2.5.2 圆与圆的位置关系（九大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 2．（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 3．已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 4．已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 题型二 求两圆的交点坐标 5．圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 6．（多选）已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（    ） A．当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或 B．点的轨迹方程为 C．当时，点的坐标为或 D．当时，直线的方程为或 7．圆与的交点坐标为 . 8．已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 9．设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数的值可以是（   ） A．5 B． C．3 D． 11．已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 12．已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)已知，，若的轨迹上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 13．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 15．经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 16．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 题型五 相交圆的公共弦方程 17．若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为 D．△PAB的面积的最大值为 19．圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 20．已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 题型六 两圆的公共弦长 21．圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 23．已知 与相交于点 ，则 24．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 题型七 圆的公切线条数 25．已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相交 C．圆与圆有四条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 27．圆与圆公切线的条数为 ． 28．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 题型八 圆的公切线方程 29．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 30．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 31．写出圆与圆的一条公切线方程 ． 32．已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 题型九 圆的公切线长 33．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 34．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 35．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 36．已知圆， (1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长； (2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】B 【分析】写出两圆圆心和半径，求圆心距并与两圆半径比较即可得到结果. 【详解】圆心，半径.圆心，半径， ∵， ∴两圆的位置关系是外切. 故选：B. 2．（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BD 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：BD. 3．已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分别找到直线、所过定点，求两直线垂直，从而得交点的轨迹是以两定点的中点为圆心，以为半径的圆，再根据两圆位置关系求解. 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是．    故答案为： 4．已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)请判断圆与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)外切，理由见解析 【分析】（1）设出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆心坐标即可. （2）求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. 【详解】（1）由圆的圆心在射线上，设圆心的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，则，则， 所以圆的标准方程为. （2）圆与圆外切， 由（1）知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径， ， 所以圆与圆外切. 题型二 求两圆的交点坐标 5．圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 6．（多选）已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（    ） A．当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或 B．点的轨迹方程为 C．当时，点的坐标为或 D．当时，直线的方程为或 【答案】BCD 【分析】根据直线过原点和不过原点讨论求解判断A，设，利用两圆相减得直线的方程为，将点的坐标代入即可求解判断B，联立两圆方程求解判断C，通过几何关系得，结合点到直线的距离分类讨论即可求解判断D. 【详解】当不过原点时，设直线的方程为， 将代入解得，此时的方程为. 当过原点时，直线的方程为，此时为圆的一条直径， 过分别作圆的切线，则，不满足题意，A项错误； 设，连接，则，所以都在以为直径的圆上， 又，的中点即圆心为， 所以以为直径的圆的方程为，即， 与相减得直线的方程为， 又在直线上，则，所以， 因此点的轨迹方程为，B项正确； 当时，点在圆上，联立解得或， 所以点的坐标为或，C项正确； 设与的交点为，由图可知，所以， 即，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得，所以直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，也满足题意，项正确， 故选：. 7．圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 8．已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解. 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 9．设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程得出集合，再结合集合并集关系结合图形关系得出参数范围. 【详解】由得，所以集合表示以点为圆心，以2为半径的左半圆， 与轴的交点为，， 集合表示以点为圆心，以为半径的圆及其内部， 当圆过点时，此时，所以， 所以当时，则的取值范围是．    故选：B. 10．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数的值可以是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】根据两圆心坐标求出两圆心距，进而可得或，求解即可. 【详解】由圆的方程为，得圆心，半径为， 由圆的方程为，得圆心，半径， 因为这两个圆有且只有一个公共点，所以两圆相切， 所以两圆心之间的距离或，即或， 所以实数的值可以是． 故选：CD． 11．已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【答案】或5 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 12．已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)已知，，若的轨迹上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意可得，代入方程化简即可求解； （2）求出点的轨迹方程，将问题转化为两圆相交，列式计算即可求解. 【详解】（1）设， 由题意可得， 所以，即， 因为点在圆上移动， 所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为； （2）设，因为， 所以， 化简可得，， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为， 若的轨迹上存在两个不同的点P，使得成立， 则圆与圆相交，则， 即解得，所以， 因为，所以实数λ的取值范围是. 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 13．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 14．（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 15．经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【答案】 【分析】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 16．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出已知圆的圆心和半径，然后按照直线的斜率存在和不存在两种情况分类讨论，进而利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）由题意设，利用两圆外切列方程求得或，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）圆，化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为5， ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径5， 所以，即，解得，所以直线方程为. 综上，所求直线的方程为或； （2）由圆心D在直线上，故设圆D的圆心为， 又已知圆C的圆心为，半径为5， 由两圆外切，可知，所以， 解得或， 所以或，              所以所求圆D的方程为或. 题型五 相交圆的公共弦方程 17．若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆方程相减即可得公共弦直线方程. 【详解】由两圆和圆方程相减， 可得公共弦的直线方程， 故选：C. 18．（多选）已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为 D．△PAB的面积的最大值为 【答案】BD 【分析】由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答. 【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2， 直线方程为，圆心在直线上，    对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A不正确； 对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得， 因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确； 对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时， ，，C错误； 对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确. 故选：BD 19．圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 20．已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 【答案】(1) (2)两圆相交，公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【分析】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，再由圆心及圆上一点确定半径，进而得到圆的方程； （2）运用圆心距和两个圆半径的关系，判定位置关系，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式计算公共弦长即可. 【详解】（1）的中点坐标，且直线的斜率为， 故直线的垂直平分线的斜率为， 因此直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程，解得，即圆心. 又， 故圆. （2）圆与圆的位置关系为相交. 由题可知，圆的圆心，. 故， 又， 故两圆的位置关系为相交. 设交点为， ，， 两圆方程作差得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为：. 又圆心到直线的距离为， 则公共弦长. 题型六 两圆的公共弦长 21．圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】由圆，得， 又圆，两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：A． 22．（多选）圆和圆的交点为，，则有（　　） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程即可判断A，求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，即可判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径； 又，则，所以两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，圆的圆心为，又， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 23．已知 与相交于点 ，则 【答案】 【分析】首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长. 【详解】两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 24．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【详解】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 题型七 圆的公切线条数 25．已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数． 【详解】由圆：，可知其圆心为，半径为； 由圆：，即，可知其圆心为，半径为． 所以两圆的圆心距为， 所以，所以两圆外切，所以公切线的条数为3． 故选：C． 26．（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相交 C．圆与圆有四条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AB 【分析】令可得即可得A；计算可得点在圆内部，即可得B；得到两圆位置关系可得C；借助垂径定理计算可得D. 【详解】对A：令，则有，即，故直线恒过点，故A正确； 对B：当，时，有， 故点在圆内部，又直线恒过点，故直线与圆相交，故B正确； 对C：圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 则两圆心距离为，又两半径和为，故两圆向外切， 则圆与圆有三条公切线，故C错误； 对D：由直线恒过点且点在圆内部， 则当点与圆圆心所过直线与直线垂直时，有最短弦长， 此时弦长，故D错误. 故选：AB. 27．圆与圆公切线的条数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定，得到圆与圆相交，进而得到答案. 【详解】由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 28．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 题型八 圆的公切线方程 29．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 30．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断AC；利用直线与圆的位置关系可判断B；将两圆方程相减可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，，因为，，显然， 因为，所以圆与圆外离，有4条公切线，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，是圆与圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，所以圆与圆外离，C错； 对于D选项，当时，因为，此时两圆相交， 圆，， 将两圆方程相减化简得， 即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，D对. 故选：BD. 31．写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 32．已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【分析】（1）首先根据题意得到公共弦方程，再利用弦长公式求解即可. （2）首先判断两圆的位置关系得到圆和圆相交，根据图形得到为两圆的一条公切线，从而得到，再求另一条公切线即可. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 题型九 圆的公切线长 33．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 34．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 35．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 36．已知圆， (1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长； (2)若动直线与圆交于，，且线段的长度为，求证：存在一个定圆，直线总与之相切. 【答案】(1)圆相交，公切线之长为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，判断圆心距与半径之差、半径之和的关系即可判断两圆的位置关系，设直线分别与圆切于，，在直角梯形中即可得公切线长； （2）利用几何法求得点到直线的距离为定值，即可得定圆的方程即可求解. 【详解】（1）由圆可得，半径， 由圆可得，半径， ， 所以，所以圆相交. 设直线分别与圆切于，，连接， 在直角梯形中，， 所以，即它们的公切线之长为； （2）设线段的中点为，则， 因为动直线与圆交于，，且线段的长度为， 所以， 又因为，所以点到直线的距离为， 所以直线总与圆相切， 所以存在一个定圆，直线总与之相切. 1 学科网（北京）股份有限公司 $