26.2锐角三角函数的计算 讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，先通过定义法（直角三角形中锐角对边、邻边、斜边关系）及特殊角（30°、45°、60°）三角函数值构建基础，再延伸到求函数值、根据值求角度、比较大小、判断取值范围、混合运算及综合应用，形成从概念到应用的递进式学习支架。 资料特色在于融入思维导图直观呈现知识结构，助力几何直观与抽象能力（数学眼光），分模块梯度练习题（从基础选择到综合解答）培养运算能力与推理意识（数学思维），综合题结合矩形、梯形等几何图形体现模型应用（数学语言）。课中辅助分层教学，课后帮助针对性练习，有效查漏补缺，适合基础薄弱学生提分。

26.2锐角三角函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 锐角三角函数值的计算依据 · 定义法：对于直角三角形，，为锐角，其对边为 (a)，邻边为 (b)，斜边为 (c)，则： · · · · 特殊角的三角函数值： · ：，， · ：，， · ：，， 型 习 练 题 特殊三角形的三角函数 1．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 3．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握无理数的概念．先化简各数，根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】解：A、是有限的小数，不是无理数，故A不符合题意； B、是整数，不是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C符合题意； D、为整数，不是无理数，故D不符合题意； 故选：C． 4．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 5．中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 根据函数值求角的度数 6．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，三角形的内角和定理，根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 7．若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出 的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ，且 为锐角， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 8．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：A． 10．在中，，且为锐角，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度以及三角形的分类，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求出，从而可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 已知角度比较三角函数值的大小 11．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 12．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 13．最接近下列哪个数值（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先得到，，据此即可估算得到的值． 【详解】解：∵，， 观察四个选项，最接近， 故选：C． 14．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 15．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：D． 根据函数值判断锐角取值范围 16．已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 17．若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 18．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 19．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 20．若，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴可能是． 故选：D． 三角函数值混合运算 21．计算： 【答案】5 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先化简负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，先把特殊角的函数值代入，然后进行计算即可． 【详解】解： 23．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值可进行求解； （2）根据零次幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的混合运算． 先计算三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 三角函数综合 26．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或见解析 【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到 ，，解答即可． （2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可． （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴，，， ∴， 故答案为：，． （2）解：延长交于点G， ∵矩形，， ∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点． （3）解：存在，理由如下： 根据问2证明，得，， ∴， 当时，得， ∴， 解得； 当时，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，结论成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键． 27．如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值． 【答案】， 【分析】根据直角三角形中，，，得出长，再结合勾股定理求出，进而利用正切函数值定义求出． 【详解】解：在中，，，， ，即； 根据勾股定理可得, ． 【点睛】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 28．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 29．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度； （2）由，代值计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值． 【答案】（1）12.5；（2） 【分析】（1）根据锐角三角函数，可得，再由直角三角形的性质，即可求解； （2）根据直角三角形的面积，可得，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，点E是BC的中点， ； （2）， ， ∴ ， ∵，， AB=20， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $26.2锐角三角函数 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 锐角三角函数值的计算依据 新课探索 讲义内容 特殊三角形的三角函数 根据函数值求角的度数 已知角度比较三角函数值的大小 题型练习 根据函数值判断锐角取值范围 三角函数值混合运算 三角函数综合 新 课 探 索 锐角三角函数值的计算依据 ·定义法：对于直角三角形(Rt△ABC),∠C=90°，（∠A)为锐角，其对边为 (a),邻边为(b),斜边为(c,则： 。sinA=∠A的对边=Q 斜边 c0sA=∠A的邻边=b 斜边 ∠A的对边_a o tanA= ∠A的邻边b 特殊角的三角函数值： 。30°：sin30°= c0s30°=3 an30=3 o45°：sin45°= 2 V2 c0s45°= ,tan45°=1 2 2 o60°：sin60°=- 3 c0s60°=1 'tan60°=V3 题 型 练 习 ■ 特殊三角形的三角函数 1.若sin∠A-2,∠A+B=90,则sin∠B的值为（） 3 A.2 B.2 C.3 D.2 2.已知a为锐角sn(90°-a= 2,则cosa的值为() √5 √5 A. √2 B.2 C.2 D.3 3.下列四个数中，无理数是() A.0.02020202 B.1 C.sin60 4 D. 4.计算： V5c0s30°= () § 3 6 A.2 B.1 C. D.2 5.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2,则tanA的值() 1 3 √5 A.2 B.2 C.3 D./3 根据函数值求角的度数 6.如图，在△ABC中， cosB=② 2,∠A=100°，则∠C的度数为() B A.25° B.35° C.45° D.55 7.若3tan(a+10)=V ,则锐角的度数是() A.20° B.30° C.40° D.50 Rt△ABC ∠B=90°，BC=1,AC=2 8.在 中， C ,那么的度数是（) A.90° B.45° C.30° D.60 9.若2sina+10)=1 则锐角的度数是() A.20 B.35o C.50° D.80 10.在△ABC中， sn1=2os∠B-5 2,且∠A为锐角，则△ABC是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 已知角度比较三角函数值的大小 11.三角函数sin31°、cos16°、cos43°之间的大小关系是() A.sin31°<cosl6°<cos43° B.cos43°<sin31°<cos16° C.sin31°<cos43°<cos16° D.cos16°<sin31°<cos43° 12.己知是锐角，且cos0=0.9794,下列各值中，与a最接近的是() A.7333 B.7327 C.1139 D.1145 13.sin40°最接近下列哪个数值() A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 14.比较sin58°和cos58°的大小() A.> B.= C.< D.不确定 15.若0=40° 则“的正切值的范围是() h<② 1 A.2 B3下h、3 2 C.1<h<√5 D.3 根据函数值判断锐角取值范围 16.已知cosa=0.75,则锐角a的取值范围是() A.0°<a<30°B.30°<u<45°C.45°<a<60° D.60°<a<90° 17.若sin∠1=0.52，则∠1的度数在那个范围() A.0°<∠1<30°B.30°<∠1<45°C.45°<∠1<60°D.60°<∠1<90 18.若∠4是锐角，且sin1=3,则() A.0°<∠A<30 B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° 4 19.若cosa=5,则锐角a满足（) A.0°<a<30° B.30°<a<45° C.45°<<60° D.60°<a<90° 20.若ina>2 2,a可能是() A.35° B.40° C.45° D.65 三角函数值混合运算 21.计算： +2sin60°-Vi2+1-V3°+3tan30 22.计算：2cos30°-2sin45°-tan60° 23.计算： 24.计算： 0sin2450+ian60cos30°-tan45° (2-+(c60-tan30 25.计算： 2cos60°+6tan30°-√2sin450 三角函数综合 26.如图，平面直角坐标系中，四边形01BC为矩形，点A、B的坐标为6,0)、(6,8)， 动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终 点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP,己 知动点运动了t秒. N← B P O→M A (1)BN=:AM=: (用含t的代数式表示) (2)用含t的代数式表示点P的坐标. (3)是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的 值；若不存在，请说明理由. 27.如图，在RA1BC中，∠C-90,A份=15，sinA=子，求BC的长和an8的值 28.如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,BC=2AD,对角线AC与BD交 于点E.点F是线段EC上一点，且∠BDF=∠BAC. A D E B EB2=EF·EC (1)求证： 2)如果BC=6,sin∠BAC 3,求FC的长. 29.如图，△MBC中，ADLBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,an∠BAD= A 求：(1)AC的值 (2)sinC的值. 30.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC,垂足为点D,已知 4B-20,cosB=4 ;求：(1)求线段AE的长；(2)求cos∠DAE的值. B E D