专题07 立体几何（讲义）-2026年福建省（学业水平考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》依据福建省中等职业学校学业水平考试《中职数学》科目考试说明及福建省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为立体几何。 2026年福建省（中职学考）《数学考纲专题练》 专题07 立体几何 一、考纲解读 （1）了解实物或空间图形的三视图； （2）了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解直棱柱正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式；了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的 表面积公式； （3）了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式； （4）了解平面的概念；理解平面性质的三个公理；了解空间中点、线、面关系的符号表示； （5）了解空间中点、线、面的位置关系与判定方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 6 圆锥圆柱的体积公式及性质 5 （1）题型：集中在选择题与填空题。 （2）分值：立体几何几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：立体几何概念题与充要条件结合，简单几何体。 选择题 13 异面直线的定义结合充要条件 4 2024 填空题 7 旋转体的定义 5 选择题 14 求圆的弦长 4 2023 选择题 8 平面的基本性质 5 三、考点预测 根据2026年福建中职学考数学科目考试说明中的考试范围与要求、考试分数占比，结合2022-2025年学考真题考情，预估2026年福建省中职学业水平考试有2道题目考查立体几何，题型设置为单项选择题与填空题，分值各5分，共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 简单几何体 · 立体几何概念题与充要条件结合考查 四、知识梳理 （一）简单几何体 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展 开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 2.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 3.三视图 主视图、俯视图、左视图统称为三视图． 画三视图时应遵守： （1）位置规定：主视图画在左上方位置，左视图画在主视图的右侧，俯视图画在主视图的下方；同一物体放置位置不同，画出的三视图不同． （2）投影规律：主视图中的长与俯视图中的长相同（长对正），主视图中的高与左视图中的高相同（高平齐）；俯视图中的宽与左视图中的宽相同（宽相等）． （3）画线规则：绘制三视图时，可见的轮廓线画成实线，不可见的轮廓线画成虚线． （二）空间平面、直线的位置关系 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （三）直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α （四）直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 五、10分钟小测验 一、单选题 1．如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 4．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 5．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 6．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 二、填空题 7．如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 8．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 . 9．已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为 . 10．若一个球的半径为3，则其体积为 . 答案 1．A 【分析】利用俯视图的定义和空间想象进行判断即可. 【详解】根据图形显示可知，俯视图是从上往下看所得到的投影形成的平面图形， 从上往下投影，是T字形的图形，第一排有三个正方形，第二排位于中间有一个正方形， 所以选项A符合. 故选：A. 2．B 【分析】利用圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：. 故选：B. 3．D 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面， 故D正确； 故选：D. 4．A 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 5．D 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 6．C 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 7．/ 【分析】由线面角的定义结合正方体性质即可求解. 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 8．2 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式列式求解. 【详解】设圆柱的高为，依题意，，所以. 故答案为：2 9． 【分析】根据圆锥底面周长求出底面半径，再结合圆锥体积公式求出圆锥体积. 【详解】已知圆锥底面周长，（其中为底面半径），解得， 已知圆锥的高，由圆锥体积公式可得：. 故答案为： 10． 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 六、经典例题解析 【考试题型1】空间几何体的结构 1．（24-25高二下·福建·模拟预测）若一个正方体的棱长为1，则这个正方体的体对角线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方体的结构特征，直接计算体对角线. 【详解】正方体的棱长为1，故体对角线长为， 故选：A. 2．（23-24高三·全国·模拟预测）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为，那么这个球体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可先求出长方体的体对角线的长度，继而求出外接球的半径，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的体对角线长，即外接球的直径长为， 所以外接球半径为， 所以这个球体的体积. 故选：D. 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则它的体对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的体对角线长的公式计算即可. 【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3，4，5， 所以长方体的体对角线长为． 故答案为：. 【考试题型2】空间几何体的三视图 4．（22-23高三下·宁夏·职教高考）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．半球 【答案】B 【分析】根据几何体的三视图求解. 【详解】选项A. 正方体的正视图为正方形，故该选项错误. 选项B.圆锥正视图和侧视图是全等的等腰三角形，俯视图是圆，故该选项正确. 选项C.圆柱的正视图为长方形或正方形，故该选项错误. 选项D.半球的正视图、侧视图为圆或半圆，故该选项错误. 故选：B. 5．（22-23高三下·山东·职教高考）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（    ）． A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据三视图易推出几何体即可. 【详解】对A：棱柱的俯视图为多边形，故A错误； 对B：圆柱的侧视图和主视图为矩形，故B错误； 对C：棱锥的俯视图为多边形，故C错误； 对D：圆锥的侧视图和主视图为三角形，俯视图为圆形，故D正确. 故选：D. 6．（19-20高三·吉林·职教高考）下面几何体中，从正面观察得到的平面图形（主视图）为圆的几何体是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间几何的三视图求解即可. 【详解】因为圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，圆锥的主视图是等腰三角形. 故选：C. 【考试题型3】空间中点线面的位置关系 7．（10-11高三·福建漳州·一模）下面命题正确的是（    ） A．如果两条直线同垂直于一条直线，则这两条直线互相平行 B．如果两条直线同平行于一个平面，则这两条直线互相平行 C．如果两个平面同垂直于一个平面，则这两个平面互相平行 D．如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行 【答案】D 【分析】根据空间中，线与线、线与面、面与面的位置关系进行判断. 【详解】A：如图， 在正方体中，，而与不平行，所以A错误； B：如图， 在正方体中，平行平面，平行平面，而与不平行，所以B错误； C：如图， 在正方体中，平面垂直平面，平面垂直平面，而平面与平面不平行，所以C错误； D：由直线与平面垂直的性质定理知，如果两条直线同垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行，所以D正确. 故选：D. 8．（17-18高三·湖南·模拟预测）下列说法中，错误的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 【答案】A 【分析】根据空间线面间的位置关系判断． 【详解】平行于同一直线两个平面可能平行，也可能相交，A错； 平行于同一平面的两个平面平行，B正确； 由面面平行的性质定理知一个平面与两个平行平面相交，交线平行，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，CD正确． 故选：A． 9．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知直线和平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面的关系逐项分析即可. 【详解】A项，时，可能，故A错误， B项，若，则，B正确， C项，当时， 当相交时，与垂直，若平行， 则与不一定垂直，故C错误. D项，若，则也成立，故D错误. 故选：B. 七、专题归纳小结 1. 几何体体积的求法： (1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解； (2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征，弄清组合体的结构十分必要． 2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法： 选择恰当的棱或母线将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离． 3. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键． 4. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法： (2) 利用直线与平面垂直的判定定理； (3) 利用平面与平面垂直的性质定理． 注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写． 5. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $