精品解析：2024年内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生单独考试数学试题

2024年内蒙古自治区高等职业院校 对口招收中等职业学校毕业生单独考试 数学试卷 注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分. 2. 作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效. 3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合运算概念解题即可. 【详解】设参加了篮球比赛的人为集合，集合中有10个元素， 参加了足球比赛的人为集合，集合中有8个元素， 因为中有个元素， 所以中有个元素， 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即，解得. 故不等式的解集为. 故选：C. 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 5. 若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合韦达定理得出两条直线的斜率之积为即可得解. 【详解】设直线的斜率为， 所以是一元二次方程的两个根， 则， 所以直线的位置关系是相交且垂直， 故选：. 6. 已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式以及前项和公式求解即可. 【详解】设等数列的公式为，显然， 因为，， 所以，所以， 又， 则. 故选：A. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 8. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 9. 设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程以及中点坐标公式求解即可. 【详解】椭圆中，所以，即. 则焦点，， 设，因为线段的中点在轴上， 即，解得，代入， 得到， 又为的中点，所以为的中位线， 即与轴垂直，且点坐标为， 所以. 故选：A. 10. 学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解. 【详解】6名男生和4名女生，共计10人， 选出的3人中，恰有1名女生入选的概率是. 故选：A. 11. 设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面之间的关系可判断C选项正确，A、B、D选项可通过反例进行判断. 【详解】对于A选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于B选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于D选项，如图，若，，则l不一定垂直于平面，该选项错误； 对于C选项，若，，根据两平行平面的性质定理证明可得，该选项正确. 故选：C. 12. 方程所表示的曲线为（ ） A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的双曲线 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域确定与的符号，再由双曲线的定义即可解答. 【详解】已知方程， 因为，所以，， 即， 所以原方程可变形为， 即该曲线为焦点在轴上的双曲线， 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 已知函数，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 14. 的展开式中的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 15. 已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 16. 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 17. 设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 18. 若点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由抛物线的定义可知点到抛物线的准线的距离等于，得出当点在同一条直线时，的值最小，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线，焦点为， 则点到抛物线的准线的距离等于点到焦点的距离， 令点为，当点在同一条直线时，的值最小， 即， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 20. 已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 21. 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 22. 用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 23. 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 24. 已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的圆心，再根据圆的定义求解即可. （2）根据点到直线的距离公式以及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设圆心为. 因为圆与轴相切，所以半径为. 因为点在圆上，所以 展开得 所以圆心为，半径. 进而圆的标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，直线为：， 则圆心到直线的距离为. 因为弦长，半径，所以：， 解得，所以，化简得. 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年内蒙古自治区高等职业院校 对口招收中等职业学校毕业生单独考试 数学试卷 注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分. 2. 作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效. 3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式解集是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 5. 若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 6. 已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A 4 B. C. D. 9. 设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ） A. B. C. 3 D. 10. 学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 设α、β是两个不同平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 12. 方程所表示的曲线为（ ） A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的双曲线 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 已知函数，若，则_________. 14. 的展开式中的常数项为_________. 15. 已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 16. 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 17. 设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 18. 若点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 20. 已知，，求满足，且的点的坐标. 21. 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 22. 用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 23. 如图，在四棱锥中，底面是PC中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 24. 已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $