2.2二次函数的图象与性质第4课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式转化为顶点式，重点讲解用配方法和公式法求对称轴与顶点坐标。课堂导入先复习顶点式性质及平移规律，通过配方填空题回顾基础，再以具体函数实例引导学生思考，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于推导过程注重数学思维培养，如配方法例题分步展示推理步骤，公式法推导强化运算能力。实际应用环节（桥梁钢缆问题）体现数学语言表达现实世界，培养模型意识与应用意识。课堂小结系统归纳方法，学生能提升推理和运算能力，教师可借助清晰结构与丰富例题高效教学。

北师大版·九年级下册 2.2 二次函数的图象与性质 第4课时 第二章 二次函数 学 习 目 标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 知识回顾 平移规律 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 情境引入 填空： （1）x2＋6x＋ ＝（x＋ ）²； （2）x2－x＋ ＝（x－ ）²； （3）x2－5x＋8＝（x－ ）²＋ ． 我们已经认识了形如y=a(x-h)²+k的二次函数的图象和性质，二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质如何呢？ 你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图象和性质吗？ 9 3 新知探究 探究一：配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标 我们知道,作出二次函数y=2x2的图象,通过平移抛物线y=2x2 是可以得到二次函数y=2x2-8x+7的图象.怎样直接作出函数y=2x2-8x+7的图象? 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解： y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 = 2(x2－4x+4-4)+7 可以用配方法把y＝2x2－8x＋7转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式． 提取二次项系数 配方 化为顶点式 新知探究 y = 2x2－8x+7 一般式 y = 2(x－2)2－1 顶点式 因此，二次函数y=2x2－8x+7的图象是一条开口向上的抛物线； 二次函数y=2x2－8x+7的对称轴是直线=2；顶点坐标为(2,-1). 配方 说一说：如何由二次函数y=2x2的图象平移得到y=2x2-8x+7的图象? 向右平移2个单位 y=2x2 y=2(x-2)2 向下平移1个单位 新知探究 解：(1) y = 3x2－6x+7 = 3(x2－2x)+7 = 3(x2－2x+1)－3+7 = 3(x－1)2+4 = 3(x2－2x+1-1)+7 (2) y = 2x2－12x+8 = 2(x2－6x)+8 = 2(x2－6x+9)－18+8 = 2(x－3)2－10 = 2(x2－6x+9-9)+8 ∴二次函数y=3x2－6x+7的对称轴是直线=1，顶点坐标为(1,4). ∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴是直线=3，顶点坐标为(3,-10). 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y=3x2-6x+7； (2) y=2x2-12x+8； 做一做 新知探究 配方的步骤： 知识归纳 ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方； ③“化”：化成顶点式. 新知探究 探究二：公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标 例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 解:y=ax2+bx+c = = = . 思考：你能把二次函数的一般式y=ax²+bx+c化为y=a(x-h)²+k的形式吗？ 你能说出二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标吗？ 新知探究 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标公式： 知识归纳 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线， 顶点坐标为（）. 新知探究 1.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. （1）y=2x2-12x+13; （2）y=3x2-6x+2. 解：（1）a=2，b=-12，c=13 ∴， ∴二次函数y=2x2-12x+13图象的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3，-5）. （2）a=3，b=-6，c=2 ∴， ∴二次函数y=3x2-6x+2图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-1）. 新知探究 探究三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 y O x （a>0） y O x （a<0） 最小值 最大值 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？ 议一议 新知探究 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 坐标（,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大。 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小。 (＜0) 开口向下，越大开口越小 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质： 知识归纳 新知探究 2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 新知探究 探究四：二次函数的简单应用 做一做 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的直角坐标系，x轴为桥面，左边的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 【分析】方法一：可以利用配方法把y＝x2＋x＋10转化成顶点式， 法二：可以运用顶点坐标公式直接求出顶点坐标．从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;再利用对称关系求出两条钢缆最低点之间的距离. 新知探究 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. ∴这条抛物线的顶点坐标为(-20，1）. （2）由对称性可知，两条钢缆最低点之间距离为40米. 解：（1） = 新知探究 (3)右边抛物线的表达式是什么？ ∵左右两条钢缆关于y轴对称， ∴右边抛物线的顶点坐标为(20，1）， ∵左右抛物线的形状相同， ∴右边抛物线的表达式是= 即 典例分析 已知二次函数y＝－x2－2x＋6.(1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 例1 解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6 ＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8， ∴顶点坐标为(－2，8)，对称轴为直线x＝－2. (2)令y＝0，得－x2－2x＋6＝0，解得x1＝－6，x2＝2. ∴ 当－6＜x＜2时，y＞0. 由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2， ∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)． 例2 典例分析 解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0； 为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－＞0； 由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0. ∴①②③都正确．故答案为①②③. ①②③ 巩固练习 基础巩固题 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　　) A.ab＞0，c＞0 　　　　 B.ab＞0，c＜0 C.ab＜0，c＞0 　　　　 D.ab＜0，c＜0 1.对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(　 　)A.开口向下 B.对称轴是直线x＝－1C.顶点坐标是(1，2) D.与x轴有公共点 C C 巩固练习 基础巩固题 4. 若一次函数的图象过第一、三、四象限，则二次函数（ ） A.有最大值 B. C.有最小值 D. 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D B 巩固练习 基础巩固题 6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ） A. B. C.当随的增大而减小 D. x y O 2 -1 3 D 5.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 A 巩固练习 基础巩固题 7.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1） （2） （3） 直线 直线 直线 巩固练习 基础巩固题 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c 得 8. 如图，已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过A(2,0) ，B(0,－6)两点. (1)求这个二次函数的解析式； 解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6； 巩固练习 基础巩固题 (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． (2)∵该抛物线对称轴为直线x＝ ＝4， ∴点C的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2， ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 课堂小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 作业布置 1.必做题：习题2.5第1-4题。 2.探究性作业：习题2.5第5题。 感谢聆听! $