小专题7 利用垂线段最短求最值&小专题8 利用两点之间线段最短求最值-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题7利用垂线段最短求最值(2023.24) 模型①“一定一动”型 1.(2025黔南州二模)如图，点C为直线AB上一个定点，点D 园模型解读 为直线AB上一个动点，直线AB外有一点P,CP=4,∠PCB= 问题：已知直线1外一定点A和直 30°，当PD最短时，则PD的长是 线1上一动点P,求AP的最小值. D A C D B P 作法：过，点A作AP'⊥直线1于点 第1题图 第2题图 P',则此时的AP有最小值，最小值 2.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动 为AP'的长 点（点P不与点B,C重合），PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F, 则EF的最小值为 模型2“一定两动”型 3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=45°，点P,Q分别是 园模型解读 BC,BD上的动点，则CQ+PQ的最小值为 问题：点P是∠AOB内一定点，点 M,N分别是OA,OB上的动，点，求 A D PN+MN的最小值. M P D 第3题图 第4题图 0 B O N p B 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是△ABC的中线，点 作法：作，点P关于OB的对称，点 E,F分别为线段AD,AB上的动点，连接BE,EF,则BE+EF的 P',过点P'作P'M⊥OA,则此时线 最小值为 段P'M的长是PN+MN的最小值. 模型3“一动两定”型(“胡不归”问题)】 5.(2025龙东地区)如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=7,园模型解读 BC=9,点M是△ABC内部一点，连接AM,BM,CM,若CM=3, 问题：点A,B分别是直线1上、外的 则AM+号BM的最小值为 定点，点P为直线1上的动点，求 kAP+BP(O<k<1)的最小值. R 第5题图 第6题图 作法： 6.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC,AB=2,点E为 (1)找：找带系数k的线段AP; BD上一动点，连接AE,则AE+2BE的最小值为 (2)构造：构造以AP为斜边的直角 三角形：①以，点A为顶点作∠NAP, 7.如图，在口ABCD中，∠A=60°，AB=4,P为边CD上一点，则 使sin∠NAP=k:②过，点P作垂线， 3 构造Rt△APE;（3)转化：化折为 2PD+PB的最小值为 直，将kAP转化为PE,使得AP+ BP=PE+BP;(4)求解：利用“垂线 段最短”转化为求BF的长 128 小专题8 利用两点之间线段最短求最值(2023.24(2) 模型工“两定一动”型（含将军饮马问题） 1.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， 园模型解读 F是AD上的动点，E是AB边上一点，且AE=2,则线 1.线段和最小问题 段EF+CF的最小值为 问题：已知两定点A,B,在直线1上找一点 P,使PA+PB的值最小 情形1：定点A,B在直线l异侧 E → B B 作法：连接AB交直线I于点P,AB的长为 PA+PB的最小值 A.√3 B.23 C.√2 D.2 情形2：定点A,B在直线1同侧（将军饮马） 2.如图，AD是等边三角形ABC的高线，E为AB的中 A B B 点，点P是AD上的一个动点，当△PBE的周长最小 P A 时，∠ABP的度数是 (） 作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B 交L于点P,A'B的长为PA+PB的最小值 2.线段差最大问题 问题：已知定点A,B,在1上找一点P,使 IPA-PBI的值最大 情形1：定点A,B在直线1同侧 A.20° B.25° C.30° D.45° A. B. "A B e 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接AC,O是 作法：连接AB并延长交直线1于点P,此时 AC的中点，M是AD上一点，且MD=1,P是BC上一 IPA-PBI最大 动点，则PM-PO的最大值为 情形2：定点A,B在直线1异侧 A· A B B· 作法：作点B关于直线I的对称，点B,连接AB 并延长交直线I于点P,此时IPA-PBI最大 模型2“一定两动”型 4. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，点M,N分 园模型解读 别是BC,AB边上的动点，∠B=56°，当△DMN的周问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA 长最小时，则∠MDN的度数是 上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN 的周长最小 B 第4题图 第5题图 5.如图，已知∠ACB=30°，M为∠ACB内部任意一点， 作法：分别作点P关于OA,OB的对称点P', 且CM=5,E,F分别是CA,CB上的动点，则△MEF P",连接P'P分别交OA,OB于点M,N,此时 的周长的最小值为 △PMN周长最小. 129 模型3“两定两动”型 6.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,-1),B(-1,-3), 园模型解读 若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四 问题：点P,Q是∠AOB的内部两定，点，在OA 边形ABCD的周长的最小值是 上找点M,在OB上找点N,使得四边形 PQNM周长最小 A P Q 0 B 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2, 作法：分别作点P,Q关于OA,OB的对称，点 G,H分别是边BC,CD上的动点，则四边形EFGH周 P',Q',连接P'Q'交OA,OB于点M,N,此时 长的最小值为 四边形PQNM周长最小 模型4“一定长+两定点”型 8.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E,F分别是 园模型解读 AB,DC上的动点，EF∥BC,则AF+CE的最小值 一、异侧线段和最小问题(“造桥”问题) 是 问题：已知1，∥儿，且在两定点A,B之间，1， L2之间的距离为d,在l1,2上分别找M,N 两，点，使MW⊥I且AM+MW+BN的值最小. A. B B 作法：将点A向下平移d个单位得到，点A', 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4,BC=12, 连接A'B交直线L2于点N,过点N作NML ∠ABC=60°，点E,F是AD边上的动点，且EF=2,则 L,则A'B+MN是AM+MN+BN的最小值. 四边形BEFC周长的最小值为 二、同侧线段和最小问题 E 问题：已知两定点A,B位于直线1同侧，在 直线1上找M,N两，点(M在N左侧)，使 MN=d,且AM+MW+BN的值最小 d 作法：将点A向右平移d个单位得到点A', 作点A'关于直线I的对称，点A”,连接A"B交 直线l于点N,将点N向左平移d个单位得 到点M,点M,N即为所求 1306.A【变式设问】B7.B 8.心查检我、细、心、检 第29节图形的对称（含折叠）、平移与旋转 核心知识全梳理 ①对称轴②完全重合③对称中心④180°⑤完全重 合⑥垂直平分⑦对称中心⑧平分⑨BF①EF ①∠FEB2 AF BBE④四边形EFGH⑤EH 1AB ⑦EF(G⑦答案不唯一）⑧平行⑨CG(答案不唯一) ②CG(答案不唯一)①角度②2∠A'B'C'3A'0②④C0 5C0(到，5答案不唯一) 例.①②③④6⑦⑧⑨10①⑤6⑦⑨0①6⑦⑨10 贵州考法变式练 1.B2.A 3.(1)AB=AD,BC=DC∠ABC=∠ADC,∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA (2)90°(3)24 4.(1)①86②9.6(2)等边(3)67.5°(4)35 5.D 6.(1)①②3④⑥(2)120°(3)菱形(4)25 (5)25 7.60° 8.解：(1)画图如解图1，平行四边形： A C(P) ---D B 图1 (2)DC⊥BC,证明略. (3):∠B4C=45°，过点P作PE⊥AC,交直线AB于 点E, ∴△EPA是等腰直角三角形，.AE=√2AP. 当点P在点A右侧时，如解图2. 图2 图3 由(2)可知，四边形EBCD是矩形， ∴.AB=AE-BE=AE-CD=√2AP-CD 6=52-CD,.CD=52-6. 当点P在点A左侧时，如解图3， 由(2)可知，四边形EBCD是矩形，.AB=BE-AE=CD AE=CD-√2AP,..6=CD-5W2,∴.CD=5N2+6 综上所述，CD的长为5√2+6或52-6. 【新教材素材】解：作点B关于直线1的对称点B',再连接 AB'交直线1于点P. 16 如解图，点P即为所求 B' B 小专题7利用垂线段最短求最值 122. 3.22 4.4.8【解析】如解图，作点F 关于AD的对称点M,连接 BM交AD于点E,连接EF. 过点B作BN⊥AC于点N, AB=AC=5,BC=6,AD是B ) △ABC的中线，.BD=DC=3,AD平分∠BAC,.M在AC 上，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√5-3=4， SeC·A0=4C…BaNC4D-64 AC 5 4.8.点F,M关于AD对称，.EF=EM,∴.BE+EF=BE+ EM=BM,根据垂线段最短得出BM≥BN,即BE+EF≥ 4.8.即BE+EF的最小值是4.8. 5.52 6.5【解析】如解图，过点A作AF⊥CB于点F,过点E作 EP⊥BC于点P,:△ABC为等边三角形，BD平分 ∠ABC,∠DBC=30PB=之BE,AB:BE=AB+ 1 PE≥A版，即+B的最小值为的长：8=2 1 1 BF=FC=2 BC-2AB=1.AF-A.AE +2BE的最小值为，5 H M n o 第6题解图 第7题解图 7.2√3【解析】如解图，过点P作PH⊥AD交AD的延长线 于点H,连接BH.:四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ CD,∴.∠PDH=∠A=60°.过点B作BM⊥AH于点M,在 R△DIP中，∠DPH=90-∠PpM=30,PH=5Pm. 2 PD+PB=PH+PB≥BM. √3 3 2 PD+PB的最小值为BM 的长.在Rt△AMB中，∠ABM=90°-∠A=30°，.BM=AB· co30°=25，即5PD+PB的最小值为25 小专题8利用两点之间线段最短求最值 1B2C33 2 4.689 5.5【解析】如解图.分别作 点M关于CA,CB的对称点 P,Q,连接PQ,分别交CA, CB于点E,F,连接CP,CQ, MP,MQ,此时，△MEF的周 长有最小值，且为PQ的长 点M关于CA的对称点为P,∴.ME=PE,CM=CP ∠PCA=∠MCA.·点M关于CB的对称点为Q,.MF= QF,CM=CQ,∠QCB=∠MCB,∴.CP=CQ=CM=5,∠PCQ= ∠PCE+∠MCE+∠QCF+∠MCF=2∠ACB=60°， ∴.△PCQ是等边三角形，.PQ=CP=CQ=5,.△MEF的 周长的最小值=PQ=5. 6.627.10+2W58.10 9.14+2√37【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个 单位长度得到点B',作点B'关于AD的对称点B”,连接 CB”,交AD于点F,在AD上截取EF=2,连接BE,B'F, BE=B'F,B"F=B'F,此时四边形BEFC的周长为BE+EF +FC+BC=B"F+EF+FC+BC,当点C,F,B”三点共线时，四 边形BEFC的周长最小，最小为BC+EF+BC.:AB=4, BB'=2,∠ABC=60°，.B'B”经过点A,∴.AB'=2√3 ∴.B'B"=45.BC=12,B'C=10,.B”C= √B'B+B'C=2√37，.BC+EF+BC=14+2√37，即四 边形BEFC周长的最小值为14+2√37， Br B B' 单元整合提升 易错题专练 1.D2.C【变式设问】ABD3.64.D 5.(1,-√3)或(-1,5)【解析】当△AB0绕点0顺时针 旋转90°后得到△A,B10时，如解图1.△A0B兰 △A,0B1,0B1=0B=5,A,B1=AB=1,.A1(1,-3): 当△AB0绕点0逆时针旋转90°后得到△A,B,O时，如 解图2，同理得A,(-1,√3).综上所述，点A,的坐标为 (1,-√5)或(-1,5) B 图1 图2 6.A【解析】如解图1，当B'D⊥BC,且点B'与点A在直线 BC的异侧时，由折叠，得∠ADB'=∠ADB.∠ADB'+ ∠ADB+∠BDB'=360°，且∠BDB'=90°，.2∠ADB+90° =360°，.∠ADB=135°.∠B=20°，∠BAD=180°- ∠ADB-∠B=180°-135°-20°=25°：如解图2，当B'D1 BC,且点B'与点A在直线BC的同侧时，由折叠得 ∠ADB'=∠ADB,且∠BDB'=90°，.LADB'+∠ADB= 2∠ADB=∠BDB'=90°，∴.∠ADB=45°，.∠BAD=180 -∠ADB-∠B=180°-45°-20°=115°.综上所述，∠BAD 的度数为25°或115°. B B 图1 图2 第八单元统计与概率 第30节统计 核心知识全梳理 ①全体对象②一部分对象③全体④个体的数目 ⑤个数⑥比值⑦1⑧n⑨中间两个数据的平均数 0最多①大②小B稳定④百分比516百分 比7360°⑧119频率 贵州考法变式练 1.C 2.(1)抽样调查(2)在校七年级600名学生的体重每 名学生的体重七年级30名学生的体重30 3.80.14.D5.6万元 6.C【变式设问】乙7.D 8.D9.138【变式设问】B 10.解：(1)200122 (2)2600x34 =442(名). 200 答：估计全校可评为“运动之星”的学生有442名： (3)建议同学们加强体育锻炼，增强身体素质.（答案不 唯一，合理即可) 第31节概率 核心知识全梳理 ①会②1③不会④0⑤相等⑥m⑦稳定⑧p 贵州考法变式练 1A2C3A4.B5564 23 7.(1)55 (2)该游戏不公平，理由略。 8.解：(1)把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记为A, B1,B2, 17