2026年高考数学信息必刷卷01（广东专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年高考二轮信息必刷卷01 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 5 6 7 P C B A B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD ABD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-24 13.4 14.3,15 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【解析】(1)由题意得f(x)=2 sinxcosx-2W3cos2x+m =2sinxcosx-(23cosx-3)-3+m sin2x-cos2x-2sin2x-m 结合正弦函数性质易知，当2x-刀=刀 33 即，函数在引 上取最大值， 1/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为函数在0写 上的最大值为3， 所以)=2n2×号- -5+m=2sin-5+m=5, 3 解得m5,f(x)=2sin 3 所以函数（的最小正周期为T=2”=:(4分） 2 (2)令2-s2x-骨s2m+经ke乙，解得-没sx5m+设keZ, 3 12 所义函数的年调蜡区间为红吾血+日e2:8分 3)由题意得国21，即2n2-}21,m2x-引分 结合正弦函数性质易知， m2-+2as2x-+2a 6 3 6 解得兀+km≤x π+kk∈Z, 12 16.(15分) 【解折】)甲的幸为B=C)+cc())引4分》 (2)设乙获胜的局数为X,X=0,1,2,3, 可x=0-G)- pX==C×号 625 ix-3-ci P(X=)=1-PX=0)-P(X=)-P(X=2=9 3125 .(8分) X的分布列为： X 0 1 2 3 27 162 648 992 125 625 3125 3125 2/7 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(X)= 0+162x1+ 27 648 992 125 ×2+ 3=5082 =1.62624(局)(12分) 625 3125 3125 3125 (3)设事件A=“甲获得比赛胜利”，事件B=“乙获胜一局” 小-c+cc器 P=c-g 55625 ..P(B A) P(AB)81030 P(4)213379(15分) 17.(15分) 【解析】(1)连接AG并延长交BC于点M,连接AG,取B,C的中点为N,连接AN,MW, A 因为点A在底面的投影是ABC的重心G,则A,G⊥平面ABC,AG=2GM, 因为M为BC中点，N为B,C中点，则A,NIIAM, 由题得、AN-9.GW-写4W-受，所以4=GM, 2 所以四边形A,NMG是平行四边形，则MN11AG, 所以MN⊥平面ABC, 因为MNc平面B,BCC,所以平面B,BCC,⊥平面ABC.(5分) (2)如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-yz, B 则S(1,0,0),T(2,0,0),设P(x,y,z, 由PS=V2PT,得(x-1)2+y2+z2=2[cx-2}2+y2+z2], 整理得(x-3)2+y2+z2=2, 所以P点轨迹表示球心在B(3,0,0),半径R=√2的球面， 又P是棱台表面上的点，所以P点轨迹是球面与棱台表面的交线，(8分) 3/7 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题得4G-号M=5.41=2,则ww=46=, 所以BB,=V(√2)2+(W2)2=2, 又AB=3,BC=3V2,则R<AB,R<BC,R<BB1, 所以球面只与棱台侧面B,BCC,,侧面B,BAA,,底面ABC相交， 因为A0,0,0),B3,0,0),C(0,3,0),B2,1,2,(10分) BBBA_（-11,2)-3,0,0)31 所以cOS∠B,BA= BB·BA 2×3 62, cos∠B,BC BB·BC (-1,12(-3,3,0)_3+3√2 BB·BC 2×3W2 6√221 BA.BC（-3,0,0)(-3,3,0)9√2 CoS∠ABC= BA·BC 3×3V2 922 从面可得∠BB1-子∠8,8c-普4BC-吾 4 因此所求交线长度为×2+×反+×2-52， 3 4 4 6π·(15分) 18.(17分) 【解析】(1)f(x)在区间(-π，π上的零点个数为1，理由如下： f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=sinx,当xe-元，π时，f'(x20, 故f(x在区间(-，π)上单调递增，又因为(0)=0， 故fx)在区间(-π，π)上有且仅有1个零点.(4分) (2)当x=时，kx _元x2元x迈 4 242162，于是k>π >2,(5分) 44-π 下面证明：3f>inx在区间0受 上恒成立 g(x)=3(sinx-xcosx)-x'sinx,xE 0. g'(x)=3xsinx-(2xsinx+x'cosx)=x(sinx-xcosx), 由I)可知sinr-xCOSX>0在区间0,2' 恒成立， 于是8()在区间0,2 上单调递增，所以gx>g0)=0, 综上，正整数k的最小值为3.(9分) 4/7 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)先证明左边： 由(2)知，3smr-eoa-'sine≥0在区间0，号 上恒成立，即tanx> 3x 3-x21 3xπ 于是an 3” 3×3”π、3×3”π 3”π 2×3”π n 3x(32-元23×3-9(3”-13+1(3”-1刂23”+1 可可，0分 2×3”π 2×3”π 再证明右边： 令h(x)=tanr- re0引则创小-5_-6ei产ea 3w3 cos'xπ 元c0s2x=0,孑/、 由于x[0号引时，osxe得故存在唯一的%e0写引使得到=0， 所以（在区间(0，）上单调递减，在区间x,3上单调递增， 所以h(x)≤max o.) 0,即tanr 5) 3 所以ta 0s3V3xπ=Y5，(15分) 3 3 9 3 13 综上， 3 2,neN.(17分) 19.(17分) 【解析】(1)因为PFPF≤ 八侣-，当收当P-p,号减立 所以a2=2,则a=√2. 因为e==5,所以c=1,所以：-2：1 所以椭圆的方程为号+y=1.(4分) 2 5/7 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设A(x,,B(x2,y2),则C(x,-y). -l餐m+22-4mw+2=0, 联立2 x=my-2, 47m y+= 所以 m+2所以2my为=1+2：(6分) yy2= m2+21 由△>0，得8m2-2>0,即m2>2 直线BC:y+y=+当(x-x). X2-X1 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令y=0, 得=+-2m-2y+-y+.-1, y3+ 2+出 片+2 所以直线BC过定点(-1,0).(10分) (3)设M(x3,y),N(x4,y4),MN的中点H(xo,o),则=e5,y4=e(x≠x4), 所以k=e5-e X3-X4 由指数平均不等式：e”<5-的e+e5 无-x2，得0<e2<ke9-ete+e=y+y4= x3-x42 2 (12分) 所以y。>k,所以好>k2. += 又因为 2 所以+s-=-g+0g-. - 所2=-2湖，所以京，所以对杀>，所以>4 因为H在椭圆内，所以变+巧<1，所以24+k<1, 所以(2-+<0，所以2<分 (16分) 又因为>0，所以0<k<5.(17分) 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 衣 7/7 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递 高考·新动向：2026年高考数学预计会延续2025年全国卷所推行的新题型模式，解三角形、立体几何、数列、解析几何、统计与概率、函数与导数这六大核心板块，在解答题中的编排顺序将不再固定，而是灵活调整，以此破除学生机械备考套路，革新教学中刻板的训练方式，着重考查学生应变与解决多元难题的能力，推动学生全面掌握重点知识、夯实基础能力。2025 年高考数学新课标Ⅰ卷解答题有这些特点：1. 梯度清晰，基础与难题兼顾，既考立体几何、数列等基础解答，也有导数与三角结合的难题。2. 跨模块融合显著，如立体几何题结合函数求最值，数列题与导数交汇，打破知识壁垒。3. 考法创新破除套路，立体几何需列方程组求球心坐标，导数题以三角函数为情境，跳出传统模式。4. 情境贴合实际，部分试题融入生活和应用场景，考查知识应用能力。5. 重思维轻刷题，需学生灵活运用逻辑推理等能力，机械刷题难以应对。 高考·新考法：2026年高考将聚焦“减量提质、创新驱动”，强调学生对数学概念、原理与方法的深度理解与灵活运用，要求从多维度剖析问题，实现知识方法的融会贯通，凸显思维灵活性的核心考查，强化高考选拔效能。试卷将精心设计新颖问题情境，全面评估学生独立思考、观点提炼与逻辑论证能力，鼓励批判性思维与质疑精神，激发数学创新思维与意识。此导向促使高中数学复习摒弃题海战术与机械套路，转向思维品质与创新意识的培养，为数学素养的全面提升奠定坚实基础。 高考·新情境：创设真实情境是高考数学命题的一大特点。考生在这些真实情境下分析这种情境化的命题形式有助于考查学生将数学知识应用于实际情境的能力，以及在复杂情境下分析和解决问题的能力。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，新课标，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第8题考查学生的迁移应用能力，体现创新性，凸显综合性。第14题考查零点问题，再巧用数形结合和根与系数的关系解决问题，试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则 “且” 是 “且” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期N具有如下函数关系，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ） A．0.09 B．0.08 C．0.07 D．0.05 5．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 8．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 10．将边长为2的正方形沿对角线折起，得到一个三棱锥，下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．若平面平面，则与平面所成角的余弦值为 D．若平面平面，则二面角的余弦值为 11．已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则二项式的展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 13．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为 . 14．已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 函数在上的最大值为． (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调增区间． (3)当时，求使不等式成立的的取值集合． 16．（15分） 实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 17．（15分） 如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 18．（17分） 已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 19．（17分） 已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； (3)若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷01 数 学 考情速递 高考·新动向：2026年高考数学预计会延续2025年全国卷所推行的新题型模式，解三角形、立体几何、数列、解析几何、统计与概率、函数与导数这六大核心板块，在解答题中的编排顺序将不再固定，而是灵活调整，以此破除学生机械备考套路，革新教学中刻板的训练方式，着重考查学生应变与解决多元难题的能力，推动学生全面掌握重点知识、夯实基础能力。2025 年高考数学全国一卷解答题有这些特点：1. 梯度清晰，基础与难题兼顾，既考立体几何、数列等基础解答，也有导数与三角结合的难题。2. 跨模块融合显著，如立体几何题结合函数求最值，数列题与导数交汇，打破知识壁垒。3. 考法创新破除套路，立体几何需列方程组求球心坐标，导数题以三角函数为情境，跳出传统模式。4. 情境贴合实际，部分试题融入生活和应用场景，考查知识应用能力。5. 重思维轻刷题，需学生灵活运用逻辑推理等能力，机械刷题难以应对。 高考·新考法：2026年高考将聚焦“减量提质、创新驱动”，强调学生对数学概念、原理与方法的深度理解与灵活运用，要求从多维度剖析问题，实现知识方法的融会贯通，凸显思维灵活性的核心考查，强化高考选拔效能。试卷将精心设计新颖问题情境，全面评估学生独立思考、观点提炼与逻辑论证能力，鼓励批判性思维与质疑精神，激发数学创新思维与意识。此导向促使高中数学复习摒弃题海战术与机械套路，转向思维品质与创新意识的培养，为数学素养的全面提升奠定坚实基础。 高考·新情境：创设真实情境是高考数学命题的一大特点。考生在这些真实情境下分析这种情境化的命题形式有助于考查学生将数学知识应用于实际情境的能力，以及在复杂情境下分析和解决问题的能力。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，新课标，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第8题考查学生的迁移应用能力，体现创新性，凸显综合性。第14题考查零点问题，再巧用数形结合和根与系数的关系解决问题，试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 【答案】B 【解析】由题意得， 且为纯虚数，，， ，. 故选：B. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，. 故选：A. 3．已知 ，则 “且” 是 “且” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若且，则可得且， 若且，则可得且， 所以“且” 是 “且” 的充要条件. 故选：C. 4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期N具有如下函数关系，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ） A．0.09 B．0.08 C．0.07 D．0.05 【答案】B 【解析】依题意，，解得， 当时，. 故选：B 5．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为，所以， 所以，即，解得， 所以向量在上的投影向量为. 故选:A. 6．已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】由题可得， ， 令，即，，解得， 又，所以满足的正整数的最大值为12. 故选：B. 7．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 故选：D 8．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（   ） A．42 B．49 C．56 D．64 【答案】B 【解析】设，则， 所以， 因为， 所以， 当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有， 则，因此所求的最大值为49． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【答案】BCD 【解析】因为点与点关于点对称， 所以，则， 又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD 10．将边长为2的正方形沿对角线折起，得到一个三棱锥，下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．若平面平面，则与平面所成角的余弦值为 D．若平面平面，则二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】取的中点，连接， 对于A，因为，所以，同理，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径， 所以外接球的体积，故B正确； 对于C，因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又平面，所以，所以，所以三角形为等边三角形， 设点到平面的距离为， 因为，则， 即，即，解得， 设与平面所成的角为，则，故C不正确； 对于D，取的中点，连接，所以，所以， 由C知，为等边三角形，则， 所以为二面角的平面角， 因平面，平面，则， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 【答案】ABD 【解析】由双曲线，可得， 则，且其渐近线方程为， 对于A中，不妨设点位于第一象限， 由双曲线的定义，可得，所以， 则，又由双曲线的几何性质，可得， 所以，即的最大值为，所以A正确； 对于B，如图所示，设的内切圆与轴，的切点分别为， 可得， 又由，可得， 又由，可得， 所以点的横坐标为，即圆心的横坐标为，所以的内心到轴的距离为，所以B正确； 对于C，设，则满足， 则点到直线的距离为，到直线的距离为， 则， 因为，且与的夹角为，所以， 所以，所以C不正确； 对于D，由，可得， 联立方程组，解得， 即，同理可得， 所以， 因为，代入可得， 又因为，可得，所以，所以D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则二项式的展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 【答案】 【解析】由可得， 又，则. 二项式的展开式的通项为， 由解得，即常数项为. 故答案为：. 13．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为 . 【答案】4 【解析】由可得, 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 又因为，即，解得， 所以，即，解得或（由舍去）， 所以， 故答案为：4 14．已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是 . 【答案】 【解析】令， 展开整理得， 所以，， ，. 又， 所以 ， 所以可化简为， 因为，所以，解得. 令，则， 令，则，解得或. 当时，，在上单调递增，此时方程只有一个实数根，不符合题意； 当时，在和处取得极值， 此时，， 因为方程有三个不等实根， 所以，即， 因为恒成立，所以. 令，则. 令，则，解得或. 当时，，上在单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取极大值，在处取极小值，简图如下， 又， 所以的解为. 综上，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 函数在上的最大值为． (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调增区间． (3)当时，求使不等式成立的的取值集合． 【解析】（1）由题意得 ， 当时，， 结合正弦函数性质易知，当， 即时，函数在上取最大值， 因为函数在上的最大值为， 所以， 解得，， 所以函数的最小正周期为;（4分） （2）令，解得， 所以函数的单调增区间为；（8分） （3）由题意得，即，， 结合正弦函数性质易知，即， 解得， 故的取值集合为.（13分） 16．（15分） 实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 【解析】（1）甲胜的概率为.（4分） （2）设乙获胜的局数为，， 可得； ； ； .（8分） 的分布列为： 0 1 2 3 （局）（12分） （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到； ； .（15分） 17．（15分） 如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 【解析】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为，连接， 因为点在底面的投影是的重心，则平面，， 因为为中点，为中点，则， 由题得，，，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以平面平面．（5分） （2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 则，，设， 由，得， 整理得， 所以点轨迹表示球心在，半径的球面， 又是棱台表面上的点，所以点轨迹是球面与棱台表面的交线，（8分） 由题得，，则， 所以， 又，，则，，， 所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交， 因为（10分） 所以， ， ， 从而可得，，， 因此所求交线长度为．（15分） 18．（17分） 已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 【解析】（1）在区间上的零点个数为1，理由如下： ，当时，， 故在区间上单调递增，又因为， 故在区间上有且仅有1个零点.（4分） （2）当时，，于是，（5分） 下面证明：在区间上恒成立. 令， 则， 由（1）可知在区间恒成立， 于是在区间上单调递增，所以， 综上，正整数的最小值为3.（9分） （3）先证明左边： 由（2）知，在区间上恒成立，即， 于是 ，（12分） 累加得： . 再证明右边： 令，则， 由于时，，故存在唯一的，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以，（15分） 累加得：， 综上，.（17分） 19．（17分） 已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点； (3)若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：． （参考公式：，都有成立） 【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立. 所以，则． 因为，所以，所以 所以椭圆的方程为．（4分） （2）设，则． 联立得， 所以所以．（6分） 由，得，即． 直线． 由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令， 得， 所以直线BC过定点．（10分） （3）设，MN的中点，则， 所以． 由指数平均不等式：，得，（12分） 所以，所以． 又因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 因为在椭圆内，所以，所以， 所以，所以．（16分） 又因为，所以．（17分） 1 / 15学zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $