1）结合表格数据即可求得T与h的关系式； （2）将代入（1）中所求关系式求得t的值即可． 解：（1）解：由表格数据可得，高度每增加1千米，温度就下降， 则； （2）解：当时，， 即距离地面8千米的高空温度是． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 解：（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·月考），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系． （1）求甲、乙两人骑车速度； （2）求，对应的函数关系式； （3）求经过多少小时后小时后两人相遇． 【答案】（1）甲骑车速度为，乙骑车速度为；（2），对应的函数关系式分别为，；（3）小时 【分析】本题主要考查了列函数关系式： （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （3）联立（2）中的函数解析式，即可求解． 解：（1）解：甲骑车速度为， 乙骑车速度为，； （2）解：对应的函数关系式为， 对应的函数关系式为； （3）解：根据题意得：， 解得：， 即经过小时后两人相遇． 16．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系． （1）当通话时间少于120分钟，那么A方案比B方案便宜 元； （2）当通信费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间 （填多或少）； （3）王先生粗算自己每月的移动通信时间在220分钟以上，那么他会选择电信公司的 方案． 【答案】（1）20；（2）少；（3）B 【分析】本题考查了函数图像和性质，从图像中找出隐含的信息解决问题是解题关键． （1）如图，通话时间少于120分钟时，方案费用30元，方案费用50元，即可得到答案； （2）如图，费用为60元时，对应的时间从图中两个交点位置进行比较，即可得到答案； （3）通话时间在220分钟以上，两个解析式作差可以比较． 解：（1）解：∵通话时间少于120分钟，A方案费用30元，B方案费用50元，， ∴A方案比B方案便宜20元； 故答案为：20； （2）解：从图中可以看出，当通信费用为60元，A方案比B方案的通话时间少； 故答案为：少； （3）解：A方案：当时，； B方案：当时，， 当时，（元）． 故B方案比A方案便宜，他会选择电信公司的B方案． 故答案为：B． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， B． 对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，则y不是x的函数， C． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， D． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数中自变量的取值范围，分式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件作答即可． 解：根据分式有意义的条件可得：， ∴ 即自变量的取值范围是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（    ）        A．7 B． C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是数形结合，由函数图像可知，当D是中点，即时，，再根据三角形的面积可求出m，即可得解． 解：由函数图像可知，当D是中点，即时，，则，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：． 5．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别， 先结合已知图形的运动，根据图象可得当时，，此时，随着x的增大，y减小，当时，，此时，随着x的增大，y也增大，当时，y最大，此时，再求出的长逐项判断即可． 解：当时，，此时，随着x的增大，y减小， 当时，，此时， 随着x的增大，y也增大， 当时，此时，y最大，此时． 当时，根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得． 所以A，B，D不正确，C正确． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果对于一切实数x，有，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数解析式，用替换中的，进行求解即可． 解：∵， ∴； 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 9．（24-25六年级下·山东威海·期末）某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为 件． 【答案】20 【分析】本题考查函数关系式，读懂题意，找到道等量关系是关键； 先找出总售价与售出件数的函数关系，再据此计算总售价为1000元时售出的件数． 解：观察表格，售出件时总售价50元，售出件时总售价100元， 发现总售价（元）与售出件数（件）满足（为正整数）． 当时，代入，可得， 解得． 所以，若总售价为1000元，则售出的件数为20件． 故答案为：20． 10．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下图是妙想和笑笑参加米比赛的情况统计图． （1）（ ）先到达终点． （2）比赛中两人相距最远约为（ ）米． 【答案】 妙想； 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，解决本题的关键是由函数图象正确获取信息． 由图象可知，妙想跑完米用时分钟，笑笑跑完米用时分钟，妙想先到达终点；由图象可知，出发分钟时，两人相距最远，最远约为米． 解：由图象可知，妙想跑完米用时分钟， 笑笑跑完米用时分钟， 妙想先到达终点； 由图象可知，出发分钟时，两人相距最远，最远约为米． 故答案为：妙想；． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【答案】 225 3600 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 三、解答题 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． （1）当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ （2）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元；（2） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列分段函数： （1）设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元，根据降价规则列一元一次方程，解方程即可； （2）分，，三种情况，列分段函数． 解：（1）解：设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元， ， 解得， 答：当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元． （2）解：当时，； 当时，； 当时，， 综上可得： ． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期中）寒假期间，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，具体为：办理会员，每次健身费用按照八折计算．健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系如图所示，其中会员的健身费用为元，非会员的健身费用为元． （1）办理会员的费用为多少元？会员每次健身的费用为多少元？ （2）请直接写出会员和非会员健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系式； （3）八年级学生小明计划寒假前往该俱乐部健身8次，要使花费最少，是否应该办理会员？请说明理由． 【答案】（1）办理会员的费用为30元，会员每次健身的费用为20元；（2），；（3）要使花费最少，应该办理会员，理由见分析 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数解析式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据健身次数为0时会员的费用为30元可得办理会员的费用；根据会员健身10次的总费用为230元可求出会员每次健身的费用； （2）根据（1）所求可得会员健身费用与健身次数的函数关系式，会员每次健身的费用是打了八折，据此可求出非会员每次健身的费用，进而可得对应的函数关系式； （3）分别求出时，和的值，比较即可得到结论． 解：（1）解：由函数图象可知，办理会员的费用为元，会员每次健身的费用为元， 答：办理会员的费用为30元，会员每次健身的费用为20元； （2）解：由题意得，，； （3）解：要使花费最少，应该办理会员，理由如下： 由题意得，，， ∵， ∴要使花费最少，应该办理会员． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小明和小亮上山游玩，小明乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小明在小亮出发后50分钟才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系： （1）小亮行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟； （2）求小亮休息后所走的路程段上的步行速度； （3）当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 【答案】（1）3600，20；（2）；（3） 【分析】本题考查函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以直接写出小亮行走的总路程和他中途休息的时间； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出小亮在休息后的速度； （3）根据题意和图象中的数据，可以计算出小明从开始与到达缆车终点用的时间，然后即可计算出当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程． 解：（1）解：由图象可得， 小亮行走的总路程是，他途中休息了， 故答案为：3600，20； （2）解：由图象可得， 小亮在休息后的速度为：， 即小亮在休息后的速度为； （3）解：小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍， 缆车到山顶的线路长是， 缆车到山顶的时间为：， 当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是：， 答：当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． （1）求出、的长． （2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与三角形的面积，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 解：（1）解：由图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时， 即， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 则，，而， 当点在上方时，则， 的面积， 解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积， 解得：（满足条件）； 综上分析可知，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 认识函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础篇 1 【知识点一】函数的概念 1 【★题型1】函数的辨析 1 【要点归纳】 2 【知识点二】函数值 2 【★题型2】函数值 2 【要点归纳】 2 【知识点三】自变量取值范围的确定 3 【★题型3】求自变量的取值范围 3 【要点归纳】 3 【知识点四】函数的图象 3 【★题型4】画函数图象 3 【要点归纳】 4 （二）培优篇 4 【★★题型5】从函数图象中获取信息 4 【★★题型6】函数图象与动点问题 6 二．同步练习​ 7 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 一.知识梳理与题型分类精析 题型前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础篇 【知识点一】函数的概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量，，并且对于的每一个确定的值， 有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数，叫作自变量。 【★题型1】函数的辨析 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【变式1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【要点归纳】 函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【知识点二】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【★题型2】函数值 【例题2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数 （1）求当，时，函数的值； （2）求当取什么值时，函数的值为0． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知，求下列各式的值： （1） （2） 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【知识点三】自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围。 【★题型3】求自变量的取值范围 【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．全体实数 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【要点归纳】 确定自变量的取值范围的方法：包括代数意义和生产生活中的实际意义。 【知识点四】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【★题型4】画函数图象 【例题4】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【变式1】（25-26八年级上·福建三明·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … （1）列表，补全表格：______，______； （2）描点并画出该函数的图象； （3）观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【要点归纳】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线。列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 （二）培优篇 【★★题型5】从函数图象中获取信息 【例题5】（浙教版八上作业题159页第5题改编）下图是某水库的库容曲线图，其中x表示水库的平均水深（m），表示水库的库容（万）．根据图象回答下面的问题： （1）这个函数反映了哪两个变量之间的关系？ （2）填表： 5 10 15 20 25 V（万） （3）当平均水深取至之间的一个确定的值时，相应的库容确定吗？ （4）库容V可以看成平均水深x的函数吗？ （5）求当时的函数值，并说明它的实际意义． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 【★★题型6】函数图象与动点问题 【例题6】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） （2）当时， ； （3）求的长以及梯形的面积； （4）当的面积为12时，求点P运动的路程． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系如图所示，则的长度 ；的面积 ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为（），与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河南开封·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 9．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 10．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便．某单车公司第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加，设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，则y与x之间的函数关系式为 ． 11．（2024·湖北·模拟预测）甲、乙两辆汽车从地同时出发沿同一线路去地，后，乙汽车停留了，此时甲汽车正好到达地，它们所行的路程之和（单位：）与所用的时间（单位：）的函数关系图象如图所示，则乙汽车行驶的路程为 ． 12．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为 ，面积为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西延安·期末）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 … 温度（） 20 14 8 2 … 根据上表，解决下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）计算出距离地面8千米的高空温度是多少？ 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 15．（24-25八年级上·安徽宿州·月考），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系． （1）求甲、乙两人骑车速度； （2）求，对应的函数关系式； （3）求经过多少小时后小时后两人相遇． 16．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系． （1）当通话时间少于120分钟，那么A方案比B方案便宜 元； （2）当通信费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间 （填多或少）； （3）王先生粗算自己每月的移动通信时间在220分钟以上，那么他会选择电信公司的 方案． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（    ）        A．7 B． C．14 D．15 5．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 6．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图①，在中，是边上的一个动点，若，则关于的函数图象如图②所示．下列结论正确的是（   ） A．边的长是8 B．随的增大而增大 C．边上的高是7.2 D．边的长是15 二、填空题 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果对于一切实数x，有，则的解析式是 ． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 9．（24-25六年级下·山东威海·期末）某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为 件． 10．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下图是妙想和笑笑参加米比赛的情况统计图． （1）（ ）先到达终点． （2）比赛中两人相距最远约为（ ）米． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． （1）当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ （2）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 14．（25-26八年级上·山西晋中·期中）寒假期间，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，具体为：办理会员，每次健身费用按照八折计算．健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系如图所示，其中会员的健身费用为元，非会员的健身费用为元． （1）办理会员的费用为多少元？会员每次健身的费用为多少元？ （2）请直接写出会员和非会员健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系式； （3）八年级学生小明计划寒假前往该俱乐部健身8次，要使花费最少，是否应该办理会员？请说明理由． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小明和小亮上山游玩，小明乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小明在小亮出发后50分钟才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系： （1）小亮行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟； （2）求小亮休息后所走的路程段上的步行速度； （3）当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 16．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． （1）求出、的长． （2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $