专题05 三角函数（讲义）-2026年福建省（学业水平考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》依据福建省中等职业学校学业水平考试《中职数学》科目考试说明及福建省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为三角函数。 2026年福建省（中职学考）《数学考纲专题练》 专题05 三角函数 一、考纲解读 （1）正/负角、象限角；弧度制及与角度互化；弧长/扇形面积公式； （2）任意角正弦、余弦、正切定义；符号规律；特殊角函数值； （3）同角三角函数的关系与诱导公式的应用； （4）正/余弦函数“五点法”作图；三角函数的单调性、奇偶性、周期性。； （5）由三角函数值求角。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 10 特殊角的三角函数值 5 （1）题型：集中在选择题与填空题。 （2）分值：三角函数几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：终边相同的角，特殊角三角函数值，三角函数的图像与性质，诱导公式等。 填空题 15 同角三角函数的平方关系 4 2024 选择题 5 正弦函数的图像与性质 5 填空题 15 诱导公式和特殊角的三角函数值 4 2023 选择题 5 诱导公式 5 选择题 6 余弦函数的性质 5 选择题 13 终边相同的角 4 三、考点预测 根据2026年福建中职学考数学科目考试说明中的考试范围与要求、考试分数占比，结合2022-2025年学考真题考情，预估2026年福建省中职学业水平考试有2道题目考查三角函数，题型设置为单项选择题与填空题，分值各5分，共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 特殊角三角函数值 · 诱导公式 · 对三角函数的图像与性质 四、知识梳理 （一）角的概念 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2. 三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．点在 （　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 6．函数的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 7．若，且为第四象限角，则 ． 8．若已知，则 9．已知，，则 ． 10．计算： ． 答案 1．A 【分析】利用终边相同角及象限角的定义即可得解. 【详解】因为是第一象限角， 所以终边与终边相同，在第一象限. 故选：A. 2．A 【分析】将弧度制化为角度制，再根据终边相同的角的定义分析即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同的角即与终边相同的角， 与终边相同的角的表示为， A选项：，解得，正确； B选项：，解得，错误； C选项：，解得，错误； D选项：，解得，错误； 所以与角终边相同的角是. 故选：A. 3．C 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 4．B 【分析】根据题意结合象限角的三角函数值的正负即可得解. 【详解】因为，所以为第二象限角，则， 因为，所以与的终边相同，为第一象限角，则， 所以点在第二象限， 故选：. 5．A 【分析】根据题意，结合正弦函数的周期性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为函数，所以最小正周期； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数； 故该函数是周期为的奇函数. 故选：A. 6．D 【分析】利用余弦函数的最值性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值，为. 故选：D. 7． 【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角三角函数的符号即可得解. 【详解】因为为第四象限角，有， 所以， 故答案为：. 8． 【分析】根据正余弦的齐次运算，即可求解. 【详解】因为，显然， 则， 故答案为： 9． 【分析】根据题意，结合三角函数在各象限的符号，三角函数诱导公式，及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】，， 在第三象限， 又， ． 故答案为：. 10．/ 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】; 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】任意角与弧度制 1．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由扇形面积为求出半径，再利用弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 因为扇形的圆心角，面积， 所以，解得， 所以扇形的弧长为. 故选：B. 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式求解即可解得. 【详解】设该扇形的半径为． 由题意得扇形的面积为， 解得． 故选：D 3．（23-24高三·全国·对口/高职单招）下列三角函数值是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据象限角的概念结合三角函数值在不同象限的符号逐个判断即可. 【详解】已知，则为第二象限角，. 已知，则为第三象限角，. 已知，则为第四象限角，. 已知，则为第二象限角，. 所以为正数， 故选：A. 4．（23-24高三·全国·对口/高职单招）下列各角与终边相同的角有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据终边相同角的概念逐个分析即可. 【详解】，所以与终边不相同， ，所以与终边相同， ，所以与终边不相同， ，所以与终边相同， 所以下列各角与终边相同的角有BD. 故选：BD. 【考试题型2】任意角的三角函数 5．（24-25高二下·福建·模拟预测）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数定义求值即可. 【详解】已知角终边上一点， 则，，， 所以. 故选：D. 6．（19-20高三·福建泉州·模拟预测）设角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上的点的三角函数值，求解、的值，再根据的值求出的值即可解得结果. 【详解】由题意知角的终边过点， 所以，， 则，， 所以， 所以. 故选：C. 7．（10-11高三·福建漳州·二模）已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为：. 【考试题型3】同角三角函数的基本关系 8．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 9．（10-11高三·福建漳州·二模）已知，，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据同角三角函数的关系即可求解. 【详解】因为， 所以，又因为， 得， 则， 故答案为: . 【考试题型4】诱导公式 10．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】． 故选：D. 11．（19-20高三·福建泉州·模拟预测）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，结合三角函数的诱导公式，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A选项，的定义域为，且，函数不是偶函数，错误， B选项，的定义域为，且，函数是偶函数，正确， C选项，的定义域为，且，函数不是偶函数，错误， D选项，的定义域为，且，函数不是偶函数，错误， 故选：B. 12．（24-25高三·全国·对口/高职单招） . 【答案】1 【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 【考试题型5】三角函数的图像与性质 13．（10-11高三·福建漳州·一模）的最小值是 . 【答案】 【分析】由正弦三角函数的性质即可求解. 【详解】当时，有最大值1，而取得最小值. 所以当时，函数取得最小值是. 故答案为： 14．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数的最大值、最小值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由余弦函数的性质即可得解. 【详解】易知， 所以当时，函数取得最大值为； 当时，函数取得最小值为． 故选：. 15．（24-25高三·全国·对口/高职单招）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的概念，即可求解. 【详解】对于A，函数为周期函数，在上不单调递增，故A项错误； 对于B，函数的定义域为，， 所以函数不是奇函数，故B项错误； 对于C，函数的定义域为，， 所以函数是奇函数，但该函数在上单调递减，故C项错误； 对于D，函数的定义域为， 所以函数是奇函数，且在上单调递增，故项正确． 故选：D. 16．（23-24高三·全国·对口/高职单招）下列选项正确的是（    ） A．在上是增函数 B．是周期函数 C．的最大值是3 D．若，则 【答案】B 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质即可求解. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A项错误； 对B：因为，即， 所以函数是周期函数，最小正周期是，故B项正确； 对C：因为，所以，所以函数最大值是2，故C项错误； 对D：因为，则，故D项错误. 故选：B. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角函数定义与弧度制 核心内容 公式/规则 易错警示 任意角定义 终边相同的角：β=α+2kπ 象限角注意 k 的奇偶影响 弧度制转换 180°=π rad 1°＝ rad 特殊角换算必记（如 30∘=） 三角函数定义 ， ；；． x=0 时 tanα 不存在 口诀： “一全二正弦，三切四余弦”（象限正负口诀） “角度化弧度，π当 180°” 2. 同角关系式 平方关系 （注意象限符号） 3.诱导公式“奇变偶不变” 角度形式 化简规则 示例 奇变（sin↔cos），偶不变， 符号看象限（α 为锐角） sin(π+α)=−sinα 4. 三大函数图象与性质 函数 图象特征 定义域 值域 周期 单调区间（增→减） y=sinx “波浪线”，原点中心对称 R [−1,1] 2π 　，k∈Z ↑； 　，k∈Z ↓ y=cosx “波浪线”，y轴对称 R [−1,1] 2π [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z ↑； [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z ↓ （二）、解题策略与技巧 1. 三角函数定义与弧度制 象限判断：遇到角先确定其所在象限。 弧度制应用：在涉及弧长、扇形面积公式时，角度必须化为弧度。 2. 同角关系求值“三定原则” 定象限 定符号 定公式 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 弧度制漏单位 求 sin1 误为 sin1∘ 看见数字先辨弧度/角度 诱导公式符号错 cos(π−α)=−cosα 误为正号 奇变偶不变，符号看象限 忽略定义域 求​ 定义域 分母≠0 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 特殊角三角函数值速记：手形记忆法（左手五指对应 0∘,30∘,45∘,60∘,90∘，分母为 2，分子为 ​） 2、真题演练方向： 近三年高考题中三角函数定义、同角关系式、诱导公式、三角函数最值、周期、单调性、奇偶性问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $