精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学12月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式以及两角和的正切公式解方程即可求得结果. 【详解】由可得，解得， 所以， 由可得，解得或（舍）， 故. 故选：C. 4. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设点，求得平面的一个法向量为，根据平面，得到，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，，， 则，，，， 可得，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以， 设异面直线与所成角为， 则， 当最大时，取最小值， 由， 所以当时，最大为，此时最小为. 故选：C. 5. 已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中，直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 容易知道，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故选：D. 6. 已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由甲推出，，则可得，利用基本不等式可证明，从而充分性成立；再通过举反例，说明必要性不成立即可. 【详解】由，，可得，则有，且 于是， 因，当且仅当，即时等号成立， 此时，即甲是乙的充分条件； 若取，则，而， 即甲不是乙的必要条件，故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个数的形式，构造函数，结合函数的对称性、单调性进行运算判断即可. 【详解】，，， 构造函数， ， 的图象关于直线对称， 当时，， 令，， 则，在上单调递增， 当时，，， 则，所以， 因此在上单调递增，则，即． 故选：A 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可. 【详解】，即， 因为，所以，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 若时，不等式恒成立，则恒成立， 若时，，恒成立，则也成立， 所以当时，恒成立，所以得，即， 设 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即正实数的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，利用基本不等式求解即可；对于B，由题意可得，利用基本不等式求解即可；对于C，由题意可得，利用基本不等式求解即可；对于D，由题意可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，， 当且仅当时取等号，故A项正确； 对于B，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故B项正确； 对于C，， 当且仅当，即，时取等号，故C项错误； 对于D，因为，，， 所以，， 又因为， 所以， 即，故D项正确． 故选：ABD． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，以及利用和，逐个选项进行分析，可得答案. 【详解】因为，所以，所以为第一象限角或第三象限角． 当为第一象限角时，，；当为第三象限角时，，，所以，故A项正确； ；故B项错误； ，故C项正确； ， 当为第一象限角时，原式； 当为第三象限角时，原式，故D项错误． 故选：AC 11. 在平面直角坐标系xoy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，得到，利用向量运算的坐标表示，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】对于A，因为为的重心，所以， ， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点在以原点为圆心，1为半径的圆上，而是等腰直角三角形， 点到直线距离为，点到距离最大值为， 因为为的重心，所以点到的距离为点到的距离的， 故，B错误； 对于C，过或垂直于的直线与直线关于轴或轴对称，该直线与圆相离， 当为直角三角形时，必有⊥， 故， 即，两边平方得， 则 ，C正确； 对于D，令中点为，则， ， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出命题“ 恒成立”为真命题时 的取值范围，再取其补集即可得出结论. 【详解】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立， 若 为真命题，则 ，解得 ． 又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集， 即 或 ． 故答案为：． 13. 已知函数的定义域为，其图象关于对称，若当时，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由函数的对称性得到，再由即可求解. 【详解】显然关于对称，故5， 于是， 故. 故答案为：8 14. 在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值；分析可知为等边三角形，设其边长为，由得出，利用平面向量数量积的运算性质得出，结合三角形的面积公式可求出的值，由此可得出的面积. 【详解】因为，可得， 因为，则，所以，则，故， 所以为等边三角形，故，设其边长为， 因为，即，可得， 所以，故， 由题意可知，解得， 故. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：. 【答案】（1） （2）详情见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数 ，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）判断函数的单调性，可得函数的最大值为，从而得证. 【小问1详解】 当 时， ， 函数求导得则 故曲线 在点 处的切线方程为 , 整理得 ． 【小问2详解】 注意到 时， ， 故 ，故 单调递增； 时， 单调递减． 所以函数的最大值为. 故 ． 16. 设数列的前n项和，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得的通项公式，再代入即可； （2）根据裂项相消求得，代入，再用错位相减法求得. 【小问1详解】 当n＝1时，； 由得（n≥2）， ∴（n≥2）， 又也符合， ∴， ． 【小问2详解】 ， ∴． ∴，① ∴，② ①，②两式相减得：， 所以． 17. 已知为坐标原点，向量，，设． （1）求单调递增区间； （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为，已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合降幂公式，二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的图像与性质即可求解； （2）首先由及的范围得出，根据将问题化为，根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简，再求出的范围，根据正弦型函数的性质求解值域即可． 【小问1详解】 因为， 所以 ， ， ， 的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）得， 或，， 即或，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故． 18. 已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． （1）若，判断是否满足性质①，说明理由； （2）若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列． 【答案】（1）不满足性质①，理由见解析 （2）满足，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，根据题意，得到，由为偶数，为奇数，即可得出结论； （2）由，验证性质①②是否成立，即可求解； （3）先判断，再取，则，讨论的值，排除不合题意的，可得，则，从而可得结论， 【小问1详解】 由，性质①是任意，存在， 令，则要满足， 可得，可得， 其中为偶数，为奇数，所以不成立， 如：当时，，不存在这样的. 【小问2详解】 当时，，所以， 所以存在使得数列满足性质①； 对性质②，取，， 则成立，所以满足性质②. 【小问3详解】 由是递增数列，满足性质①和性质②，所以，即， 当时，， 已知，所以， 又由，所以，即. 取，则，所以， 若，则，不符合题意，舍去． 若，则． 因为，所以不是中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去， 所以，则， 所以，故成等差数列． 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 19. 对于一个函数和一个点，令函数，若是的极值点，则称点是在的“边界点”． （1）对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在的“边界点”． （2）对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． （3）对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则2是的极小值点， 故存在点，使得点是在的“边界点”． （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的新定义再求导分析单调性得到极值可证； （2）利用函数新定义求出，求导后分和讨论单调性得到极值即可； （3）利用函数新定义求出，求导后分和讨论，当时，再次构造函数，结合零点存在定理分析； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 因为不存在点，使得点是在的“边界点”，所以没有极值点． 若，则没有极值点． 若，则当时，， 当时，， 所以在上单调递堿，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点． 综上，. 【小问3详解】 ． 因为存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，所以有2个极值点． 令函数． 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以最多只有1个零点，即最多只有1个零点，则最多只有1个极值点，不符合题意. 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 要使得有2个极值点，则有2个零点， 当时，不符合题意． 当时，由，解得． 此时，， ，令函数， 所以在上单调递减，，即． 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以有2个极值点，符合题意． 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是函数新定义的理解；二是第三小问中关键在于二次构造函数，结合零点存在定理分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学12月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 4. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系xoy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 当为直角三角形时， D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 13. 已知函数的定义域为，其图象关于对称，若当时，，则__________. 14. 在中，，且，则__________；若点满足，且在上的高为，则的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：. 16. 设数列的前n项和，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和． 17. 已知为坐标原点，向量，，设． （1）求单调递增区间； （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为，已知，求的取值范围． 18. 已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． （1）若，判断是否满足性质①，说明理由； （2）若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列． 19. 对于一个函数和一个点，令函数，若是的极值点，则称点是在的“边界点”． （1）对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在的“边界点”． （2）对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． （3）对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $